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1、1.1 直角三角形的性质和判定（）复习复习引入引入合作合作探究探究课堂课堂小结小结随堂随堂训练训练第1课时 直角三角形的性质和判定第1章 直角三角形九龙中学九龙中学1直角三角形的性质和判定教学目标教学目标学习目标：（一）、知识与技能：1、理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理；2、能应用直角三角形的判定与性质，解决有关问题。（二）、过程与方法：通过对几何问题的“操作-探究-讨论-交流-讲评”的学习过程，提高分析问题和解决问题的能力。（三）、情感态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与交流活动。教学重点难点:重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应
2、用。难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。教法学法：观察、比较、合作、交流、探索九龙中学九龙中学2直角三角形的性质和判定三角形顶点与对边中点的连线段三角形顶点与对边中点的连线段1.1.直角三角形的定义直角三角形的定义2.2.三角形内角和的性质三角形内角和的性质有一个是直角的三角形叫直角三角形有一个是直角的三角形叫直角三角形三角形内角和等于三角形内角和等于1801803.3.三角形中线的定义三角形中线的定义这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质复习引入复习引入九龙中学九龙中学3直角三角形的性质和判定 如图如图1-1，在，在Rt ABC中，中
3、， C=90，两锐角的和等于两锐角的和等于多少呢？多少呢？图图1-1 在在Rt ABC中，因为中，因为 C=90，由三角形内角和定由三角形内角和定理理，可得可得 A +B=90.合作探究合作探究九龙中学九龙中学4直角三角形的性质和判定结论结论直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.由此得到：由此得到：九龙中学九龙中学要点精析要点精析:性质的结论是根据性质的结论是根据 （）。性质的条件是性质的条件是 （）。三角形的内角和定理三角形的内角和定理直角三角形直角三角形直角三角形的性质：直角三角形的性质：5直角三角形的性质和判定1、在、在Rt ABC中中 , C=90, A=40 , 则则B=
4、 2、在、在Rt ABC中中 , C=90, A=30, 则则B=3、在、在 ABC中中 , C=90, A B=20，则，则A= ， B= 。 4、运用的性质是：、运用的性质是： 在直角三角形中，两个锐角在直角三角形中，两个锐角 。 九龙中学九龙中学学以致用学以致用：50603555互余互余6直角三角形的性质和判定议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图如图1-2，在，在 ABC中，中， A +B=90 ， 那么那么 ABC是直角三角形吗？是直角三角形吗？在在 ABC中，因为中，
5、因为 A +B + C=180， 又又 A +B=90，所以所以 C=90. 于是于是 ABC是直角三角形是直角三角形.图图1-2九龙中学九龙中学7直角三角形的性质和判定结论结论有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到：由此得到：九龙中学九龙中学 直角三角形的判定定理：直角三角形的判定定理：要点精析要点精析:判定定理的条件是判定定理的条件是 （）。两个角互余两个角互余8直角三角形的性质和判定1、在、在ABC中中A=20, B=70,则则A+ B= ， C=_ ， ABC是是 三角形。三角形。2、在、在ABC中中A=30, B=60,则则A+ B= ， C= ，
6、 ABC是是 三角形。三角形。3、在、在ABC中，中，A=C-B，则，则ABC是是 三角形。三角形。4、运用的判定定理是：运用的判定定理是：学以致用学以致用：有两个角有两个角 的三角形是的三角形是 。90909090直直 角角 直角直角互余互余 直直 角三角形角三角形 九龙中学九龙中学9直角三角形的性质和判定 如图如图1-3，画一个，画一个Rt ABC， 并作出斜边并作出斜边AB上的中上的中线线CD，比较线段，比较线段CD 与线段与线段AB 之间的数量关系，你能得之间的数量关系，你能得出什么结论？出什么结论？图图1-3九龙中学九龙中学动手操作、探究动手操作、探究10直角三角形的性质和判定我测量
7、后发现我测量后发现CD = AB.线段线段CD 比线段比线段AB短短.图图1-3九龙中学九龙中学 如图如图1-3，画一个，画一个Rt ABC， 并作出斜边并作出斜边AB上的中线上的中线CD，比较线段，比较线段CD 与线段与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结之间的数量关系，你能得出什么结论？论？11直角三角形的性质和判定是否对于任意一个是否对于任意一个Rt ABC，都有，都有 CD = 成立呢？成立呢？图图1-4图图1-3九龙中学九龙中学如图如图1-3， 如果中线如果中线CD = AB，分析分析：则有则有 DCA = A 方法方法：问题问题：由此受到启发由此受到启发，在图在图1-4 的的R
8、t ABC中，过直角顶点中，过直角顶点C作射线作射线 CD交交AB于于D,使使DCA=DCA=A A 则有则有 AD= DCC 12直角三角形的性质和判定 A +B=90 ，又又，故得故得 点点 是斜边上的中点，即是斜边上的中点，即 是斜边是斜边 的中线的中线.从而从而CD与与 重合，且重合，且图图1-4九龙中学九龙中学验证验证：如图所示过直角顶点如图所示过直角顶点C作射线作射线 CD交交AB于于D,使使DCA=DCA=A A ，则有则有 AD= DCC 13直角三角形的性质和判定结论结论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：由此得到：九龙中学九龙
9、中学图图1-3直角三角形的性质：直角三角形的性质：要点精析要点精析:性质的前提条件是性质的前提条件是 （）。性质的揭示的是性质的揭示的是 （）。直角三角形直角三角形线段之间的数量关系线段之间的数量关系14直角三角形的性质和判定 1.在在Rt ABC中，斜边上的中线中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边，则斜边 AB= 。解解AB=2CD=22.5=5(cm).学以致用学以致用九龙中学九龙中学2、在RtABC中，CD是斜边AB的中线，AB=10cm，则CD=_ ，AD=_，BD=_。3、在RtABC中, CD是斜边AB的中线，CD=4cm，则AB=_5cm5cm5cm8cm15直角三角形的性
10、质和判定综合综合运用运用例例1 已知：如图已知：如图1-5，CD是是ABC的的AB边上的中边上的中 线，且线，且 . 求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形.图图1-5九龙中学九龙中学分析分析：要判定一个三角形是直角三角形，方法有：要判定一个三角形是直角三角形，方法有：1：定义法定义法（有一个角是直角或证明两边相互垂直）（有一个角是直角或证明两边相互垂直）2：证明两个锐角互余证明两个锐角互余16直角三角形的性质和判定 ， 1= A， 2= B ( (等边对等角等边对等角) )图图1-5又又 A+ B+ ACB =180 即得即得 A+ B+ 1+ 2=180， 2( ( A+ B) )=1
11、80. A+ B =90.ABC是直角三角形是直角三角形.九龙中学九龙中学CD是是ABC的的AB边上的中边上的中 线，且线，且 .证明证明：如图所示（三角形内角和性质）（三角形内角和性质）（有两个角互余的三角形是直角三角形）（有两个角互余的三角形是直角三角形）17直角三角形的性质和判定综合综合运用运用例例1 已知：如图已知：如图1-5，CD是是ABC的的AB边上的中边上的中 线，且线，且 . 求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形.图图1-5九龙中学九龙中学分析分析：要判定一个三角形是直角三角形，方法有：要判定一个三角形是直角三角形，方法有：1：定义法定义法（有一个角是直角或证明两边相互垂
12、直）（有一个角是直角或证明两边相互垂直）2：证明两个锐角互余证明两个锐角互余18直角三角形的性质和判定结论结论如果三角形中有一条边上的中线等于这条边如果三角形中有一条边上的中线等于这条边上的一半，那么这个三角形是直角三角形上的一半，那么这个三角形是直角三角形由此得到：由此得到：九龙中学九龙中学图图1-3直角三角形的判定定理直角三角形的判定定理2：要点精析要点精析:性质的前提条件是性质的前提条件是 （）。性质的结论的是性质的结论的是 （）。一条边上的中线等于这条边上的一半一条边上的中线等于这条边上的一半这个三角形是直角三角形19直角三角形的性质和判定（1 1）在）在RtABCRtABC中，有一个
13、锐角为中，有一个锐角为5252，那么另一，那么另一个锐角度数为个锐角度数为； （2 2）在）在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，A A ：B =B =2:12:1那那么么A=A= ，B=B= ； （3 3）在）在ABCABC中，中，C=90C=90，CECE是是ABAB边上的中线，边上的中线，那么与那么与CECE相等的线段是相等的线段是 ，与，与A A相等的角相等的角是是_ ，若，若A=35A=35，那么，那么ECB=_ECB=_当堂训练当堂训练383860603030AEAE、BEBECEACEABB=55=55（4）在ABC中，CD是AB的中线且CD= AB，那么这个三角形是（
14、 ） A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 C C九龙中学九龙中学20直角三角形的性质和判定 5 5.如图，如图，AB CD，BAC和和ACD的平分线相交于的平分线相交于H点，点，E为为AC的中点，的中点，EH=2. 那么那么 AHC是直角三是直角三角形吗？为什么？若是，求出角形吗？为什么？若是，求出AC的长的长.解解 AB CD .九龙中学九龙中学当堂训练当堂训练 BAC+ DCA=180AH平分平分BAC，CH平分平分ACD ， AHC是直角三角形是直角三角形.又又在在Rt AHC中，中，EH为斜边上的中线为斜边上的中线由由EH=2易知易知AC=421直角三角形的性质和判
15、定直角三角形的性质：直角三角形的性质：直角三角形的判定：直角三角形的判定：1 1：直角三角形两锐角互余；：直角三角形两锐角互余；2 2：在直角三角形中，斜边上的中：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；线等于斜边的一半；2 2：三角形一边上的中线等于这条边：三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；的一半的三角形是直角三角形；1 1：有一个角内角等于：有一个角内角等于9090的三角形的三角形是直角三角形。是直角三角形。3 3：有两个角互余的三角形是直角三：有两个角互余的三角形是直角三角形；角形；课堂小结课堂小结九龙中学九龙中学22直角三角形的性质和判定 1.1.如图所示，在
16、锐角三角形如图所示，在锐角三角形ABC中，中，CD，BE分别是分别是AB，AC边上的高，且边上的高，且CD，BE交于一点交于一点P，若，若A=50，则，则BPC的的度数是度数是（ ）. . A. .150 B.130 C.120 D.100因为因为BE，CD是是ABC的高，的高，所以所以BDP=90，BEA=90.又又A=50 ，所以所以ABE=90- -A=90- -50= 40.所以所以BPC =ABE +BDP = 90 + 40= 130.故应选择故应选择B.解解B九龙中学九龙中学点拨拓展点拨拓展23直角三角形的性质和判定ABCDO O2 2. .如图，如图，ABDB, ,CDDB, ,下列说法错误的是（下列说法错误的是（ ）A.A.一定有一定有A=CB.B.只要有一边相等就有只要有一边相等就有ABOCDOC.C.只要再给一个条件就能得到只要再给一个条件就能得到ABOCDOD.D.有有OA= =OC或或OB= =OD, ,就有就有AB= =CDC九龙中学九龙中学点拨拓展点拨拓展24直角三角形的性质和判定ABCD3 3. .如图，如图，AB= =AC, ,ADBC. .求证：求证：BD= =CD. .九龙中学九龙中学点拨拓展点拨拓展25直角三角形的性质和判定
