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1、本章整合知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题专题数学归纳法证题的常用技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步,验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)”是问题的条件,而命题P(k+1)成立就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常
2、可用分析综合法.知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk)2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0.因为a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0),所以最后一个不等式显然成立,即当n=k+1时,不等式成
3、立.知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题2.放缩法涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题3.递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题即当n=k+1时,原不等式也成立.根据(1)(2)可知,当nN*时,原不等式都成立.知识建构真题放送
4、综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题4.构造配凑法用数学归纳法证明关于正整数的命题(尤其是整除)时,从“k”过渡到“k+1”常常用构造配凑法.应用5求证:62n+3n+2+3n是11的倍数(nN*).证明:(1)当n=1时,621+31+2+31=66,是11的倍数.(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,命题成立,即62k+3k+2+3k是11的倍数.则当n=k+1时,62(k+1)+3k+3+3k+1=62k+2+3k+3+3k+1=3662k+33k+2+33k=3362k+362k+33k+2+33k=3362k+3(62k+3k+2+3k).由假设可知3(62
5、k+3k+2+3k)是11的倍数,而3362k也是11的倍数,故n=k+1时,原命题也成立.根据(1)(2)可知,对任意nN*原命题成立.知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题5.几何法“几何类”命题的证题关键是先要从证明当n=k+1时命题成立的结论中,分解出当n=k时命题成立的部分,然后去证余下的部分.应用6在同一平面内有n条直线,每两条不平行,任意三条不共点,求证:它们将此平面分知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构专题知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构(湖北高考)(1)已知函数f
6、(x)=rx-xr+(1-r)(x0),其中r为有理数,且0r1,求f(x)的最小值;(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a10,a20,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则 a1b1+a2b2;(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式(x)=x-1.解:(1)f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.当0x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构()假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用真题放送综合应用知识建构又(1-bk+1)+bk+1=1,由得 bk+1)+ak+1bk+1=a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1,故当n=k+1时,成立.根据()()可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.说明:(3)中如果推广形式中指出式对n2成立,则后续证明中不需讨论n=1的情况.
