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1、常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程 第八节第八节一、一、二、二、1苍松课资二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 : :根据解的结构定理根据解的结构定理根据解的结构定理根据解的结构定理 , , 其通解为其通解为其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法求特解的方法求特解的方法根据根据根据根据 f f ( (x x) ) 的特殊形式的特殊形式的特殊形式的特殊形式 , ,的待定形式的待定形式的待定形式的待定形式
2、, ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . . 待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法2苍松课资一、一、一、一、 为实数为实数为实数为实数 , ,设特解为设特解为设特解为设特解为其中其中其中其中 为待定多项式为待定多项式为待定多项式为待定多项式 , , 代入原方程代入原方程代入原方程代入原方程 , , 得得得得 为为为为 mm 次多项式次多项式次多项式次多项式 . .(1) (1) 若若若若 不是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根, , 则取则取则
3、取则取从而得到特解从而得到特解从而得到特解从而得到特解形式为形式为形式为形式为Q Q ( (x x) ) 为为为为 m m 次待定系数多项次待定系数多项次待定系数多项次待定系数多项式式式式3苍松课资(2) (2) 若若若若 是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的单根单根单根单根 , , 为为为为mm 次多项式次多项式次多项式次多项式, ,故特解形式为故特解形式为故特解形式为故特解形式为(3) (3) 若若若若 是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的重根重根重根重根 , , 是是是是 mm 次多项式次多项式次多项式次多项式, ,故特解形式为故特解形式为故特解形式为故特解形式为
4、小结小结小结小结 对方程对方程对方程对方程, ,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . .即即即即即即即即当当当当 是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的 k k 重根重根重根重根 时时时时, ,可设可设可设可设特解特解特解特解4苍松课资代入方程代入方程即可确定系数：即可确定系数：从而确定特解从而确定特解. .特解的形式为特解的形式为将将 5苍松课资提示提示 因为因为f(x) Pm(x)e x 3x 1 0不是特征方程的根不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为所以非齐次
5、方程的特解应设为 y* b0x b1 把它代入所给方程把它代入所给方程 得得 例例1 求微分方程求微分方程y2y 3y 3x 1的一个特解的一个特解 解解 齐次方程齐次方程y2y 3y 0的特征方程为的特征方程为r2 2r 3 0 b0x b12b0x b1 3b0x b13b0x 2b0 3b1 2b0 3b0x 3b1 3b0x 2b0 3b1 3x 1 提示提示 3b0 3 2b0 3b1 1 6苍松课资 例例2 求微分方程求微分方程y5y 6y xe2x的通解的通解 解解 齐次方程齐次方程y5y 6y 0的特征方程为的特征方程为r2 5r 6 0 其根为其根为r1 2 r2 3 提示提
6、示 齐次方程齐次方程y5y 6y 0的通解为的通解为Y C1e2x C2e3x 因为因为f(x) Pm(x)e x xe2x 2是特征方程的单根是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为所以非齐次方程的特解应设为 y* x(b0x b1)e2x 把它代入所给方程把它代入所给方程 得得 2b0x 2b0 b1 x 提示提示 2b0 1 2b0 b1 0 因此所给方程的通解为因此所给方程的通解为7苍松课资二、二、二、二、第二步第二步第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路分析思路分析思路: :第一步第一步第一步第一步将
7、将将将 f f ( (x x) ) 转化为转化为转化为转化为第三步第三步第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点8苍松课资第一步第一步第一步第一步利用欧拉公式将利用欧拉公式将利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f f ( (x x) ) 变形变形变形变形9苍松课资 第二步第二步第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的是特征方程的是特征方程的
8、 k k 重根重根重根重根 ( ( k k = 0, 1), = 0, 1), 故故故故等式两边取共轭等式两边取共轭等式两边取共轭等式两边取共轭 : :为方程为方程为方程为方程 的特解的特解的特解的特解 . .设设设设则则则则 有有有有特解特解特解特解: :10苍松课资第三步第三步第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果利用第二步的结果利用第二步的结果, , 根据叠加原理根据叠加原理根据叠加原理根据叠加原理, , 原方程有特解原方程有特解原方程有特解原方程有特解 : :原方程原方程原方程原方程 均为均为均为均为 m m 次多项式次
9、多项式次多项式次多项式 . .11苍松课资第四步第四步第四步第四步 分析分析分析分析因因因因均为均为均为均为 m m 次实次实次实次实多项式多项式多项式多项式 . .本质上为实函数本质上为实函数本质上为实函数本质上为实函数 , ,12苍松课资小小小小 结结结结: :对非齐次方程对非齐次方程对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解则可设特解则可设特解: :其中其中其中其中 为特征方程的为特征方程的为特征方程的为特征方程的 k k 重根重根重根重根 ( ( k k = 0, 1), = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情
10、形上述结论也可推广到高阶方程的情形. .13苍松课资例例例例4. 4. 的一个特解的一个特解的一个特解的一个特解 . .解解解解: : 本题本题本题本题 特征方程特征方程特征方程特征方程故设特解为故设特解为故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根不是特征方程的根, ,代入方程得代入方程得代入方程得代入方程得比较系数比较系数比较系数比较系数 , , 得得得得于是求得一个特解于是求得一个特解于是求得一个特解于是求得一个特解14苍松课资例例例例5. 5. 的通解的通解的通解的通解. . 解解解解: : 特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为其根为其根为其根为其根为对应齐
11、次方程的通解为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数比较系数比较系数比较系数, , 得得得得因此特解为因此特解为因此特解为因此特解为代入方程代入方程代入方程代入方程: :所求通解为所求通解为所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根为特征方程的单根为特征方程的单根 , ,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为15苍松课资内容小结内容小结 为特征方程的为特征方程的为特征方程的为特征方程的 k k ( (0, 1, 2) 0, 1, 2) 重根重根重根重根, ,则设特解为则设特解为则设特解为则设特解为为特征方
12、程的为特征方程的为特征方程的为特征方程的 k k ( (0, 1 )0, 1 )重根重根重根重根, , 则设特解为则设特解为则设特解为则设特解为3. 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形. .16苍松课资思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为时可设特解为时可设特解为 提示提示提示提示: :1 .1 . ( (填空填空填空填空) ) 设设设设17苍松课资2. 2. 求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程的通解的通解的通解的通解 ( (其中其中
13、其中其中为实数为实数为实数为实数 ) . ) .解解解解: : 特征方程特征方程特征方程特征方程特征根特征根特征根特征根: :对应齐次方程通解对应齐次方程通解对应齐次方程通解对应齐次方程通解: :时时时时, ,代入原方程得代入原方程得代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为故原方程通解为故原方程通解为时时时时, ,代入原方程得代入原方程得代入原方程得代入原方程得故原方程通解为故原方程通解为故原方程通解为故原方程通解为18苍松课资3. 3. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解求微分方程的通解求微分方程的通解 . .解解解解: : 将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得比较系数得比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为故原方程为故原方程为对应齐次方程通解对应齐次方程通解对应齐次方程通解对应齐次方程通解: :原方程通解为原方程通解为原方程通解为原方程通解为19苍松课资
