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1、数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFTStillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望本章主要内容：本章主要内容： 1、z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 4、离散信号的、离散信号的DTFT 5、z变换与变换与DTFT的关系的关系 6、离散系统的、离散系统的z变换法描述变换法描述2.1 z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域 信号和系统的分析方法有两种：信号和系统的分析方法有两种： 时域
2、分析方法时域分析方法变换域分析方法变换域分析方法连续时间信号与系统连续时间信号与系统 LT FT离散时间信号与系统离散时间信号与系统 ZT FT 一、一、ZT的定义的定义 z 是复变量，所在的复平面称为是复变量，所在的复平面称为z平面平面 二、二、ZT的收敛域的收敛域对于任意给定序列对于任意给定序列x(n)，使其，使其z变换变换X(z)收敛的所有收敛的所有z值的集合称为值的集合称为X(z)的收敛域。的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和级数收敛的充要条件是满足绝对可和1）有限长序列）有限长序列Roc-Region of convergence 除除0和和两点是否收敛与两点是否收敛与n1和
3、和n2取值情况取值情况有关外，整个有关外，整个z 平面均收敛。平面均收敛。 如果如果n20 ，则收敛域不包括，则收敛域不包括点点 如果如果n10 ，则收敛域不包括，则收敛域不包括0点点 如果如果n10n2，收敛域不包括，收敛域不包括0 、点点2）右边序列）右边序列因果序列因果序列的的z变换必在变换必在处收敛处收敛在在处收敛的处收敛的z变换，变换， 其序列必为其序列必为因果序列因果序列3）左边序列）左边序列4）双边序列）双边序列例例1收敛域应是整个收敛域应是整个z的闭平面的闭平面例例2：求：求x(n)=RN(n)的的z变换及其收敛域变换及其收敛域例例3：求：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛
4、域的变换及其收敛域例例4：求：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域的变换及其收敛域例例5：求：求x(n)=a|n|，a为实数，求为实数，求ZT及其收敛域及其收敛域给定给定z变换变换X(z)不能唯一地确定一个序列，不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的的z变换收敛域一定在变换收敛域一定在模最模最大的有限极点所在圆的有限极点所在圆之外左边序列的的z变换收敛域一定在变换收敛域一定在模最模最小的有限极点所在圆的有限极点所在圆之内2.2 z反变换反变换实质：求实
5、质：求X(z)幂级数展开式幂级数展开式z反变换的求解方法：反变换的求解方法： 围线积分法（留数法）围线积分法（留数法） 部分分式法部分分式法 长除法长除法z反变换反变换: 从从X(z)中还原出原序列中还原出原序列x(n)1 1、围数积分法求解（留数法）围数积分法求解（留数法）若函数若函数X(z)zn-1在围数在围数C上连续，在上连续，在C以内有以内有K个极点个极点zk，而在，而在C以外有以外有M个极点个极点zm，则有：，则有： 1 1、围数积分法求解（留数法）围数积分法求解（留数法） 根据复变函数理论，若函数根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域在环状区域 内是解析的，则内是解析的，则在此
6、区域内在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即可展开成罗朗级数，即而而 其中围线其中围线c是在是在X(z)的环状的环状收敛域内环绕原点的一条收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。反时针方向的闭合单围线。 若若F(z)在在c外外M个极点个极点zm，且分母多项式，且分母多项式z的的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则： 利用留数定理求围线积分，令利用留数定理求围线积分，令 若若F(z)在围线在围线c上连续，在上连续，在c内有内有K个极点个极点zk，则：，则：单阶极点的留数：单阶极点的留数：思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何2 2、部分分
7、式展开法求解、部分分式展开法求解IZTIZT ： 常见序列的常见序列的ZT参见书参见书p.54页的表页的表2-1若函数若函数X(z) 是是z的有理分式，可表示为：的有理分式，可表示为： 利用部分分式的利用部分分式的z反变换和可以得到函数反变换和可以得到函数X(z) 的的z反变换。反变换。例例2 2 设设利用部分分式法求利用部分分式法求z z反变换。反变换。解：解：3 3、幂级数展开法求解（长除法）、幂级数展开法求解（长除法）: :一般一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到从
8、而得到x(n)。根据收敛域判断根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的性质，在展开成相应的的z的幂级数的幂级数 将将X(z) X(z)的的 x(n) 展成展成z的的 分子分母分子分母 按按z的的 因果序列因果序列 负幂级数负幂级数 降幂排列降幂排列 左边序列左边序列 正幂级数正幂级数 升幂排列升幂排列例例1 1ROC1:)1 长除法示例长除法示例解：由解：由RocRoc判定判定x(n)x(n)是因果序列，是因果序列，用长除法展成用长除法展成z z的的负幂级数负幂级数ROC2:)1解：由解：由RocRoc判定判定x(n)x(n)是左边序列，是左边序列，用长除法展成用长除法展成z z的正幂级数
9、的正幂级数解：解：X(z)的的Roc为环状，故为环状，故x(n)是双边序列是双边序列 极点极点z=1/4对应右边序列，极点对应右边序列，极点z=4对应左边序列对应左边序列 先把先把X(z)展成部分分式展成部分分式1 1、线性性、线性性2.3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理R1R2R|a|RR2 2、序列的移位、序列的移位3 3、z z域尺度变换域尺度变换 （乘以指数序列）（乘以指数序列）4 4、 z z域求导域求导 （序列线性加权）（序列线性加权）Z变换的基本性质（续）变换的基本性质（续） 5 5、翻褶序列、翻褶序列1/RR6 6、共轭序列、共轭序列7 7、初值定理、初值定理8 8
10、、终值定理、终值定理Z变换的基本性质（续变换的基本性质（续）9 9、有限项累加特性、有限项累加特性ZTZT的主要性质参见书的主要性质参见书p.69p.69页的表页的表2-22-21010、序列的卷积和、序列的卷积和1111、序列乘法、序列乘法1212、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理2.4 序列序列ZT、连续信号、连续信号LT和和FT的关系的关系若：若：连续信号采样后的拉氏变换连续信号采样后的拉氏变换LT抽样序列：抽样序列：当当两变换之间的关系，就是由复变量两变换之间的关系，就是由复变量s s平面到复平面到复变量变量z z平面的映射，其映射关系为平面的映射，其映射关系为对比：对比：进一步讨论这一映射关系
11、：进一步讨论这一映射关系：1s平面到平面到z平面的平面的映射是多值映射。映射是多值映射。辐射线辐射线=0 0T T平行直线平行直线 =0 0正实轴正实轴=0实轴实轴 =0Z平面平面S平面平面:抽样序列在单位圆上的抽样序列在单位圆上的z z变换，就等于其理想抽样变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换数字频率数字频率w w表示表示z z平面的辐角，它和模拟角频率平面的辐角，它和模拟角频率W W的的关系为关系为在以后的讨论中，将用数字频率在以后的讨论中，将用数字频率w w来作为来作为z z平面上平面上单位圆的参数，即单位圆的参数，即所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或所以说，数
12、字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2 2p p2.5 离散信号的付氏变换离散信号的付氏变换DTFT一、一、DTFT的定义的定义变换对：变换对：称为称为离散时间傅里叶变换（离散时间傅里叶变换（DTFT）。）。FT存在的充分必要条件是：存在的充分必要条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。形式表示出来。二、比较二、比较ZT和和DTFT的定义：的定义： 利用利用ZT和和DTFT的关系可以有的关系可以
13、有ZT计算计算DTFT。 序列的傅里叶变换是序列的序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位变换在单位圆上的值圆上的值例例1、计算门序列的、计算门序列的DTFT ( (类似类似Sa(.)Sa(.)函数函数 ) )( (线性相位线性相位) ) 解：解：DTFT幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：图示说明：图示说明：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw例例2 2、已知、已知 ( ), ( ),计算其计算其DTFTDTFT。由此可以得到由此可以得到FT的的幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性物理说明物理说明: : 若若 ( (语音信号处理中常用该指数语音信号处理中常用该指数 函数展宽单音信号的频谱函数
14、展宽单音信号的频谱) ,) ,该信号该信号3db3db带宽带宽 ( (或或 ) )。具体求。具体求 解过程如下：解过程如下： 令令 即即 可解出可解出三、三、FT与与DTFT的关系的关系归一化归一化 利用利用FT与与DTFT关系计算下列序列的关系计算下列序列的 DTFT 例：例：解：解：1） 2）3）2.6 DTFT的一些性质的一些性质1 1、线性性：、线性性：2 2、实序列：、实序列：实偶性：实偶性：实奇性：实奇性：3 3、时移特性：、时移特性：4 4、乘以指数序列、乘以指数序列 （调制性）（调制性）5 5、序列线性加权、序列线性加权6 6、序列翻褶、序列翻褶7 7、序列共轭、序列共轭8 8
15、、卷积定理：、卷积定理： ( (时域时域) ) ( (频域频域) )DTFT的主要性质参见书的主要性质参见书p.78页的表页的表2-39 9、帕色伐尔定理：、帕色伐尔定理：(Parseval Theory)频域卷积在一周期内积分频域卷积在一周期内积分, ,称称周期卷积周期卷积。下面举例说明下面举例说明DTFT性质得使用。性质得使用。计算下列积分计算下列积分I的值。的值。解：根据解：根据 利用时域卷积定理有：利用时域卷积定理有：上式卷积上式卷积n=0时就是积分时就是积分I的值。的值。2.7 周期性序列的周期性序列的DTFT1、复指数序列的傅里叶变换、复指数序列的傅里叶变换q复指数序列复指数序列e
16、jw w0n的傅里叶变换，是以的傅里叶变换，是以w w0为中心，以为中心，以2p p的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为积为2p pq思考，思考，DTFTcos(w w0n+f)f)、 DTFT sin(w w0n+f)f)2、常数序列的傅里叶变换、常数序列的傅里叶变换q常数序列的傅里叶变换，是以常数序列的傅里叶变换，是以w=w=0为中心，以为中心，以2p p的整的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为2p p3、周期为、周期为N的抽样序列串的傅里叶变换的抽样序列串的傅里叶变换q周期为周期为N的周期性抽
17、样序列，其傅里叶变换是频的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在率在w=w=2p p/N的整数倍上的的整数倍上的一系列冲激函数之和，一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为这些冲激函数的积分面积为2p/Np/N4、一般性的周期为、一般性的周期为N的周期性序列的傅里叶变换的周期性序列的傅里叶变换q周期性序列周期性序列 （周期为（周期为N）的傅里叶变换是）的傅里叶变换是一系一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于 乘以乘以，而，而 是是x(n) 的一个周期的一个周期的傅里叶的傅里叶变换变换X(ejw w)在频域中在频域中w= w= 2p/Np/N的整数倍的
18、各抽样点的整数倍的各抽样点上的抽样值。上的抽样值。q即：即：e e满足满足0e 0e 2p p/N从从w=0w=0之前开始抽样；之前开始抽样；在在w=2pw=2p之间结束抽样；之间结束抽样；此区间共有此区间共有N N个抽样值：个抽样值：0 0 k N-1N-1周期序列的周期序列的DFS正变换和反变换正变换和反变换周期序列的傅里叶级数周期序列的傅里叶级数（DFS）其中：其中：2.8 Fourier变换的对称性质变换的对称性质共轭对称序列：共轭对称序列：共轭反对称序列：共轭反对称序列： 任意序列可表示成任意序列可表示成xe(n)和和xo(n)之和之和:其中：其中：定义：定义：其中：其中：同样，同样
19、，x(n)的的Fourier变换变换 也可分解成：也可分解成：对称性质对称性质 序列序列 Fourier变换变换实数序列的对称性质实数序列的对称性质 序列序列 Fourier变换变换实数序列的实数序列的Fourier变换满足共轭对称性变换满足共轭对称性实部是实部是的偶函数的偶函数虚部是虚部是的奇函数的奇函数幅度是幅度是的偶函数的偶函数幅角是幅角是的奇函数的奇函数2.9 离散系统的系统函数、系统的频率响应离散系统的系统函数、系统的频率响应LSI系统的系统的系统函数系统函数H(z)： 单位抽样响应单位抽样响应h(n)的的z变换变换其中：其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)
20、系统的系统的频率响应频率响应 ： 单位圆上的系统函数单位圆上的系统函数,单位抽样响应单位抽样响应h(n)的的DTFT1、若、若LSI系统为因果稳定系统系统为因果稳定系统稳定系统的系统函数稳定系统的系统函数H(z)的的Roc须包含单位圆，须包含单位圆，即频率响应存在且连续即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到须从单位圆到的整个的整个z域内收敛即系统域内收敛即系统函数函数H(z)的全部极点必须在单位圆内的全部极点必须在单位圆内1 1）因果：）因果：2 2）稳定：）稳定：序列序列h(n)绝对可和，即绝对可和，即而而h(n)的的z变换的变换的Roc：3 3）因果稳定：）因果稳定：RocRoc：2、系
21、统函数与差分方程、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：常系数线性差分方程：取取z变换变换则系统函数则系统函数3、系统的频率响应的意义、系统的频率响应的意义1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：系统对复指数序列的稳态响应：2）LSI系统对正弦序列的稳态响应系统对正弦序列的稳态响应输出同频输出同频 正弦序列正弦序列幅度受频率响应幅度幅度受频率响应幅度 加权加权相位为输入相位与系统相位响应之和相位为输入相位与系统相位响应之和3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应系统对任意输入序列的稳态响应 其中：其中：微分增量（复指数）：微分增量（复指数）：4、频率响应的几何确定法、频率响应的几何确定法利用利用H
22、(z)在在z平面上的零极点分布平面上的零极点分布频率响应：频率响应：则频率响应的则频率响应的令令幅角：幅角：幅度：幅度：零点位置影响凹谷点的位置与深度零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定极点在单位圆外，系统不稳定5、IIR系统和系统和FIR系统系统无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIR）系统：）系统： 单位冲激响应单位冲激响应h(n)是无限长
23、序列是无限长序列有限长单位冲激响应（有限长单位冲激响应（FIR）系统：）系统： 单位冲激响应单位冲激响应h(n)是有限长序列是有限长序列IIR系统：至少有一个系统：至少有一个FIR系统：全部系统：全部全极点系统全极点系统（自回归系统，自回归系统，AR系统系统） ：分子只有常数项：分子只有常数项零极点系统零极点系统（自回归滑动平均系统，自回归滑动平均系统，ARMA系统系统）:分子不止常数项分子不止常数项收敛域收敛域 内无极点，是全零点系统内无极点，是全零点系统（滑动平均系统，（滑动平均系统，MA系统）系统）IIR系统：至少有一个系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构有反馈环路，采用递归型结构FIR系统：全部系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构无反馈环路，多采用非递归结构Homework：P831(1)(2)(3) 3(1) 7 10 14 18
