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1、第二章第二章 第十二节第十二节 导数导数在实际问题中的应用在实际问题中的应用及综合应用及综合应用考向考向 1 1 利用导数解决实际生活中的优化问题利用导数解决实际生活中的优化问题【典例【典例1 1】（20132013黄山模拟）某商场销售某种商品的经验表黄山模拟）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量明，该商品每日的销售量y y（单位：千克）与销售价格（单位：千克）与销售价格x x（单位：（单位：元元/ /千克）满足关系式千克）满足关系式 其中其中3x63xf(x)f(x)f(x)，对任意正实数，对任意正实数a a，则下列式子成立的是，则下列式子成立的是( )( )（A A）f(a)f
2、(a)e ea af(0) f(0) （B B）f(a)f(a)e ea af(0)f(0)（C C） （D D）(2)(2012(2)(2012辽宁高考辽宁高考) )设设f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a,bR,a,bbR,a,b为常数为常数) )，曲线，曲线y=f(x)y=f(x)与直线与直线y= y= 在在(0,0)(0,0)点相切点相切. .求求a,ba,b的值的值. .证明证明: :当当0x20x0.a0.g(a)g(0)g(a)g(0)，即，即即即f(a)ef(a)ea af(0)f(0)(2)(2)由由y yf(x)f(x)过过
3、(0,0)(0,0)点，得点，得b b1.1.由由y yf(x)f(x)在在(0,0)(0,0)点的切线斜率为点的切线斜率为又又得得a a0.0.方法一：方法一：由基本不等式，当由基本不等式，当x x0 0时，时，故故记记 则则令令g(x)g(x)(x(x6)6)3 3216(x216(x1)1)，则当，则当0 0x x2 2时，时，g(x)g(x)3(x3(x6)6)2 22162160.0.因此因此g(x)g(x)在在(0,2)(0,2)上是减少的，又由上是减少的，又由g(0)g(0)0 0，得，得g(x)g(x)0 0，所以，所以h(x)h(x)0.0.因此因此h(x)h(x)在在(0,
4、2)(0,2)上是减少的，又上是减少的，又h(0)h(0)0 0，得，得h(x)h(x)0.0.于是当于是当0 0x x2 2时，时，f(x)f(x)m).m(Mm).当当m m0 0时，方程时，方程f(x)=0f(x)=0有唯一一个实根；有唯一一个实根；当当m m0 0时，方程时，方程f(x)=0f(x)=0有两个实根；有两个实根；当当m0m0时，方程时，方程f(x)=0f(x)=0有三个实根；有三个实根；当当M M0 0时，方程时，方程f(x)=0f(x)=0有两个实根；有两个实根；当当M M0 0时，方程时，方程f(x)=0f(x)=0有一个实根有一个实根. .【变式备选】【变式备选】（
5、20132013安庆模拟）已知函数安庆模拟）已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-3ax-1, -3ax-1, a0.a0.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .(2)(2)若若f(x)f(x)在在x=-1x=-1处取得极值，直线处取得极值，直线y=my=m与与y=f(x)y=f(x)的图像有三个的图像有三个不同的交点，求实数不同的交点，求实数m m的取值范围的取值范围. .【解析】【解析】（1 1）f(x)=3xf(x)=3x2 2-3a=3(x-3a=3(x2 2-a),-a),当当a a0 0时，对时，对xRxR，有，有f(x)f(x)0,0,故当故当a a0 0时
6、，时，f(x)f(x)的递增区间为的递增区间为(-,+),(-,+),当当a a0 0时，由时，由f(x)f(x)0 0解得解得 或或由由f(x)f(x)0 0解得解得故当故当a a0 0时，时，f(x)f(x)的递增区间为的递增区间为 f(x) f(x)的递的递减区间为减区间为（2 2）因为）因为f(x)f(x)在在x=-1x=-1处取得极值，处取得极值，所以所以f(-1)=3(-1)f(-1)=3(-1)2 2-3a=0,a=1.-3a=0,a=1.所以所以f(x)=xf(x)=x3 3-3x-1,f(x)=3x-3x-1,f(x)=3x2 2-3,-3,由由f(x)=0f(x)=0解得解
7、得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1.=1.由（由（1 1）中）中f(x)f(x)单调性可知，单调性可知，f(x)f(x)在在x=-1x=-1处取得极大值处取得极大值f(-1) f(-1) =1=1，在，在x=1x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-3.f(1)=-3.因为直线因为直线y=my=m与函数与函数y=f(x)y=f(x)的图像有三个不同的交点，的图像有三个不同的交点，结合结合f(x)f(x)的单调性可知，的单调性可知，m m的取值范围是的取值范围是(-3,1).(-3,1). 【满分指导】【满分指导】导数综合问题的规范解答导数综合问题的规范解答 【典例】【典例】（121
8、2分）（分）（20122012山东高考）已知函数山东高考）已知函数f(x)=f(x)=(k(k为常数，为常数，e=2.718 28e=2.718 28是自然对数的底数是自然对数的底数) )，曲线，曲线y=f(x)y=f(x)在在点点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行. .(1)(1)求求k k的值的值. .(2)(2)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .(3)(3)设设g(x)=(xg(x)=(x2 2+x)f+x)f(x)(x)，其中，其中f f(x)(x)为为f(x)f(x)的导函数的导函数. .证明：证明：对任意对任意x0,g(x)0,g(x)1
9、+e-2-2. . 【思路点拨】【思路点拨】已已 知知 条条 件件条条 件件 分分 析析曲线曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行得出得出f(1)=0f(1)=0即可求出即可求出k k的值的值f(x)=f(x)=求出求出f(x)f(x)及及f(x)=0f(x)=0的根，再判的根，再判断断f(x)f(x)的符号的符号g(x)=g(x)=(x(x2 2+x)+x)f(x)f(x)直接求直接求g(x)g(x)的最值困难，可对的最值困难，可对g(x)g(x)放缩后，再求最值放缩后，再求最值【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由f(x)=
10、 f(x)= 得得x(0,+)x(0,+)，得得22分分由曲线由曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线与处的切线与x x轴平行可知轴平行可知f(1)=f(1)=解得解得k=1.3k=1.3分分(2)f(x)=(2)f(x)=令令f(x)=0f(x)=0可得可得x=1x=1，44分分当当0x10x1x1时，时，f(x)=f(x)=于是于是f(x)f(x)在区间在区间(0(0，1)1)上是增加的；在上是增加的；在(1(1，+)+)上是减少的上是减少的. .66分分(3)g(x)=(x(3)g(x)=(x2 2+x)f(x)=(x+1) ,x(0,+)+x)f(x)
11、=(x+1) ,x(0,+)，因此，对任意因此，对任意x0,x0,g(x)1+eg(x)1+e-2-2等价于等价于1-x-xln x 1-x-xln x0,h(x)h(x)0,h(x)是增加的；是增加的；当当x(ex(e-2-2,+),+)时，时，h(x)0,h(x)h(x)0,(x)0,(x)(x)是增加的是增加的, ,(x)(x)(0)=0,(0)=0,故故x(0,+)x(0,+)时，时，(x)=e(x)=ex x-(x+1)0,-(x+1)0,即即 11 11分分所以所以1-x-xln x1+e1-x-xln x1+e-2-2 (1+e0,g(x)0,g(x)0.a0.(1)(1)求求a
12、 a的值的值. .(2)(2)若对任意的若对任意的xx0,+)0,+)，有，有f(x)kxf(x)kx2 2成立，求实数成立，求实数k k的最小值的最小值. .(3)(3)证明证明【解析】【解析】(1)f(x)(1)f(x)的定义域为的定义域为(-a(-a，+).+).f(x)=f(x)=由由f(x)=0,f(x)=0,得得x=1-ax=1-a-a.-a.当当x x变化时，变化时，f(x),f(x)f(x),f(x)的变化情况如表的变化情况如表: :x x (-a(-a，1-a) 1-a) 1-a 1-a (1-a(1-a，+) +) f(x) f(x) - - 0 0 + + f(x) f(
13、x) 极小值极小值 因此，因此，f(x)f(x)在在x=1-ax=1-a处取得最小值，处取得最小值，故由题意故由题意f(1-a)=1-a=0f(1-a)=1-a=0，所以，所以a=1.a=1.(2)(2)当当k0k0时，取时，取x=1x=1，有有f(1)=1-ln2f(1)=1-ln20 0，故，故k0k0不合题意不合题意. .当当k k0 0时，令时，令g(x)=f(x)-kxg(x)=f(x)-kx2 2，即即g(x)=x-ln(x+1)-kxg(x)=x-ln(x+1)-kx2 2，g(x)=g(x)=令令g(x)=0,g(x)=0,得得当当 时，时， 在在(0,+)(0,+)上恒成立上
14、恒成立, ,因此因此g(x)g(x)在在0,+)0,+)上是减少的上是减少的. .从而对于任意的从而对于任意的xx0 0，+)+)，总有，总有g(x)g(0)=0g(x)g(0)=0，即即f(x)kxf(x)kx2 2在在0 0，+)+)上恒成立上恒成立. .故故k k 符合题意符合题意. .当当0 0k k 时，时， 对于对于故故g(x)g(x)在在(0, )(0, )上是增加的上是增加的. .因此当取因此当取x x0 0(0, )(0, )时，时，g(xg(x0 0) )g(0)=0,g(0)=0,即即 不成立，故不成立，故 不合题意不合题意. .综上，综上，k k的最小值为的最小值为(3
15、)(3)当当n=1n=1时，不等式左边时，不等式左边=2-ln3=2-ln32=2=右边右边. .所以不等式成立，当所以不等式成立，当n2n2时，时，在在(2)(2)中取中取 得得f(x) (x0)f(x) (x0)，从而从而所以有所以有综上，综上，1.1.函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，且满足，且满足f(2)f(2)2 2，f(x)1f(x)1，则不等，则不等式式f(x)f(x)x0x0的解集为的解集为_._.【解析】【解析】令令g(x)g(x)f(x)f(x)x x，g(x)g(x)f(x)f(x)1 1，由题意知由题意知g(x)0g(x)0，g(x)g(x)是增加的，
16、是增加的，g(2)g(2)f(2)f(2)2 20 0，g(x)0g(x)0的解集为的解集为(2(2，)答案：答案：(2(2，)2 2设直线设直线x=tx=t与函数与函数f(x)=xf(x)=x2 2,g(x)=ln x,g(x)=ln x的图像分别交于点的图像分别交于点M,NM,N，则当，则当|MN|MN|达到最小时达到最小时t t的值为的值为_._.【解析】【解析】由题意知由题意知|MN|=x|MN|=x2 2-ln x,x-ln x,x0,0,不妨令不妨令h(x)=xh(x)=x2 2-ln x-ln x，则令，则令h(x)=h(x)=解得解得x=x=因因x(0, )x(0, )时，时，
17、h(x)h(x)0 0，当当x( ,+)x( ,+)时，时，h(x)h(x)0,0,所以当所以当x= x= 时，时，|MN|MN|达到最小此时达到最小此时t=t=答案：答案：3.3.设设a a0 0，函数，函数f(x)=x+ g(x)=x-ln xf(x)=x+ g(x)=x-ln x，若对任意的，若对任意的x x1 1，x x2 21,e1,e, ,都有都有f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )成立，则实数成立，则实数a a的取值范围的取值范围为为_._.【解析】【解析】只需满足只需满足f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax即可即可 所以函数所以函数g(x)g(x)
18、在在1,e1,e上是增加的，上是增加的，g(x)g(x)maxmax=g(e)=e-1.=g(e)=e-1.由由 得得x=a.x=a.当当0 0a1a1时，函数时，函数f(x)f(x)在在1,e1,e上是增加的上是增加的, ,此时此时f(x)f(x)minmin=f(1)=a=f(1)=a2 2+1,+1,解解 得得当当1 1aeae时，函数时，函数f(x)f(x)在在(1,a)(1,a)上是减少的，在上是减少的，在(a,e)(a,e)上是上是增加的增加的, ,此时此时f(x)f(x)minmin=f(a)=2a,=f(a)=2a,解解 得得1 1ae;ae;当当a ae e时，函数时，函数f(x)f(x)在在1,e1,e上是减少的，上是减少的，此时此时 解解 得得a ae.e.综上综上, ,答案：答案：
