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1、情境导入情境导入某地要在三条公路围某地要在三条公路围成的一块平地上修建成的一块平地上修建一个公园，要使公园一个公园，要使公园到三条公路的距离相到三条公路的距离相等。如果你是设计师，等。如果你是设计师，你会如何修建呢？你会如何修建呢？11.4 1.4 角平分线角平分线 （二）（二） - -三角形中的角平分线三角形中的角平分线 2学习目标学习目标n1.能够证明三角形的三条角平分线交于能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等；一点且这一点到三条边的距离相等；n2.角平分线的性质定理和判定定理的灵角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用活运用3 温故知新如图如图, OC是是AOB的
2、平分线的平分线, PDOA, PEOB, (已知已知)n_ CBAPDEO PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等)4 温故知新如图如图, PD=PE且且PDOA, PEOB, (已知已知) _ CBAPDEO OC是是AOB的平分线的平分线（在一个角的内部（在一个角的内部, 且到角的两边且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上距离相等的点在这个角的平分线上.)5 剪一个三角形纸片通过折叠剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线找出每个角的平分线. . 结论结论: :三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点. . 利用尺规作
3、出三角形三个利用尺规作出三角形三个角的角平分线角的角平分线. .探究新知探究新知如何证三条角平分线交于一点？如何证三条角平分线交于一点？6思考分析 基本思路基本思路: :我们知道我们知道, ,两条直线相交只有一个两条直线相交只有一个交点交点. .要想证明三条直线相交于一点要想证明三条直线相交于一点, ,只要能证明只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可两条直线的交点在第三条直线上即可. .如何证三条直线交于一点？如何证三条直线交于一点？7证明：过证明：过P点作点作PD AB，PF AC，PE BC，又又BM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P在在BAC的平分线上的平分线上ABC的三条角平分
4、线相交于点的三条角平分线相交于点PDEFMNCBAP证明：三角形三条角平分线相交于一点证明：三角形三条角平分线相交于一点 已知：如图，设已知：如图，设ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P，求证：，求证：P点在点在BAC的角平分线上的角平分线上例例1 1PD=PE同理：同理：PE=PFPD=PF8 定理定理: :三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点, ,并且并且这一点到三边的距离相等这一点到三边的距离相等. . 如图如图, ,在在ABCABC中中, ,BM,CN,AHBM,CN,AH分别是分别是ABCABC的三条的三条角平分且角平分且PDAB,PEBC,
5、PFACPDAB,PEBC,PFAC 提示提示: :这这又是一个证明三条直线交于一点的根据又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的之一这个交点叫做三角形的内心内心. .A AB BC CPM MN NDEFBM,CN,AHBM,CN,AH相交于一点相交于一点P,P,且且PD=PE=PFPD=PE=PFH H9例例2 2 如图如图, ,在在ABCABC中中, ,已知已知AC=BC,C=90AC=BC,C=900 0,AD,AD是是ABCABC的的角平分线角平分线,DEAB,DEAB,垂足为垂足为E.(1)E.(1)如果如果CD=4cm,ACCD=4cm,AC的长的长; ;(2)
6、(2)求证求证:AB=AC+CD.:AB=AC+CD.期望期望: :你能正确地解答并规范地写出其过程你能正确地解答并规范地写出其过程. .E ED DA AB BC C课堂练习课堂练习10 1. 1.已知已知: :如图如图, ,C=900, B=300, AD是是RtABCABC的角平分线的角平分线. . 求证求证:BD=2CD.:BD=2CD. ABCD挑战自我挑战自我11 2. 2.已知已知: :如图如图,ABC,ABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的角的角平分线相交于点平分线相交于点F.F. 求证求证: :点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上. . A AB BC C
7、FDE12证明证明 C= C=9090 B= 30B= 30 RtRtABCABC中，中，AB=2BC, AB=2BC, BAC= 60BAC= 60 AD AD是是ABCABC的角平分线的角平分线 BAD= BAD= DAC= 30DAC= 30,AD=BD,AD=BD RtRtACDACD中，中，AD=2CDAD=2CD BD=2CD BD=2CD13证明：证明： BFBF是是CBDCBD的角平分线的角平分线 F F到到BC,ADBC,AD的距离相等的距离相等 BFBF是是CBDCBD的角平分线的角平分线 F F到到BC,AEBC,AE的距离相等的距离相等 F F到到AD,AEAD,AE的
8、距离相等的距离相等 从而点从而点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上. .14情境导入情境导入某地要在三条公路围某地要在三条公路围成的一块平地上修建成的一块平地上修建一个公园，要使公园一个公园，要使公园到三条公路的距离相到三条公路的距离相等。如果你是设计师，等。如果你是设计师，你会如何修建呢？你会如何修建呢？15n 1. 如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ l3l21lCBA16n通过本节课你学到了什么？通过本节课你学到了什么？17 3. 3.已知已知: :如图如图,P,P是是AOBAOB平分线上的一
9、个点，并且平分线上的一个点，并且PCOA,PDOB,PCOA,PDOB,垂足分别是垂足分别是C,D.C,D.求证求证: :(1)OC=OD;(1)OC=OD;(2)OP(2)OP是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线. . BAPDCO18证明证明(1) (1) PP为为P P是是AOBAOB平分线上的一个点平分线上的一个点 PCOA,PDOBPCOA,PDOB PC=PD PC=PD Rt RtPOCPOC和和 RtRtPODPOD OP=OP OP=OP Rt RtPOC POC Rt RtPOD POD OC=ODOC=OD (2) (2) 由由PC=PDPC=PD得得P P在在CDCD的
10、垂直平分线上的垂直平分线上 由由O OC=ODC=OD得得O O在在CDCD的垂直平分线上的垂直平分线上 OPOP是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线. . 19n2.比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 201、已知：如图，在、已知：如图，在RtABC中，中，ACB90， B60，AD，CE是角平分线，是角平分线，AD与与CE相交于点相交于点F，FMAB，FNBC，垂足分别为，垂足分别为 M，N.求证：求证：FEFD.21连接连接连接连接BFBF，由题意易知，由题意易知，由题意易知，由题意易知BFBF即即即即为为为为ABCABC的平分线，则的平分线，则的平分线，则的平分线，则F
11、MFMFNFN，在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，B B6060，BACBAC30. 30. DABDAB BACBAC15.15.解：解：22FDNDABB75，FEMBACACE 30 ACB304575.FEMFDN. 在在FEM与与FDN中，中，FEMFDN.FEFD.23例例2 2 如图如图, ,已知已知ABC,ABC,作作ABCABC一个内角和与它不相一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线邻的两个外角的平分线, ,看它们是否交于一点看它们是否交于一点? ?这样这样的点有几个的点有几个? ?如果以这个点为圆心如果以这个点为圆心, ,这一点到三角形这一点到三角形一边的距离为半径作圆一边的距离为半径作圆, ,你能作出这个图形吗你能作出这个图形吗? ?A AB BC C老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点叫做三角形的旁心，这样点有三个。课堂练习课堂练习互动新授互动新授2425 结束寄语结束寄语 严格性之于数学家严格性之于数学家, ,犹如道德之于人犹如道德之于人. . 证明的规范性在于：条理清晰，因果相证明的规范性在于：条理清晰，因果相应应, ,言必有据言必有据. .这是初学证明者谨记和遵这是初学证明者谨记和遵循的原则循的原则. .26个人观点供参考，欢迎讨论
