静态场边致问题的解法课件

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1、第四章第四章 静态场边值问题的解法静态场边值问题的解法主主 要要 内内 容容边值问题、分离变量法、数值解法等边值问题、分离变量法、数值解法等 7 7学时学时1.边值问题的分类边值问题的分类2.唯一性定理唯一性定理3.直角坐标系中的直角坐标系中的分离变量法分离变量法4.圆柱坐标系中的圆柱坐标系中的分离变量法分离变量法5.球坐标系中的球坐标系中的分离变量法分离变量法6.镜像法镜像法7.有限差分法有限差分法静态场边致问题的解法课件4.1 4.1 边值问题的分类边值问题的分类 第一类第一类边值问题：边值问题： 已知电位函数在全部边界面上的分布值已知电位函数在全部边界面上的分布值l 边值问题边值问题 是

2、指存在边界面的电磁问题。是指存在边界面的电磁问题。l 根据给定边界条件对边值问题分类：根据给定边界条件对边值问题分类：狄里赫利问题狄里赫利问题（Dirichlet）第二类第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值第三类第三类边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值, ,和另一和另一 部分边界面上电位函数的法向导数部分边界面上电位函数的法向导数诺埃曼问题诺埃曼问题（Neumann）混合边值问题混合边值问题静态场边致问题的解法课件边值问题框图边值问题框图一、二类边界一、二类边界条件的线性组条件的线性

3、组合，即合，即已知场域边界已知场域边界上各点电位上各点电位的法向导数的法向导数已知场域边界已知场域边界上各点电位值上各点电位值第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件边值问题边值问题参考点电位参考点电位 有限值有限值场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件自然自然边界条件边界条件微分方程微分方程边界条件边界条件静态场边致问题的解法课件解析法解析法数值法数值法实测法实测法模拟法模拟法定性定性定量定量边值问题边值问题研究方法研究方法计算法计算法实验法实验法作图法作图法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模

4、拟电荷法积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图边值问题研究方法框图静态场边致问题的解法课件唯一性定理：唯一性定理：在场域在场域V V的边界面的边界面S S上给定电位上给定电位 或或 的值，的值，则则泊松方程泊松方程或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程在场域在场域V V内的解唯一。内的解唯一。l 唯一性定理的意义唯一性定理的意义 指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 为静态场边值问题求解方法提供了理论根据，为结果为静态场边值问题求解方法提供了理

5、论根据，为结果 正确性提供了判据；正确性提供了判据； 唯一性定理是间接法求解唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程( (泊松方程泊松方程) )的的 理论根据。理论根据。4.2 4.2 唯一性定理唯一性定理 （Uniquness Theorem）静态场边致问题的解法课件4.3 4.3 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 分分离离变变量量法法是是一一种种最最经经典典的的微微分分方方程程法法，它它适适用用于于求求解解具具有有理理想想边边界界条条件件的的典典型型边边值值问问题题。一一般般情情况况下下，采采用用正正交交坐坐标标系系可可用用分分离离变变量量法法得得出出拉拉普普拉拉斯斯

6、方方程程或或波波动动方方程程的的通通解解，而而只只有有当当场场域域边边界界与与正正交交坐坐标标面面重重合合或或平平行行时时，才才可可确确定定积积分分常常数数，得到边值问题的解。得到边值问题的解。 分分离离变变量量法法是是通通过过偏偏微微分分方方程程求求解解边边值值问问题题。其其基基本本思思想想是是：首首先先要要求求给给定定边边界界与与一一个个适适当当坐坐标标系系的的坐坐标标面面相相合合，或或者者至至少少分分段段地地与与坐坐标标面面相相合合；其其次次在在坐坐标标系系中中，待待求求偏偏微微分分方方程程的的解解可可表表示示为为若若干干个个函函数数的的乘乘积积，其其中中的的每每个个函函数数分分别别仅仅

7、是是一一个个坐坐标标的的函函数数。这这样样，通通过过分分离离变变量量将将偏偏微微分分方方程程化化为为常常微微分分方方程程求求其其通通解解；最最后后，根根据据已已知知边边界界条条件件确确定定常常数数，得得到到边边值值问问题题的解。的解。静态场边致问题的解法课件l 分离变量法解题的一般步骤：分离变量法解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出 对应的边值问题（微分方程和边界条件）；对应的边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微

8、分方程，并叠加各特解得到通解；解常微分方程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。在直角坐标系中，在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为：拉普拉斯方程为： l 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法静态场边致问题的解法课件设设 可以表示为三个函数的乘积，可以表示为三个函数的乘积， 即：即： 当当 时时 代入上式，得代入上式，得 即即其中其中 为分离常数，且为分离常数，且分析分析 与与 讨论讨论静态场边致问题的解法课件当当 时时 通解：通解：当当 时时 令令 其中其中 为实数为实数通解：通解：或者或者同理可以求

9、得同理可以求得 和和l 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。 双曲函数静态场边致问题的解法课件例例4.3-1横横截截面面如如图图所所示示的的导导体体长长槽槽，上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为ab，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板板的的电电位位为为U(x)，求此区域内的电位。求此区域内的电位。在区域在区域0ya、0yb内内边界条件边界条件为：为：x=0,(0,y)=0x=a,(a,y)=0y=0,(x,0)=0y=b,(x,b)=U(x)解：解：静态场边致问题的解法课件由于在由于

10、在X X方向上有重复零点（方向上有重复零点（x x0 0和和a a点），因此电位函点），因此电位函数为三角函数，数为三角函数，即：即： 且且通解：通解：其中其中待定常数：待定常数：当当 时时 所以所以当当 时时 故：故：静态场边致问题的解法课件当当 时时 所以所以因为因为故：故：当当 时时 讨论两种情况讨论两种情况 和和静态场边致问题的解法课件I.I.当当左右两边同乘以，左右两边同乘以， 并在区间并在区间(0(0，a)a)积分积分 又有又有因此因此静态场边致问题的解法课件对应系数相等对应系数相等II.II.当当因此因此静态场边致问题的解法课件静态场边致问题的解法课件分离变量法的分离变量法的求解

11、步骤求解步骤 l 建立正确的坐标系建立正确的坐标系, , 确定变量的个数；确定变量的个数；l 写出方程的通解；写出方程的通解；l 利用自然边界条件化简通解；利用自然边界条件化简通解；l 利用电磁边界条件建立确定系数的方程利用电磁边界条件建立确定系数的方程 并解方程并解方程, ,求出待定系数。求出待定系数。静态场边致问题的解法课件l 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 4.4 4.4 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标中的拉普拉斯方程（圆柱坐标中的拉普拉斯方程（）为）为仅讨论二维平面场情形，即仅讨论二维平面场情形，即与坐标变量与坐标变量无关时无关时令令，代入上

12、式得，代入上式得化简得化简得静态场边致问题的解法课件令令 第二项等于（第二项等于（）分析分析 与与 讨论讨论当当 时时 1-当当 时时 1-取整数取整数所以所以2讨论讨论1讨论讨论静态场边致问题的解法课件欧拉方程欧拉方程当当 时时 2-当当 时时 2-综上，圆柱坐标中二维场综上，圆柱坐标中二维场 的通解为的通解为静态场边致问题的解法课件边界条件边界条件：1例例4.4-1将将半半径径为为的的无无限限长长导导体体圆圆柱柱置置于于真真空空中中的的均均匀匀电场电场中，柱轴与中，柱轴与垂直，求任意点的电位。垂直，求任意点的电位。2解：解：静态场边致问题的解法课件12静态场边致问题的解法课件静态场边致问题

13、的解法课件l 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 4.5 4.5 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法球坐标中的拉普拉斯方程（球坐标中的拉普拉斯方程（）为）为仅讨论场问题与坐标仅讨论场问题与坐标无关时的情形无关时的情形令令，代入上式得，代入上式得令两项分别等于常数令两项分别等于常数和和静态场边致问题的解法课件引入引入一个新的自变量一个新的自变量则有则有勒让德方程勒让德方程取取则则当当从从1到到-1时，时，勒让德方程勒让德方程有一个有界解有一个有界解勒让德多项式勒让德多项式1讨论讨论静态场边致问题的解法课件下面是前几个勒让德多项式下面是前几个勒让德多项式当当时，时，；时，时，当

14、当勒让德多项式勒让德多项式勒让德多项式图形 勒让德多项式具有正交性勒让德多项式具有正交性 静态场边致问题的解法课件2讨论讨论欧拉方程欧拉方程通解通解综上综上，球坐标中，球坐标中 的通解为的通解为静态场边致问题的解法课件例例4.5-1在在均均匀匀电电场场中中，放放置置一一个个半半径径为为a的的导导体体球球，球心在原点。求球外的电位及电场强度分布。球心在原点。求球外的电位及电场强度分布。解：解：边界条件边界条件通解通解静态场边致问题的解法课件静态场边致问题的解法课件l求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷4.6

15、4.6 镜像法镜像法l接地导体球附近有一个点电荷产生的电位接地导体球附近有一个点电荷产生的电位等效电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效位很难求解，可以用等效电荷的电位替代。电荷的电位替代。静态场边致问题的解法课件l镜像法原理镜像法原理 镜镜像像法法的的目目的的：把把原原问问题题中中包包含含典典型型边边界界的的场场的的计计算算问问题题化化为为无无限限大大均均匀匀媒媒质质空空间间中中的的问问题题求求解解，达到简化求解的目的。达到简化求解的目的。 镜镜像像法法基基本本思思路路：在在求求解解域域外外的的适适当当位位置置，放放置置虚虚拟拟电电荷荷等等效效替替代代

16、分分界界面面上上导导体体的的感感应应面面电电荷荷或或媒媒质质的的极极化化面面电电荷荷的的作作用用。分分界界面面对对空空间间的的电电位位由由镜像电荷等效后，镜像电荷等效后，取消分界面取消分界面对问题进行分析。对问题进行分析。静态场边致问题的解法课件1电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程）松方程）2电位分布仍满足原边界条件电位分布仍满足原边界条件l镜像镜像电荷位置选择电荷位置选择原则原则1镜像电荷必须位于求解区域以外镜像电荷必须位于求解区域以外2镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件l镜像法理论依据镜像法理论依据唯一性

17、定理唯一性定理由由唯唯一一性性定定理理：满满足足同同一一方方程程和和同同样样边边界界条条件件的的电电位位分分布布的的解解是是相相同同的的，所所以以引引入入像像电电荷荷（等等效效电荷）后，应该有：电荷）后，应该有：静态场边致问题的解法课件1.平面边界的镜像法平面边界的镜像法例例4.6-1求求置置于于无无限限大大接接地地平平面面导导体体上上方方，距距导导体体面面为为处处的的点电荷点电荷的电位，球场分布。的电位，球场分布。4.6.1静电场中的镜像法静电场中的镜像法边值问题边值问题（原问题）（原问题）（导板及无穷远处导板及无穷远处）（除除q所在点外的区域所在点外的区域）上半场域边值问题上半场域边值问题

18、（等效后）（等效后）（导板及无穷远处导板及无穷远处）（除除q所在点外的区域所在点外的区域） 平面导体的镜像 静态场边致问题的解法课件镜镜像像法法:用用虚虚设设的的电电荷荷分分布布等等效效替替代代媒媒质质分分界界面面上上复复杂杂电电荷荷分分布布，虚虚设设电电荷荷的的个个数数、大大小小与与位位置置使使场场的的解解答答满满足足唯唯一一性性定理。定理。上半空间内任意点上半空间内任意点的的电位电位为为平面导体上的感应平面导体上的感应电荷密度电荷密度为为静态场边致问题的解法课件例例4.6-2为为无无限限大大接接地地的的导导电电（）平平面面（电电壁壁），在在出出处处有有一一无无限限长长均均匀匀带带电电的的细

19、细直直导导线线，导导线线与与轴轴平平行行且且经经过直角坐标（过直角坐标（）点，求上半空间（）点，求上半空间（）的电位函数。）的电位函数。设设细细直直导导线线的的电电荷荷密密度度为为，则则镜镜像像线电荷密度为线电荷密度为。解：解：电壁的作用可以等效为：镜像位置电壁的作用可以等效为：镜像位置处的镜像线电荷处的镜像线电荷带电体系在空间的带电体系在空间的电位电位为为静态场边致问题的解法课件式中式中不能选为无穷远点不能选为无穷远点，同样，同样式中式中所以所以静态场边致问题的解法课件例例4.6-3不同介质（不同介质（和和）分界面的镜像法。）分界面的镜像法。边值问题边值问题（下半空间下半空间）（除除q点外的

20、上半空间点外的上半空间）点电荷对无限大介质分界面的镜像点电荷对无限大介质分界面的镜像和和静态场边致问题的解法课件l中的电场是由中的电场是由决定，其有效区在下半空间，决定，其有效区在下半空间，是等效替是等效替啊啊代自由电荷与极化电荷的作用。代自由电荷与极化电荷的作用。即即点电荷 位于不同介质平面上方的场图l中的电场是由中的电场是由与与共同产生，其有效区在上半空间，共同产生，其有效区在上半空间，四四是等效替代极化电荷的影响。是等效替代极化电荷的影响。求求解解图图示示与与区区域域的的电电场场，试试确确定定镜镜像像电电荷荷的的个个数数、大大小小与位置。与位置。静态场边致问题的解法课件2.角形区域的镜像

21、法角形区域的镜像法所所有有相相互互成成角角的的两两块块半半 无无 限限 大大 接接 地地 导导 体体 平平 面面 间间 的的 场场 四四都都可可用用镜镜像像法法来来求解，其像电荷个数为求解，其像电荷个数为静态场边致问题的解法课件例例4.6-4设设在在点点电电荷荷附附近近有有一一接接地地导导体体球球，求求导导体体球球外外空空间间的的电位及电场分布。电位及电场分布。边值问题：边值问题：点电荷对接地导体球面的镜像3.球面边界的镜像法球面边界的镜像法设设镜镜像像电电荷荷位位于于球球内内，球球面面上上任任一点电位为一点电位为（除除q点点外外的的导导体体球球外外空空间间)静态场边致问题的解法课件由由叠加原

22、理叠加原理，接地导体球外任一点，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为的电位与电场分别为点电荷位于接地导体球附近的场图点电荷位于接地导体球附近的场图l镜像电荷不能放在当前求解的场域内镜像电荷不能放在当前求解的场域内l导体上总的感应电荷等于镜像电荷导体上总的感应电荷等于镜像电荷接地导体球外的电场计算如何判断？是否总成立如何判断？是否总成立？静态场边致问题的解法课件在在接接地地球球的的基基础础上上判判断断镜镜像像电电荷荷的的个个数数、大小与位置大小与位置边值问题：边值问题：例例4.6-5计算不接地金属球附近放置一点电荷计算不接地金属球附近放置一点电荷时的电场分布。时的电场分布。点电荷对不接地金属

23、球的镜像l感感应应电电荷荷分分布布及及球球对对称称性性，在在球球内内有有两两啊啊个等效电荷个等效电荷正负镜像电荷绝对值相等正负镜像电荷绝对值相等正镜像电荷只能位于球心正镜像电荷只能位于球心（除除q点外的导体球外空间点外的导体球外空间）放置镜像电荷：放置镜像电荷：静态场边致问题的解法课件点电荷位于不接地导体球附近的场图任一点电位及电场强度为任一点电位及电场强度为静态场边致问题的解法课件4.柱面边界的镜像法柱面边界的镜像法例例4.6-6线线电电荷荷密密度度为为的的无无限限长长带带电电直直线线与与半半径径为为a的的接接地地无无限限长长导导体体圆圆柱柱的的轴轴线线平平行行，直直线线到到圆圆柱柱轴轴线线

24、的的距距离离为为，如如图图所所示。示。求圆柱外空间的电位函数。求圆柱外空间的电位函数。解解：静态场边致问题的解法课件两端对两端对求导求导可得可得圆柱面上圆柱面上电位为零电位为零静态场边致问题的解法课件因为因为 所以所以 圆柱面上的感应圆柱面上的感应电荷密度电荷密度为为 圆柱面上圆柱面上单位长度的感应面电荷单位长度的感应面电荷为为静态场边致问题的解法课件例例4.6-7设设分分界界面面为为平平面面的的两两个个半半无无限限大大空空间间中中，分分别别充充满满磁磁导导率率为为和和的的两两种种均均匀匀介介质质，在在介介质质1中中存存在在一一平平行行于于分分界界面面的长直线电流的长直线电流I，与分界面的距离

25、为，与分界面的距离为，试求空间的磁场。，试求空间的磁场。4.6.2静磁场中的镜像法静磁场中的镜像法静态场边致问题的解法课件下半空间（下半空间（ ）用镜像电流）用镜像电流 来代替分界面上的磁化电流。来代替分界面上的磁化电流。 上半空间（上半空间（ ）用一镜像电流）用一镜像电流 代替分界面上的磁代替分界面上的磁四四四四四四化电流。化电流。 解解：在分界面上在分界面上静态场边致问题的解法课件从而得到从而得到 联立求解联立求解可得可得 相应的磁场为相应的磁场为静态场边致问题的解法课件镜像法小结镜像法小结 镜像法的镜像法的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理； 镜像法的镜像法的实质实质

26、是用虚设的镜像电荷替代未知电荷是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的镜像法的关键关键是确定镜像电荷的个数（根数），是确定镜像电荷的个数（根数），大小及位置；大小及位置； 应用镜像法解题时，应用镜像法解题时，注意：注意：镜像电荷只能放在镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。待求场域以外的区域。叠加时叠加时，要注意场的适用区，要注意场的适用区域。域。静态场边致问题的解法课件4.7 4.7 有限差分法有限差分法1.二维泊松方程的差分格式二维泊松方程的差分格式通通常常将将场场域域分分成成足足够够小小的的正正方方形形网网格格,网网格

27、格线线之之间间的的距距离离为为h,节节点点0,1,2,3,4上上的的电电位位分分别别用用和和和和表示。表示。（1）（2）二维静电场边值问题：二维静电场边值问题：有限差分的网格分割有有限限差差分分法法（FiniteDifferentialMethod）是是基基于于差差分分原原理理的的一一种种数数值值计计算算法法。其其基基本本思思想想：将将场场域域离离散散为为许许多多小小网网格格，应应用用差差分分原原理理，将将求求解解连连续续函函数数的的泊泊松松方方程程的的问问题题转转换换为为求求解解网网格节点上格节点上的差分方程组的问题。的差分方程组的问题。静态场边致问题的解法课件将将和和分别代入式（分别代入式

28、（3），得），得（4）（5） 由（由（4）（5）（6）由（由（4）+（5）（7）（9）同理同理（8）将式（将式（7）和（）和（9）代入式（）代入式（1），得到），得到泊松方程的五点差分格式泊松方程的五点差分格式设函数设函数在在处可微，则沿处可微，则沿方向在方向在处的泰勒公式展开为处的泰勒公式展开为（3）静态场边致问题的解法课件当场域中当场域中，得到，得到拉普拉斯方程的五点差分格式拉普拉斯方程的五点差分格式若场域离散为矩形网格，差分格式为：若场域离散为矩形网格，差分格式为：122.边界条件的离散化处理边界条件的离散化处理第二类边界条件第二类边界条件边界线与网格线相重合的差分格式边界线与网格线相重

29、合的差分格式第一类边界条件第一类边界条件给边界离散节点直接赋已知电位值。给边界离散节点直接赋已知电位值。静态场边致问题的解法课件介质分界面衔接条件介质分界面衔接条件的差分格式的差分格式其中其中边界条件的离散化处理边界条件的离散化处理3.差分方程组的求解方法差分方程组的求解方法高斯赛德尔迭代法高斯赛德尔迭代法式中式中 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭迭代代过过程程遇遇到到边边界界节节点点时时，代代入入边边界界值值或或边边界界差差分分格格式式，的的直到所有节点电位满足直到所有节点电位满足为止。为止。高斯高斯赛德尔迭代法赛德尔迭代法静态场边致问题的解法

30、课件松弛迭代法松弛迭代法式中式中加速收敛因子加速收敛因子最佳收敛因子的经验公式：最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格矩形场域、正方形网格）欠松弛迭代欠松弛迭代超松弛迭代超松弛迭代迭代发散迭代发散高斯赛德尔迭代法高斯赛德尔迭代法静态场边致问题的解法课件 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细网格剖分精细有关有关 迭代收敛的速度与迭代收敛的速度与工程精度工程精度要求有要求有程序框图程序框图如下：如下：赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值按超松弛法进行一次迭代，求打印 结束N 所有内点 相邻

31、二次迭代值的最大误差是否小于Y累计迭代次数N=0N=N+1启动迭代解程序框图迭代解程序框图静态场边致问题的解法课件编编程程题题1横横截截面面如如图图所所示示的的导导体体长长槽槽，上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为ab，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板板的的电电位位为为100V。用高斯赛德尔迭代法编程求解。用高斯赛德尔迭代法编程求解。要要求求：步步长长h1，x、y方方向向的的网网格格数数为为m16，n10，迭代精度为迭代精度为。计算：计算：迭代次数迭代次数N与与分布。分布。静态场边致问题的解法课件编编程程题题2横横截截面面如如图图所所示示的

32、的导导体体长长槽槽，上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板，截截面面尺尺寸寸为为aa，槽槽体体的的电电位位为为零零，盖盖板板的的电电位位为为100V。用超松弛迭代法编程求解。用超松弛迭代法编程求解要要求求：步步长长h1，x、y方方向向的的网网格格数数为为m10，n10，迭代精度为迭代精度为。计算：计算：迭代次数迭代次数N与与分布。分布。静态场边致问题的解法课件第四章第四章 静态场边值问题的解法静态场边值问题的解法主主 要要 内内 容容边值问题、分离变量法、数值解法等边值问题、分离变量法、数值解法等 7 7学时学时1.边值问题的分类边值问题的分类2.唯一性定理唯一性定理

33、3.直角坐标系中的直角坐标系中的分离变量法分离变量法4.圆柱坐标系中的圆柱坐标系中的分离变量法分离变量法5.球坐标系中的球坐标系中的分离变量法分离变量法6.镜像法镜像法7.有限差分法有限差分法静态场边致问题的解法课件双曲正弦双曲正弦 双曲余弦双曲余弦 a)a)：其定义域为：其定义域为:(-,+):(-,+)；b)b)：是奇函数；：是奇函数；c)c)：在定义域内是单调增：在定义域内是单调增a)a)：其定义域为：其定义域为:(-,+):(-,+)；b)b)：是偶函数；：是偶函数；c)c)：其图像过点：其图像过点(0,1)(0,1)；和差公式和差公式 反双曲正弦函数反双曲正弦函数 其定义域为：其定义

34、域为：(-,+)(-,+)；反双曲余弦函数反双曲余弦函数 其定义域为：其定义域为：1,+)1,+)； 双曲函数静态场边致问题的解法课件差分原理差分原理设设有有一一函函数数f(x)，当当独独立立变变量量x有有一一微微小小增增量量 xh，相相应应f(x)的增量为：的增量为： f(x)=f(x+h)-f(x)，称为函数，称为函数f(x)的差分。的差分。不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。当当h很小时，很小时， f(x) df(x)。l中心差分中心差分 f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2)l一阶差商：一阶差商：l二阶差商二阶差商 l偏偏导

35、导数数也也可可用用差差商商近近似似表表示示。因因而而偏偏微微分分方方程程可可表表示示为为差分方程（代数方程）。差分方程（代数方程）。 静态场边致问题的解法课件算法算法简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。简单迭代法，以解拉普拉斯方程为例。（1）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。）设定内点初值，用计算机解题时，可都取零值。（2）按一固定顺序）按一固定顺序(从左到右，从下到上从左到右，从下到上)依次利用依次利用高斯赛德尔迭代法高斯赛德尔迭代法计算内点计算内点o点的新值。即点的新值。即o点的新值就是围绕该点的点的新值就是围绕该点的4个点的电位的平均值。个点的电位的平均值。静态场边致问题的解法课件

36、静态场边致问题的解法课件如（如（j，k）点在第）点在第n1次迭代时按下式计算：次迭代时按下式计算：（3）当所有的内点都计算完后，用它们的新值代）当所有的内点都计算完后，用它们的新值代替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到替旧值，完成一次迭代。再进行下一次迭代。直到每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。每一点计算得到的新值与旧值之差小于指定的范围。这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位这种方法的特点是用前一次迭代的得到的结点电位作为下一次迭代时的初值。作为下一次迭代时的初值。静态场边致问题的解法课件简单迭代法收敛慢。简单迭代法收敛慢。超松弛法的改进：超松弛法的改进：（1）即计

37、算（即计算（j，k）点时，左边点（）点时，左边点（j-1,k）和下面点（）和下面点（j，k-1）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭）用的是新值。这种迭代方法称为高斯赛德尔迭代法。代法。（2）将上式写成增量的形式，）将上式写成增量的形式，引进加速收敛因子引进加速收敛因子 ， 在在12之间。之间。超松弛法超松弛法静态场边致问题的解法课件加速解的收敛。加速解的收敛。2时，迭代过程将发散。时，迭代过程将发散。最佳收敛因子最佳收敛因子 0的取值随问题而异。对第一类边的取值随问题而异。对第一类边值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边值问题，正方形场域，网格按正方形划分，每边结点数结点数p1，则：，则：静态场边致问题的解法课件