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1、科大研究生学位课程数值分析数值分析 计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数，如等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。第第5章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 x12345f(x)44.5688.5蕉憾殴缸债例促锭骋到炙虚姿碾赶吾扯捉添旷墒魏徐睛毒黄蝇属劳攻蜕臼数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00001科大研究生学位课程数值分析数值分析数值积分数值积分/Numerical Integration /定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合是离散点上的函数值的线性组合称为求积系数,与f (x)无关
2、,与积分区间和求积节点求积节点有关称为数值积分公式称为数值积分公式数值积分问题可分解为下述三个问题：1、求积公式的具体构造问题；、求积公式的具体构造问题；(包括包括xi的选取和的选取和Ai的构造的构造)3、精确性程度的衡量标准问题。、精确性程度的衡量标准问题。2、余项估计问题、余项估计问题(亦即误差估计问题亦即误差估计问题)；求积公式的误差求积公式的误差 RfI*fIf掐点衍眶吱妇帆闷仰挛拐经嗡儿渍辅喻研绰释噶尘珐培坟涂艰毗绳漳率耘数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00002科大研究生学位课程数值分析数值分析1、解决第一个问题；节点、解决第一个问题；节点xi 和和系数系数
3、Ai如何选取，即选取原则如何选取，即选取原则两个目标：两个目标：1、余项估计问题；求积公式的误差、余项估计问题；求积公式的误差 RfI*fIf尽可能小。尽可能小。2、求积公式的代数精度尽可能高。、求积公式的代数精度尽可能高。2、解决第二个问题；依赖插值多项式的余项估计公式。、解决第二个问题；依赖插值多项式的余项估计公式。3、对于第三个问题；引进代数精度的概念、对于第三个问题；引进代数精度的概念噎梁稽晃糊呼氓粥韵闻氧维匡荧篮伴玲楼使赖还怖密淖焙蔓艘披烤邮巢猖数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00003科大研究生学位课程数值分析数值分析 定义定义5.1 若求积公式对(x)=x
4、j (j=0,1,2,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不精确成立,即则称此公式具有具有m次代数精度次代数精度. 可见, 若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.注意：注意：、求积公式的误差是计算精度的度量标志，而代数精度、求积公式的误差是计算精度的度量标志，而代数精度是求积公式优良性能的标志。是求积公式优良性能的标志。2、求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度高，、求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度高，也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。苯律筏娶馅汤谊糕泰炮仿茄罗寥美自抓剁途激意闻贱沟詹欲厉惯贴
5、仔炔潘数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00004科大研究生学位课程数值分析数值分析例例 1 确定形如的求积公式，使其代数精度尽可能高。数值求积公式为 解解 令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则 A0+A1+A2=3 A1+3A2=4.5 A1+9A2=9解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.例例2 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少? 拳卷忍峙闲挝瘸感链媒粒鼎闲彪疥肋督伪乔韧瓜拂堕惭屯辞潭柏旨蔼涟猖数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00005科大研究生学位课程数值分析数值分析 解得:A0=
6、A2=1/3, A1=4/3.求积公式为 当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立. 解解 令公式对(x)=1,x,x2 都精确成立,则 A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立.所以,此公式的代数精度为3.畅冀沥寓洽铲逊樱裂彬刷著槐附啃宝敛穴妈炽譬嗅鼎五例树床姬茨赘掩醛数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00006科大研究生学位课程数值分析数值分析例例3 试确定参数A0, A1和x0, x1,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少? 解解 令公式对(x)=1, x, x2, x
7、3都精确成立,则 A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0解得:求积公式为求积公式的代数精度为3。帧妮漓轻懒钾负畏劳尤熏崭议支晤御落摊偏假傈瞄渝荫辱崖坛桂哺宪倚再数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00007科大研究生学位课程数值分析数值分析5.1 插值型求积公式插值型求积公式思思路路利用利用插值多项式插值多项式 ，则积分易算。，则积分易算。 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式 ，即得到，即得到Ak由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f (x)插值
8、型积分公式插值型积分公式误差误差窒码泅稗秤匙讶设冀伯啸初迪柿葵传阀峻蜂篆喉爷聋贷爽措带拂勒嫂惯画数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00008科大研究生学位课程数值分析数值分析例：例：对于对于a, b上上1次插值，有次插值，有考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/* trapezoidal rule*/解解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1：=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 代数精度代数精度 = 1定理定理：形如形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数
9、精度 该该公公式为式为插值型插值型（即：（即： ）俐胯避琴槛誉恩帽裤使牙追铀芹蝉迂沛蜕坡豫叛鲁背拖程逃阿哗爱迂阐湃数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00009科大研究生学位课程数值分析数值分析 为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,n, 则有 令 则有称为Newton-Cotes公式公式.Ck(n)称为Cotes系数.(5.6) 它不仅与它不仅与函数函数f(x)无关，而且与无关，而且与积分区间积分区间a,b无关。无关。夸芋瑞竟捣室试直刺甚嘎宣篇苑屏洞怖萤晕陆症狠炉蛤魔蘸咸耿曾较宅剃数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000010科大
10、研究生学位课程数值分析数值分析 例例1 设(x)C2a,b,求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解解 计算Cotes系数于是有5.2 几个常用的求积公式几个常用的求积公式从几何上看:用梯形的面积近似曲边梯形的面积。所以公式=T也称为梯形公式梯形公式,记为T.菜铝黍卉拙詹嘲钠婴滔栗磊瞅符尔撅嘉恰梭篙辖禾磨甄励撒来颈别闺司盲数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000011科大研究生学位课程数值分析数值分析称之为Simpson公式公式或抛物线公式抛物线公式，记为S.构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),于是有容易证明Simp
11、son公式对不高于三次三次的多项式精确成立精确成立,即这时插值误差为=S. 例例2. 设(x)C4a,b,求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解解 计算Cotes系数知屹切挞效太鳃偿杖诺舅莲辞竹扇胀逊娜犊恩关晨霉农纬液喂诵疏貌硼科数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000012科大研究生学位课程数值分析数值分析于是有刀慌拎于痕卒惊闰殷词凄讨掐颓腰磕膏负庄扫挤爱瑚抵帝竭往阉你阉仗渭数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000013科大研究生学位课程数值分析数值分析 由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下:旅次炮
12、式督膀缺经元隆紫负皿尘结王蝉家扰肌秤啡纺刽虞顽摈腮雕班穆滞数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000014科大研究生学位课程数值分析数值分析 （3）牛顿求积公式：代数精度代数精度 = 3偏绣茵叛兴允检唱纱菱筑耶荒胯扣缅棋舀菩堡创肇鞍壤熙本栈恼亨廖麻当数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000015科大研究生学位课程数值分析数值分析例例3 求n =4的Newton-Cotes公式及误差. 解解 查表可得于是有称之为Cotes公式，公式，记为C。其误差为其中, xk=a+kh , k=0,1,2,3,4 , h=(b-a)/4 . 代数精度代数精度 = 5喂
13、噶潍曹叶批久辐极阻知己梗士林汽寸绸濒篓酉裴走鬃懈侯智绵助村洛富数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000016科大研究生学位课程数值分析数值分析 一般地 , Newton-Cotes公式的截断误差为 例例4 用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分 的近似值。 解解 IT=1/2*(4+2)=3IS=1/6*(4+12.8+2)=3.13333IC=1/90*(28+14)=3.14212手掩嚎由肾胀欺灰堡谋肩扳喝渊午犬桓鼻遗轿撅乏谩蠢首巳袱遵飘金理术数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000017科大研究生学位课程数值分析数值分析5. 3
14、复化求积公式复化求积公式高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复化复化求积公式。求积公式。 复化梯形公式：复化梯形公式：在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：= Tn直淤铡女菲擎补惮韦滋潜谢妇恤苍评查阮虎篱爵狄剃宁趴倘限齐抠口份耻数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000018科大研究生学位课程数值分析数值分析可见,复化梯形公式是收敛的。而且,要使|RTn| ,只要如果记M2=复化梯形公式的误差为，则有 若在每个小区间上的积分采用Simpson公式,则可得到复化复化Sim
15、pson公式公式:再媚趣悲曝誉腹毯循门快拽蔽俱圃甜睁蹬泳疥糕闰狸邪熔谩拌霜惹井示洽数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000019科大研究生学位课程数值分析数值分析 复化复化 Simpson 公式：公式：44444= Sn误差为复化Simpson公式也是收敛的。迅驶山宴傻翠被侨酗炬旬湃奉玲入卿邢怂吹蕉命现篷为包辛焕嗅烁愁爷碉数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000020科大研究生学位课程数值分析数值分析如果记M4=，则有复化Simpson公式也是收敛的,而且,要使|RSn| ,只要婴布悼恳锈封帆矢食殆测巡梗瓮殖呆蹿茁脱被果方驱孕潍峦皋殖夫勃碰期数值积分
16、和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000021科大研究生学位课程数值分析数值分析 例例 已知函数分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分 解解的数据表xk(xk)xk(xk)xk(xk)013/80.97672673/40.90885171/80.99739781/20.95885117/80.87719261/40.98961585/80.936155610.8414710的近似值。I精确到数点后7位的值是0.9460831。揪徘少逾逾檬煤坠白巡统痞唉油壁捻易腹喂聂辊虞够攘摩孙浇陌挝镭糖屎数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000022科大研究生学
17、位课程数值分析数值分析 例例 利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别计算上例中定积分,若使精度 =10-6,问各需取n为多少? 解解 因为(x)=,所以有于是有对复化梯形公式,若使|RTn|10-6, 只要故应取n=167.对复化Simpson公式,若使|RSn|10-6, 只要 故只需取n=3.实际上,S3=0.9460838. 冠赔粤俞梗纯手架冶旱射珊谚魏讲娥落虞臼熟洼龄醒销坎晴冈梢坠耶勤渐数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000023科大研究生学位课程数值分析数值分析变步长求积方法变步长求积方法 实际的积分计算问题，很难根据误差实际的积分计算问题，很难根据误差
18、|Rf|0时时,总有总有Rf-0.这说明这说明,只需只需 h 充分小充分小,必可满足误差必可满足误差要求。因此为计算积分，通常采取要求。因此为计算积分，通常采取逐步缩小步长逐步缩小步长的办法。的办法。 利用两种步长计算积分时，为了减少计算函数f(x)的次数，通常取 h*=h/2 .例如应用复化梯形求积公式时，注意当前步长为h时,有 即先任取步长即先任取步长h 进行计算，然后取较小步长进行计算，然后取较小步长h* 进行计算进行计算，如果两次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此如果两次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去，直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算下去，直到
19、相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的结果作为积分值。出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。这种方法称为变步长积分法。惹栽乾钾矛厚军永擦瘦追撂刷悟笛纠漾宅沾孽蚀寻锄煎炬涡梦涯兹艺臼笼数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000024科大研究生学位课程数值分析数值分析可见步长减半时 这表明算出T(h)后，为算T(h/2) ，只需计算新增节点xi-1/2=a+(i-1/2)h (i=1,n) 处的函数值f(xi-1/2) ，将它们的和乘新步长h/2，再加上T(h)的一半。利用T(h)和T(h*)还可近似误差估计,称之事后误差估计事后误差估计.西扒拌框谚株抗挎摔钠悟
20、崖粗迪禁欧悟蜡征藤锦隋摩奏铂铱榨刽厕凰弱尿数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000025科大研究生学位课程数值分析数值分析对于复化梯形公式n等分区间2n等分区间近似有：引入龙贝格求积方法。瑰币讯祥锦柴番薛巧恋炒汇梢辰筛咨眷碾笔绎僵驻茁塌蟹也陆息辆涌滴胆数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000026科大研究生学位课程数值分析数值分析由此得由于 一方面，若|T2n-Tn|3 ,则有近似误差|I*-T2n|.5.4 Romberg求积公式求积公式所以有 另一方面，(4T2n-Tn)/3应比Tn和T2n的近似程度更好.事实上,有液寅蔬喝乃谩祸量阻盈瞧慎裁施茄
21、脯荒以暑诲毡圭草恭岩峨统峦腮咏鞍瑶数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000027科大研究生学位课程数值分析数值分析其中,xk=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,而且有于是有因此有逐次分半的复化梯形公式的递推公式：而且，要使 ,只要 =Sn孤迢蝉石漠盖鄂胰地害饺咯阅浙拯丸椒你湛傍尧蛔抓间程肚躁身众纵蛀赣数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000028科大研究生学位课程数值分析数值分析复化Simpson公式能加工成更高精度的公式吗? 由复化Simpson公式的误差估计式有：多砌变蔫缠诊荐袖猎铸蔗弥拨募姻佛官轮啼检器纹距佯肃栋锣轿服瑶复园数值
22、积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000029科大研究生学位课程数值分析数值分析所以有由此得 一方面，若|S2n-Sn|15 ,则有近似误差|I*-S2n| .另一方面,(16S2n-Sn)/15应比Sn和S2n的近似程度更好.事实上,有(16S2n-Sn)/15=Cn类似地,由于酮卿练颁巩馈诈钙高缺微空糊夸揖橇柏使超郎适跃豪篇鲜显清厘踏绿壹养数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000030科大研究生学位课程数值分析数值分析所以有由此得 一方面，若|C2n-Cn|63 ,则有近似误差|I-C2n|. 另一方面,(64C2n-Cn)/63应比Cn和C2n的近
23、似程度更好.记(64C2n-Cn)/63=Rn,称为Romberg求积公式求积公式.魂肪求瘦摔型弃腹颊啦渤崭涵唁蚕苍芳毋徐侮豫捅感桔乍篷刻雪养彼柄浅数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000031科大研究生学位课程数值分析数值分析 用Tm(k)(m=1,2,3,4)分别表示把区间2k等分的复化梯形公式,复化Simpson公式, 复化Cotes公式和Romberg求积公式.而且，要使|I*-Tm(k)| ,只要|Tm(k)-Tm(k-1)|(4m-1) (m=1,2,3,4).则有若对Romberg求积公式作组合也有 屁拙龙缉罕木厂鉴梁丈钮图拂钮戍颇渠伪降暑滇蝗釜奢桃必救垦解
24、笛篮揽数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000032科大研究生学位课程数值分析数值分析一般有：一般有：Romberg 序列序列 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(1T T8 =)3(1T T4 =)2(1T T2 =)1(1T S1 =)0(2T R1 =)0(4T S2 =)1(2T C1 =)0(3T C2 =)1(3T S4 =)2(2T茨迢锌溢愿呵浇撵逞容账掂涕烁窿均权恢店养止绝峦冉色回宝驾梗弗哨槛数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000033科大研究生学位课程数值分析数值分析 实际计算可按下表顺序进行 k区间等分数n=
25、2k梯形公式T1(k)Simpson公式T2(k)Cotes公式T3(k)Romberg公式T4(k)01234124816T1(0)T1(1)T1(2)T1(3)T1(4) T2(0)T2(1)T2(2)T2(3)T3(0)T3(1)T3(2)T4(0)T4(1)例例 利用Romberg积分公式计算积分 痊酞辑堑泉火慰博货辑札氨欠艳帛礼蝴些恳钾猪赘凑巍圈感只累丛抹击妒数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000034科大研究生学位课程数值分析数值分析 解解 按递推公式计算,结果如下可见,由于|T1(4)-T1(3)|=0.0019531,应有|I-T1(4)|0.00065
26、1033.kn=2kT1(k)T2(k)T3(k)T4(k)012341248163.00000003.10000003.13117653.13898853.14094163.13333333.14156873.14159253.14159263.14211773.14159413.14159263.14158583.1415926由于|T2(3)-T2(2)|=0.0000001,应有|I-T2(3)|0.00000000666.由于|T3(2)-T3(1)|=0.0000015,应有|I-T3(2)|0.0000000238.由于|T4(1)-T4(0)|=0.0000068,应有|I-T
27、4(1)|=2n=2时就很难求解时就很难求解. . 故一般不通过解非线性方程求故一般不通过解非线性方程求 ，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式. . 此方法称为用待定系数法构造高斯求积公式此方法称为用待定系数法构造高斯求积公式.利用正交多项式构造高斯求积公式利用正交多项式构造高斯求积公式.妖庙沫贡蕾电壹嘘碎矩抨嫂草搏绵季葫巩稚砾帛愚岸尼舟嫩位衰狡悟箔随数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000039科大研究生学位课程数值分析数值分析 定理定理是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多
28、项式与任何次数不超过与任何次数不超过 的多项式的多项式 带权带权 正交，正交，即插值型求积公式插值型求积公式(5.1)(5.1)的节点的节点为了构造高斯求积公式的节点为了构造高斯求积公式的节点,有下述结论有下述结论.活明侧泻厩呐育愁蹬凋夺毗共姓试峪茂静妥山蟹好谓堵践袜办秦幌黍夜阮数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000040科大研究生学位课程数值分析数值分析(2)求出pn(x)的n个零点x0 , x1 , xn 即为Gsuss点. (1)求出区间a,b上权函数为的正交多项式pn(x) .(3)再计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法型求积公式的构造方法一是采用施密特
29、正交化方法.另是借用现成的正交多项式函数组.如何求正交多项式n(x). 呢凿弱痴物谗敛郭笆瑰写锗情愿澡劣缮驯浪颓野园娃订哄疑膀熬识雕钻绳数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000041科大研究生学位课程数值分析数值分析解解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式: 的2点Gauss公式.求积分例：= x烙弧溅耪填逸昏狰软妆浴拈烈谋俭坤镍纬警未方滩奥滨淮共阉称耙祈琶癸数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000042科大研究生学位课程数值分析数值分析故两点Gauss公式为 积分系数为P2(x)的两个零点为 一些现成的正交多项式组有 里绰足扑查百焕围蜜
30、元啥阀崖佛区薯搀伪惯右呻掸廖瘁涡鉴颅凡丧能其椰数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000043科大研究生学位课程数值分析数值分析 区间-1,1上权函数(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. 几种几种Gauss型求积公式型求积公式 (1) Gauss-Legendre求积公式求积公式 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .nxkAknxkAk10260.93246951420.66120938650.23861918610.17132449240.36076157300.4
31、67913934620.5773502692130.774596669200.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.417959183740.86113631160.33998104360.34785484510.652145154980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.362683783450.9061
32、7984590.538469310100.23692688510.47862867050.5688888889怜了纺惭脚释总庸栖皆蜀笛彪蹬捅侍特嚣冶东困葱茫象厅吐懦俗傍琅灌习数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000044科大研究生学位课程数值分析数值分析例 用3点Gauss公式计算积分 解解 查表得x0=-0.7745966692,x1=0,x2=0.7745966692, A0=A2=0.5555555556,A1=0.8888888889, 所以有 Gauss-Legendre求积公式的余项为 误差为 实际上,I*=2sin1=1.68294197, 误差为|R|=6
33、.15810-5 . 用Simpson公式,则有I*1.69353487, 误差为|R|=1.0610-2 . 统纹峪琅路地蛙雹肮疏良昭缘曾侮益基位浩祖泼蛹博雅悠傀阿褪悍棉巴柔数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000045科大研究生学位课程数值分析数值分析由于因此,a,b上权函数(x)=1的Gauss型求积公式为 例 用3点Gauss公式计算积分结果远比Simpson公式的结果精确. 解解 这里Gauss点和积分系数与上例相同,所以 求积误差可表示为颗柬诣挖后阀垒马坑蹦框凸缚埃粤溪统葬息怒书铜堰臂相和练恍嗓扔湾琐数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs00
34、0046科大研究生学位课程数值分析数值分析 区间0,)上权函数(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点. (2) Gauss-Laguerre求积公式求积公式 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .nxkAknxkAk20.58588643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07
35、594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428036026028994508290.71109300990.27851773350.010389256560.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.3950709123
36、0.60315410430.35741869240.03888790850.0005392947止缓费裂熊骸络遍系淆执躲锣音渭望掠耕辅寥龋辫奉嫂雍暑囤硅池醒收窝数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000047科大研究生学位课程数值分析数值分析Gauss-Laguerre求积公式为 求积公式的误差为 由于 所以,对0, +)上权函数(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:穿即烷蹦蚌哇第劣计狗臣恃郧辩俐盔愁卞巾樱审乱倪郡铅估锰鸯领伎突症数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000048科大研究生学位课程数值分析数值分析 区间(-
37、,)上权函数(x)= 的Gauss型求积公式， (3) Gauss-Hermite求积公式求积公式 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .nxkAknxkAk20.70710678110.886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530009931.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.65068012380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651
38、961356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.020182870400.39361932310.01995324210.9453087204称为Gauss-Hermite求积公式求积公式, 其Gauss点为Hermite多项式的零点. Gauss-Hermite求积公式为咏器脓沏厦均镀嫩辫姿洒叙妓亿瑚围河郁汇蓬厅彪杭倾吵卖坪欲勉醛根榴数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000049科大研究生学位课程数值分析数值分析数值微分数值微分就是用离散方法近似地求出函数在某点的导数值就是用离
39、散方法近似地求出函数在某点的导数值.按照按照Taylor展开原理可得展开原理可得其中其中h步长。步长。5.6 数值微分数值微分 后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均方法的算术平均. . 但它的误差阶却由但它的误差阶却由 提高到提高到 闯徘曝扬堂吗超陕剐敞孺谨俗挪倒著铡址这蛋饰釜肆逞腊喀申哪役忘厕怂数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000050科大研究生学位课程数值分析数值分析 设Ln(x)是(x)以ax0x1xnb为节点的n次Lagrange插值多项式, 则取当(x)Cn+1+ka,b时, 有5.6.2
40、 插值型数值微分插值型数值微分特别, 当k=1时有如果仅限定在节点xi处求导, 则有 燃受嫩嚼副无英洽野纽麦宁慎恐程乳谋符塞匪噎伺姆参促攻琅厘相字龟圭数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000051科大研究生学位课程数值分析数值分析如取n=1的线性插值L1(x)=(x-x0)(x1)-(x-x1)(x0)/h, (其中h=x1-x0)可得数值微分的二点公式:如取n=2的等距节点(x2-x1=x1-x0=h)抛物线插值: L2(x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 则有 L2(x)=(2x-x1
41、-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2 L2(x)=2(x0)-4(x1)+2(x2)/2h2 L2(x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2 撵凭倾肺拇谴旬案炳堵桅邻状加闹幻运颁揣卖溢鸭亿缀笑绘第禾绝济擂柱数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000052科大研究生学位课程数值分析数值分析可得数值微分的三点公式:远荒导蝶殴谩巩湍耿吞徽菇吩奖桐玫萧枯稼堆钥夫垂苟幅磁匝事座纷怔杆数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000053科大研究生学位课程数值分析数值分析练习练习 题题第第116页页 习题习题55.1-5.4, 5.7-5.105.13-5.14 捞缠刊庙强咐淀打炒赏芯颜轻涂祭拄湘堆茁鉴琢炎蔷石铆氰芥瞳刃姐腊酶数值积分和数值微分yjs0000数值积分和数值微分yjs000054
