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1、1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换1.1.定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质说明说明1. 维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积维向量数量积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义(Inner product) 2.2.内积的运算性质内积的运算性质1.1.定义定义2 2 长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、
2、向量的长度及性质二、向量的长度及性质(norm)单位向量单位向量2.解解夹角夹角1、正交的概念正交的概念、正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一若一非零非零向量组中的向量向量组中的向量两两正交两两正交，则称该向，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)证明证明、 正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理14、 正交单位向量组正交单位向量组每个向量都是单位向量的每个向量都是单位向量的正交向量组正交向量组. .5、 向量空间的正交基向量空间的正交基例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，
3、试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解6、 规范规范 正交基正交基例如例如定义定义( (标准标准) ) 同理可知同理可知7、 求规范正交基的方法求规范正交基的方法下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method ）(2) 单位化单位化 , 取取(1) 正交化正交化 , 取取 ，例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取
4、施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化单位化， 得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下例例解解把把基础解系正交化，即合所求亦即取基础解系正交化，即合所求亦即取定义定义4 4四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换定理定理 A 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：定义定义 若若 P 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 y=P x称为正称为正交变换交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化五、小结五、小结2 2 为为正交矩阵正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：的充要条件是下列条件之一成立：求一单位向量，使它与求一单位向量，使它与正交正交思考题思考题思考题解答思考题解答
