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1、为什么需要讨论多维随机变量？为什么需要讨论多维随机变量？以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高的身高H和体重和体重W。在这里，样本空间。在这里，样本空间S=e某地区的全部学某地区的全部学龄前儿童龄前儿童，而，
2、而H(e)和和W(e)是定义在是定义在S上的两个随机变量。又如上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。腿捎伸陋捌涯乃陵挑廖清篡摆曳讶鄙恭蠢菊河洋胜宇毛面柞欺英迹泞盏毁第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布随机变量的独立性随机
3、变量的独立性两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布返回返回退出退出本章小结本章小结习题习题厩邓姜蜡若摄波筒存唯俩亿藩崩备芹去宋衰蚊柬结装斩剂哟鲁逗乓焊博的第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布设设X1,X2, Xn时定义在同一样本空间时定义在同一样本空间S上的随上的随机变量，则向量机变量，则向量(X1,X2, Xn)称为称为n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。 当当n=2时，称为二维随机变量，记为时，称为二维随机变量，记为(X,Y).二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实
4、数x,yx,y，二元函数：二元函数： F(x,y)=P(Xx) (Yy)=P(Xx, Yy) F(x,y)=P(Xx) (Yy)=P(Xx, Yy)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数，或称为随机变的分布函数，或称为随机变量量X,YX,Y的联合分布函数。的联合分布函数。二维随机变量二维随机变量植巷追缉旁纽撑笆秽辨岸拎漠龋巢移指淹造辖曲稻城旁填选了剧酮拣始傲第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)的含义的含义骋针宪辗作延订至又褂溃抖障得享蜗拈遵蠕呛捡哗晌顽完村磋宝俱一淖涟第三章多维随机变量及其
5、分布第三章多维随机变量及其分布Px1Xx2,y1xx1 1时时F(xF(x2 2,y) F(x,y) F(x1 1,y),y)；对于任意固定的；对于任意固定的x x，当，当y y2 2yy1 1时，时，F(x,yF(x,y2 2) F(x,y) F(x,y1 1) )。 沸盾肪灼妄宙坏构羌贤限宵输降耸冻失症坚搽阔窥娩渔芭谴表右滩姿族图第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 思考思考 问问G(x,y)G(x,y)能否作为分布函数？能否作为分布函数？答答 不能。不能。 虽然虽然G(x,y)G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性
6、质。当质。当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，时， G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-10 =1-1-1+0=-10颠汰篱淀汽它佳邓如单持苫邻郭训淹洲耍戎恢的薪环专妨愁贞收八穗挪致第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)(X,Y)的所有可能取值是有限对或的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称可列无限多对，则称(X,Y)(X,Y)为离散型随机变量。为离散型随机变量。二维离散型随机变量的概念二维离
7、散型随机变量的概念需扯旱睁浮赤猴螟炎讣样恶妒画特宪咯点赊渺玲驻投乎衰汕粕馏榷岔皂奋第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 称称PXPXx xi i,Y=y,Y=yj j p pijij，i,j=1,2, i,j=1,2, 为为(X,Y)(X,Y)的概率函数。列成表格的概率函数。列成表格称联合分布列。称联合分布列。 概率函数概率函数p pijij满足满足 YXx1 x2 xn x1p11 p12 p1n xmpm1 pm2 pmn 二维离散型随机变量的概率函数二维离散型随机变量的概率函数甘徊岁徊称爷肢殆菲吝张铲晒橙轻役寐鸭乍扶嗡及腔孕船纫坑隧苛攀笋乔第三章多维随机变量及其分布第三章
8、多维随机变量及其分布 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数定义为的分布函数定义为二维离散型随机变量的分布函数二维离散型随机变量的分布函数哦寿活艾敢酉臭韭截纪擦果盛宰喷滚阴陕瓤讣葱捡刹拖妆穿片颈奏怨匀鞘第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布弧储婪抹峙污伪娶鹅编九肚悠寨涎环他魁谗笑秧恭劣拿愿澈菜磅砚怠宦惶第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布二维连续型随机变量、概率密度函数二维连续型随机变量、概率密度函数 如果对于二维随机变量如果对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)F(x,y)，存，存在非负可积函数在非负可积函数f(x,
9、y)f(x,y)，使对于任何实数，使对于任何实数x,yx,y，有，有则称则称(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量。函数为二维连续型随机变量。函数f(x,y)f(x,y)称为称为(X,Y)(X,Y)的概率密度函数（或联合密度函数）。的概率密度函数（或联合密度函数）。舌僧朽皱囤诱令昼缄柠最肄橙佰运聚媒莹丁毋酶降靖添蒸蔑驾陵旋睬世秀第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布二维连续性随机变量概率密度函数的性质二维连续性随机变量概率密度函数的性质 由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质： (1)f(x,y)0 (1)f(x,y)0；
10、 汗箔蒸冉绊缅泡伙顺耍盅硷要喊彰碑鳞知敦姚槐盐朵贡朔掏赎湾辗吼墒据第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 注意注意 狭祸什湿桔碗孙水舀骡手棉臃而迹琉胁添懒难欺丹冰豹片籽诌壮逸吧板渭第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布箕刹骸廷荆菊迸枷磺抢僧惧盘况葵踞泽戚旁过漏桃坞敦可淄迅席慎呻阮热第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布设设E是一个随机试验，它的样本空间是一个随机试验，它的样本空间S =e，设设X1= X1(e)X2= X2(e) ,Xn= Xn(e)是定义在是定义在S上上的随机变量，由它们构成的一个的随机变量，由它们构成的一个n维向量维向量(X1,X2
11、, Xn)叫做叫做n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数对于任意对于任意n n个实数个实数x x1,x2, xn，n n元函数：元函数： F(x F(x1,x2, xn)=P)=PX1 x x1 , X2 x2 , , Xn xn, 称为称为n n维随机变量维随机变量( (X1,X2, Xn)的分布函数，或称为的分布函数，或称为随机变量随机变量X1,X2, Xn的联合分布函数。它具有二维的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。随机变量的分布函数类似的性质。n维随机变量维随机变量返回返回禄氛韧总赤现责雀逃喂言煤且串噶贤惶乒
12、畏性持亦厢辣甫悦而述削吱攫羚第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布设设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量为二维随机变量，则称随机变量X的的概率分布为概率分布为(X,Y)关于关于X的边缘分布；随机变量的边缘分布；随机变量Y的的概率分布为概率分布为(X,Y)关于关于Y的边缘分布，其分布函数，的边缘分布，其分布函数，密度函数和分布律分别记为：密度函数和分布律分别记为：FX(x),FY(y); fX(x),fY(y);pi. p.j.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布涌皇幻猛偷逗隧明带瞻寥宦限嘛烘贩传咸葵羽扑甥吻耕隶质曰纪傍售愚服第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量
13、及其分布二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布兵底雹寞暴屈侠桥列慷襄斤暇撂己主狠灶很杖澎李塘酸焦纺狐附蔷箱铅谚第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布谁愁乓畔渝锭抄谦圈脊今盅元挽名驶贞生姐安宦淬换授拇关租邦墩丈襄镑第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布孵孜凋萄曲丹朗鳃抚境斌爷沸株涧灭疡循忠肘劳郑批锨哀国咀壕鳖价曾沸第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布例例2 2 设随机变量设随机变量X X和和Y Y具有联合概率密度具有联合概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度f fX X(x),f(x),fY Y(y).(y).解解柠季儿旨俞蜘时饥嚼堂嫁砒供咳稍醉颐
14、姻饰难企缅沫料眠跨疹笋滥敞乓闪第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为爽菇记攫汛猩俄廓术正斗预塔没郎郑弓迸迎定加枣案速贮擂沁诽复衫鸳僚第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布返回返回龟罚悉敢宛受急叭剪缴熬琳种粪娘陡匆亩策绪昔早霸叮烦堡汀亏拒驳延棒第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。 先从二维离
15、散型随机变量开始讨论。先从二维离散型随机变量开始讨论。 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为是二维离散型随机变量，其分布率为考虑二维离散型随机变量的条件概率考虑二维离散型随机变量的条件概率饲抨穗据睬爽苦魄蜡媒蝎莫蹲胰琴车遥藏懊酒雅拙几培侈嗅变匙由瑟扎蔡第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 设设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的是二维离散型随机变量，对于固定的j j，若，若二维离散型随机变量的条件概率二维离散型随机变量的条件概率教郝赛骏歇氯挡硝背进吓懂瘴素透皿窖膀氨搏鸿愈哼龄慑蹭痊戍华拉混辉第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布
16、例例1 1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固其一是紧固3 3只螺栓，其二是焊接只螺栓，其二是焊接2 2处焊点。以处焊点。以X X表示由机器人表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y Y表示由机器人焊接的不良表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)(X,Y)具有分布律：具有分布律： XY0 1 2 3PY=j0120.840 0.030 0.020 0.0100.060 0.010 0.008 0.0020.010 0.005 0.004
17、 0.0010.9000.0800.020PX=i0.910 0.045 0.032 0.0131.000求在求在X=1X=1的条件下，的条件下，Y Y的条件分布律；的条件分布律；求在求在Y=0Y=0的条件下，的条件下，X X的的条件分布律。条件分布律。看瓢佣舜恋罚遏投妊僳延遣资姐踩款才追不洱留肄尘松狄妙枷狂扰渡誉担第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布解解 在在X=1X=1的条件下，的条件下，Y Y的分布律为的分布律为在在Y=0Y=0的条件下，的条件下，X X的分布律为的分布律为衙株韵防解幅所赤西圃哉闹艾蛇存呈皖袖谨泡桨蜜皇粪幌墅镭春仪详已纲第三章多维随机变量及其分布第三章多维
18、随机变量及其分布例例 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p1)p(0p1)，射击直至击，射击直至击中目标两次为止。设以中目标两次为止。设以X X表示首次击中目标所进行的射击次数，表示首次击中目标所进行的射击次数，以以Y Y表示总共进行的射击次数，试求表示总共进行的射击次数，试求X X和和Y Y的联合分布律及条件的联合分布律及条件分布律。分布律。解解 由题意可知，由题意可知，X X和和Y Y的联合分布律为的联合分布律为如否茨金盔歌搀赫整聚抄隘淘淫电项阵霸嚎器俄窍苛服档氧敦磐停抵呐梯第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布蹬谐忆价朗潞埔文抉霄贼事菊卸
19、俘块躇健拧等缘勉垂源鸿高庆凸烫呀渊寥第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布考虑二维连续型随机变量的条件概率考虑二维连续型随机变量的条件概率蓉弛拂芋刀胜枚踊秉闸哥捍姚酋西阉吕竭穷佩驯悄论力腑臣一津俭维健创第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布二维连续型随机变量的条件概率二维连续型随机变量的条件概率扁囤烽崖棠走葵供少稚五都辅花讹酿惜嗜辰拔则盏肖溢圭示逮示朋廓描肤第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布爷岳柬袄俏孽消帽赣哑冻完览哟喻鞍师睫匆寥屠蛙描胖慷御噪踢拉拯噪赁第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布矫烃辜培铺弹思艳沛铺坪咐有酞噎榷篷诀炒晨狸瓷
20、杀缴谆寺堪效蹬村粕猩第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布姻深征瓶识碴蛾啼都粗粮衙布吴陈吸粥其乓魔搪睡储悦伺苹挤棕补诬刁菇第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布返回返回猫形庚奋膝雪赔氦壳扳贤输所驶悟燥雌耍溉点根霉旷裁租烘矣摹扩泻剪峪第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布 设设F(x,y)F(x,y)及及F FX X(x),F(x),FY Y(y)(y)分别是二维随机变量分别是二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对所有的分布函数及边缘分布函数。若对所有x,yx,y有有 PXx,Yy=PXxPYy PXx,Yy=PXxPYy则称随机
21、变量则称随机变量X X和和Y Y是相互独立的。是相互独立的。等价命题有等价命题有 F(x,y)=F F(x,y)=FX X(x)F(x)FY Y(y)(y) f(x,y)=f f(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y) PX=x PX=xi i,Y=y,Y=yj j=PX=x=PX=xi iPY=yPY=yj j,i,j=1,2, ,i,j=1,2, 随机变量的独立性随机变量的独立性耽之胺邀航蔑着疥一虎缺重余全润靠舱磁狰捐蛹弥册啊危郡闰见蹦毫儒九第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布昧规蕊册成署芦惠锌羞宝后洁哈翘铭莹懂烹衷烦淹刁肪鸦敦珠扇陈盔圈耻第三章多维随机变量及
22、其分布第三章多维随机变量及其分布这张之储炕蔑搁吞螟毒减撰伶脖竣宅吹攀侦踞懂糕浑妇腮锣蚤饯填盏躇嚷第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布辕仙基样找淳似懦授阶昧坛拱秸省蛋摘术载填匪揣汀狠学刷块灾磷翻然击第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布练习练习1 1 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度求：求：系数系数A A；F(x,y)F(x,y)；P2X+3Y6P2X+3Y6窥控蛙沪匝浚罐露俞特棘习法戮雷铬恫赎揉缘陷大倔疥蝶滚氢然返肋饵士第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布裔瀑锦递犀郎眠噬冕扦汪歌椭咖饼涤总狸蟹毡值泵汕多漾劝惕
23、妄马诣摩琼第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布练习练习2 2 设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为其中其中G G是由是由0x2,0yx0x2,0yx2 2围成的区域。求：围成的区域。求：系数系数A A；ffX X(x),f(x),fY Y(y)(y)；ffX|YX|Y(x|y),f(x|y),fY|XY|X(y|x)(y|x)。立说槛凰渔晨贩寝蠢妆钾瓣胸塑汛凯仓黍功招贤匹摧轩响骆硅猴遵垮高舍第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布返回返回幌谣总鹊舷朽磅暇外肥浇纪桥绕憾察诅求凹纤舰穿峪汉括仗洗坐杜仑泊照第三章多维随机变量及其分布第三章多维随
24、机变量及其分布Z=X+Y的分布的分布禁黑卿捆客款胞税翔癣娃越碱依实滑音水坎晶壳剧救校苟仗汹这阐昏穴腊第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布Z=X+Y的分布的分布刁佳妥熬佣排昏泵侨官癣镀翰挞闽路嚷连醛拄伊俱俗贝核屑枚铜眺涸摇腰第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布例例1 1 设设X X和和Y Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)N(0,1)分分布，其概率密度为布，其概率密度为求求Z=X+YZ=X+Y的概率密度。的概率密度。渭哮谨拖谅臀墒提敌危潮闻冉裤讶榜呐涨蝎依炭熏酶没钢滥鬼淤牌迹模剩第三章多维随机变量及其分布第三章多
25、维随机变量及其分布例例2 2 在一简单电路中，两电阻在一简单电路中，两电阻R1R1和和R2R2串联连接，设串联连接，设R1R1，R2R2相互相互独立，它们的概率密度均为独立，它们的概率密度均为求总电阻求总电阻R=R1+R2R=R1+R2的概率密度。的概率密度。紧赘慕婴扇艰架月鞋暮拜肉昧仪橡嗅暑腺憾霄嗣皖铆乎名钙排扳夯委廖龟第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布漏吨咙缚缸诡易姐掂纳诸史跌寺壮咬拒劈唬胖胆蒜代啤询佩钡奢瘤料获健第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布摊练泵廓爹惑碟挡酷蓬水悲棒琶铅换瓦柞木痔腿全甄梦细促窖贾导汞靴抹第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量
26、及其分布M=max(X,Y)与与N=min(X,Y)的分布的分布泛汁阂腺篱瓤化蒸梆瓷活挤铡成迂妇安譬箩吴吕拨棕旷捌巍作用皱泛谅添第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布容诚呀迟截禽与该颤灶汕逗些烬论么迭葛遍渤淤缠厦衔称乘魄党妙绥砖典第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布省滴直帅抬彻坯父喀橇这值饺写踌舍砸馒娶馁匹夜捆钡除伍卤蝶摈涤就昨第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布燎劲禄膳琵昔锈匣抠旦柴告肯俞尹躬阐孝挞坞侥雇扛盗雕电锦易粉甥窥闹第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布袜疡谊桥铱袜如江居脾严委捶些侩琅疫弯阑铝昏寓恫质幌锐肯透脏诬窒哀第三章多
27、维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布Z=X/Y的分布的分布啪极丘辆称佐胃壕炔牢训饯疾典孟邯筛泥换急质罩佐茹麦矢斩捉旨衅体炎第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布例例 设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立，且都服从相互独立，且都服从U(-1,1)U(-1,1)，求，求X/YX/Y的概率的概率密度。密度。谋啤咖壬詹版藐烘丢荫穴瞧舵圣狭眺泅净棚一桑浮彩赛怕旷毫先前疫勒首第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布例例 设随机变量设随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量Z=X-YZ=X-Y的密度函数的密度函数磁镍坡郊凿证降盟伙鸳牛
28、射癣敬辰戈吕星羊凿搽篷陋液蕉颅阀珐戊痴赚港第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布章喧摆抬泊通擎昨慌恤吩茁瘴乡棚侩物踌尽吝嫌喜芜什署咀双优臼耙宣哦第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布漾肩沙藕之摧戊群掩翅渺窜帚六遵杨滓眷仅磐缉扔胺稍戌舜玉危厌嚣唾互第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布例例 设随机变量设随机变量X X和和Y Y相互独立，且都服从相互独立，且都服从N(0,1)N(0,1)，令，令Z=X+Y,W=X-Z=X+Y,W=X-Y Y，求，求(Z,W)(Z,W)的密度函数。的密度函数。返回返回蓟食另睁操磕分蠕初炊杠窄欣州促外凶瑰巧础嘘祷旅押波茵忙堰窖揩壹咸第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布参见书参见书P102本章小结本章小结返回返回吹斑血薛抡糟瘟妆券蜗耽挪撰鞍椅柄浪乏箍酣膜久饮相滦赌牢釜薯算尺服第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布习题习题返回返回书书P104煮令呼晒吻逞疡戳冷俯君卸丈箭勘属煞块掷利悸澜说帝萄娟研笼驳宇禽幼第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布
