万有引力与天体运动最全讲义

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1、-万有引力与天体运动讲义万有引力与天体运动讲义本章要点综述本章要点综述. .开普勒第三定律开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量。r3 k(K 值只与中心天体的质量有关)2T2 2万有引力定律：万有引力定律：F万 Gm1m22r（1 1）赤道上万有引力：F引 mg F向 mg ma向（g和a向是两个不同的物理量， ）（2)2)两极上的万有引力：F引 mg. .忽略地球自转，地球上的物体受到的重力等于万有引力。GMm2( (黄金代换黄金代换) ) mg GM gR2R4 4。 距离地球表面高为 h 的重力加速度：GMm2Rh mgGM gRh g 2GMRh25

2、. 5.卫星绕地球做匀速圆周运动：万有引力提供向心力F万（1)GMm F向2rGMmGM(轨道处的向心加速度向心加速度 a a 等于轨道处的重力加速度重力加速度g轨） ma a 22rrMmv2(2)G2 m得 r越 大 ，rrGMmv2GM m v r2rr（ 3 ） 由GMm m2r得2r r越 大 ，GMmGM2 mr r2r3Mm42（）由G2 m2rrT得越大，TGMm42r3 2 mr T 2rGMT6. 6.中心天体质量的计算:gR2方法 1：GM gR M (已知 R 和 g）G22-GMv2r方法 2：v (已知卫星的 V 与 r) M rG23GMr（已知卫星的与 r)方法

3、 3： M r3G42r342r3方法 4：T （已知卫星的周期T 与 r） M 2GMGTGMv 3rv T（已知卫星的 V 与）方法 5：已知 M 2G42r3T GMGMv v3(已知卫星的 V 与，相当于已知 V 与 T）r方法 6:已知 M GGMr37 7。地球密度计算:球的体积公式：V 4R3342r3M GT23mM22近地卫星（r=R)3G2 m() r 2MM3rGTrTV4R3GT2R338。发射速度发射速度: :采用多级火箭发射卫星时，卫星脱离最后一级火箭时的速度。运行速度：运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动时的线速度当卫星“贴着” 地面运行时，运行

4、速度等于第一宇宙速度第一宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度） ：。9k/.卫星环绕地球飞行的最大运行速度最大运行速度。地球上发射卫星的最小发射速度最小发射速度。第二宇宙速度第二宇宙速度(脱离速度） ：1.2m/s 。 使人造卫星脱离地球的引力束缚脱离地球的引力束缚，不再绕地球运行,从地球表面发射所需的最小速度.第三宇宙速度第三宇宙速度（逃逸速度):16。7m/s。使人造卫星挣脱太阳引力的束缚挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间去,从地球表面发射所需要的最小速度。要点精析要点精析1 1、人造卫星、人造卫星万有引力提供向心力：-同步卫星:地球同步卫星，是相对地面静止的，与地球自转

5、具有相同的周期周期一定:同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期,T=4 h角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度轨道一定：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内高度一定：所有同步卫星必须位于赤道正上方,且距离地面的高度是一定的(轨道半径都相同，即在同一轨道上运动)，其确定的高度约为 h=3。6104 k环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的 ,都是 3. m/s,环绕方向与地球自转方向相同2. 2.卫星变轨和卫星的能量问题卫星变轨和卫星的能量问题人造卫星在圆轨道变换时， 总是主动或由于其他原因使速度发生变化， 导致万有引力与向

6、心力相等的关系被破坏,继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化,可能出现万有引力与向心力再次相等,卫星即定位于新的圆轨道。轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大.也就是轨道半径越大的卫星,运行速度虽小,但发射速度越大。解卫星变轨问题,可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解若 F 供F 求,供求平衡物体做匀速圆周运动若 供F 求,供不应求-物体做离心运动若 供F 求,供过于求-物体做向心运动卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的目的,可以通过加速（离心）或减速(向心)实现。速率比较:同一点上，外轨

7、道速率大;同一轨道上，离恒星（或行A AB B星）越近速率越大。加速度与向心加速度比较:同一点上加速度相同,外轨道向心加速度大； 同一轨道上， 近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体三种匀速圆周运动的异同：1轨道半径：r 同r 近=物2。运行周期:T 同=物T 近向心加速度：a 近同a 物. .双心问题双心问题在天体运动中,将两颗彼此距离较近的恒星称为双星。它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动 由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变已知两星质量分别为 M1 和 M

8、2，相距 ,求它们的角速度如图，设 M1 的轨道半径为 r1，M 的轨道半径为 r2,由于两星绕 O点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为,根据万有引力定律有:1。双星系统模型的特点：（1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期相等.(2)两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力， 所以它们的向心力大小相等;（3）两星的轨道半径之和等于两星间的距离，即rr2=L.2双星系统模型的三大规律：（)双星系统的周期、角速度相同（2）轨道半径之比与质量成反比.-（3） 双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关， 而与双星个体的质量无关5. 5.三星模型

9、三星模型宇宙中存在一些离其他恒星较远的、 由质量相等的三颗星组成的三星系统， 通常可忽略其他星体对它们的引力作用现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星等间距地位于同一直线上， 外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行； 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行.附录附录 : :万万有有思路 和方的运动 看成 心F万2公 式 ：an引力相关公式引力相关公式法： 卫星或天体匀 速 圆 周 运 动 ,(类似原子模型）GMm=mn,又2rr3GMGMv2222， ，T=2 r () r，则 v=GMrrTr33 求中心天体的质量和密度2Mm2由

10、 G2=m m()2rTrr42r3 恒量）（=GT2T23M3r333Rh3()=4（当 r=R 即近地卫星绕中心天体运行时）22323GTRGTGR TR远近343r3)s球面=r2s=r2（光的垂直有效面接收，球体（M=V球=2GT3推进辐射)s球冠=2R=v242Mm m= m2R 42nR轨道上正常转：F引=G2= 心=ma a心= RTrv2Mm地面附近: 2= mgG=R（黄金代换式）g = mv gR第RR=79k/s题目中常隐含：(地球表面重力加速度为)；这时可能要用到上式与其它方程联立来求解。一宇宙v2MmGM轨道上正常转：G2= mv Rrr【讨论】 （v 或K）与r 关

11、系,r最小时为地球半径时,第一宇宙=7。9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度） ；T最小=8。8i14h沿圆轨道运动的卫星的几个结论：沿圆轨道运动的卫星的几个结论： vGMr， GMr3，=2r3GM-理解近地卫星：来历、意义万有引力重力=向心力、 r最小时为地球半径、最大的运行速度=v第一宇宙=7。9m/s(最小的发射速度);T最小=4.8min=14h同步卫星几个一定:三颗可实现全球通讯（南北极仍有盲区）轨道为赤道平面T24h=8600离地高=3。5x104km（为地球半径的。6倍)V同步=08km/sV第一宇宙=7。ks1o/h(地理上时区)a=0m2运行速度与发射速度、变轨速度

12、的区别卫星的能量：r 增v 减小（E减小Ep增加）,所以 E总增加；需克服引力做功越多,地面上需要的发射速度越大卫星在轨道上正常运行时处于完全失重状态,与重力有关的实验不能进行应该熟记常识：应该熟记常识：地球公转周期年, 自转周期 1 天=2小时=8600s, 地球表面半径 6。x13km表面重力加速度 g9。8 ms月球公转周期 30 天例题精讲例题精讲. . 对万有引力定律的理解对万有引力定律的理解（1）万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比，两物体间引力的方向沿着二者的连线。(2)公式表示：FGm1m2。2r（

13、3）引力常量 G：适用于任何两物体.意义:它在数值上等于两个质量都是 1k的物体(可看成质点）相距 1m 时的相互作用力.G 的通常取值为 G6。671011m /kg。是英国物理学家卡文迪许用实验测得。 一个重要物理常量的意义:根据万有引力定律和Mm22r3GM k。这实际上是开普勒第三定律。 它)2牛顿第二定律可得：G2=r(2TT4rr3表明2 k是一个与行星无关的物理量，它仅仅取决于中心天体的质量。在实际做题时 ,T它具有重要的物理意义和广泛的应用。 它同样适用于人造卫星的运动， 在处理人造卫星问题时，只要围绕同一星球运转的卫星，均可使用该公式.(4)适用条件：万有引力定律只适用于质点

14、间引力大小的计算。当两物体间的距离远大于每个物体的尺寸时,物体可看成质点，直接使用万有引力定律计算。当两物体是质量均匀分布的球体时,它们间的引力也可以直接用公式计算， 但式中的是指两球心间的距离. 当所研究物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力,然后求合力.(此方法仅给学生提供一种思路)(）万有引力具有以下三个特性：普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体 （大到天体小到微观粒子） 间的相互吸引力，它是自然界的物体间的基本相互作用之一.相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力,符合牛顿第三定律。宏观性：通

15、常情况下,万有引力非常小,只在质量巨大的天体间或天体与物体间它的存在才有宏观的物理意义,在微观世界中,粒子的质量都非常小,粒子间的万有引力可以忽略不计。 天体间的主要作用力就是万有引力了。-【例】设地球的质量为 M，地球的半径为 R，物体的质量为 m，关于物体与地球间的万有引力的说法，正确的是：A、地球对物体的引力大于物体对地球的引力。、物体距地面的高度为h 时，物体与地球间的万有引力为F、物体放在地心处，因r=，所受引力无穷大。、物体离地面的高度为时，则引力为FGMmh2.GMm4R2答案 D总结 （1）物体与地球之间的吸引是相互的，由牛顿第三定律， 物体对地球与地球对物体的引力大小相等。(

16、2）F=距离。(3)F=Gm1m2。中的 r 是两相互作用的物体质心间的距离,不能误认为是两物体表面间的2rGm1m2适用于两个质点间的相互作用，如果把物体放在地心处，显然地球已不能2r看为质点,故选项 C 的推理是错误的。【例】对于万有引力定律的数学表达式=Gm1m2，下列说法正确的是：r2A、公式中 G 为引力常数，是人为规定的。B、趋近于零时，万有引力趋于无穷大。C、1、2之间的引力总是大小相等,与、m2的质量是否相等无关。D、1、m2之间的万有引力总是大小相等,方向相反,是一对平衡力。答案。关于万有引力和重力的关系。关于万有引力和重力的关系地面上物体所受万有引力F 可以分解为物体所受的

17、重力 mg 和随地球自转而做圆周运动的向心力.其中F GMm2F mr2RMmR2 当物体在赤道上时，F、mg、三力同向,此时满足 F+mgF 当物体在两极点时,=0,F=mg=G 当物体在地球的其他位置时，三力方向不同。【例 3】 地球赤道上的物体由于地球自转产生的向心加速度a=。3712 m/s2,赤道上重力加速度 g 取 10m/s试问:（1）质量为 mkg 的物体在赤道上所受的引力为多少?（2） （） 要使在赤道上的物体由于地球的自转而完全失重， 地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？解析：解析：()物体所受地球的万有引力产生了两个效果:一是使物体竖直向下运动的重力， 一是-提供

18、物体随地球自转所需的向心力，并且在赤道上这三个力的方向都相同,有 F引mgF向=m（g+）=m（9.77+3.2)=9.84（N）（)设地球自转角速度为，半径为R，则有a=R,欲使物体完全失重,即万有引力完全提供了物体随地球自转所需的向心力，即 mRF引9。80m，解以上两式得7.13 3。计算重力加速度。计算重力加速度、 在地球表面附近的重力加速度， 在忽略地球自转的情况下， 可用万有引力定律来计算。M5.98*1024211sgG2=.67*10。8（m/）9.8Nkg32R(6730*10 )即在地球表面附近，物体的重力加速度g8ms。这一结果表明,在重力作用下，物体加速度大小与物体质量

19、无关。2、 即算地球上空距地面处的重力加速度。有万有引力定律可得：2gGMGMR2R2()g=又 g=，g222g(R h)R hR(R h)3 计算任意天体表面的重力加速度g.有万有引力定律得:=GMGM（M为星球质量,R卫星球的半径） ，又 g，22RRgMR2()。gMR4 4估算中心天体的质量和密度估算中心天体的质量和密度 中心天体的质量，中心天体的质量，根据万有引力定律和向心力表达式可得：GMm22()，=Tr242r3=GT22 2 中心天体的密度中心天体的密度方法一：中心天体的密度表达式=M33，=R(R 为中心天体的半径）,根据前面 M 的V43r33表达式可得：。当R 即行星

20、或卫星沿中心天体表面运行时,=.此时232GT RGT表面只要用一个计时工具,测出行星或卫星绕中心天体表面附近运行一周的时间，周期,就可简捷的估算出中心天体的平均密度.GMM3ggR2方法二:由 g=2,M=进行估算,V4GRRG地球的同步卫星（通讯卫星）地球的同步卫星（通讯卫星）同步卫星：相对地球静止,跟地球自转同步的卫星叫做同步卫星，同步卫星的运行方向与地球自转方向相同,周期=24h，同步卫星又叫做通讯卫星。-同步卫星必定点于赤道正上方，且离地高度h，运行速率是唯一确定的。设地球质量为m，地球的半径为R=6.410 m,卫星的质量为m，根据牛顿第二定律6GmmR+h2 2 =mR+hT22

21、2设地球表面的重力加速度g=9.8m s,则Gm=R gR T g33R+h=2以上两式联立解得:4=4.2107m同步卫星距离地面的高度为226.41062436009.82243.142mh=4.21076.4106m=3.56107m注意：赤道上随地球做圆周运动的物体与绕地球表面做圆周运动的卫星的区别在有的问题中，涉及到地球表面赤道上的物体和地球卫星的比较,地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的圆心与近地卫星的圆心都在地心,而且两者做匀速圆周运动的半径均可看作为地球的，因此，有些同学就把两者混为一谈，实际上两者有着非常显著的区别。地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动所需的向心力由万有引力

22、提供,但由于地球自转角速度不大,万有引力并没有全部充当向心力，向心力只占万有引力的一小部分，万有引力的另一分力是我们通常所说的物体所受的重力 （请同学们思考： 若地球自转角速度逐渐变大,将会出现什么现象？）而围绕地球表面做匀速圆周运动的卫星，万有引力全部充当向心力。赤道上的物体随地球自转做匀速圆周运动时由于与地球保持相对静止， 因此它做圆周运42R20.034m s动的周期应与地球自转的周期相同,即4 小时,其向心加速度a=;而绕2T地球表面运行的近地卫星,其线速度即我们所说的第一宇宙速度,Mm42它的周期可以由下式求出：G2=m2RRTR3求得T=2，代入地球的半径 R 与质量,可求出地球近

23、地卫星绕地球的运行周期约GM为 84min,此值远小于地球自转周期,而向心加速度a=GM2=9.8m s远大于自转时向心加2R速度。【例 4】 已知引力常量=6.67111m2/kg ， 重力加速度 g=9。 8/s2， 地球半径 R=6 4104m，可求得地球的质量为多少？（结果保留一位有效数字）解析解析: :在地球表面质量为的物体所受的重力等于地球对物体的引力,有2R29.8 （6.4106）Mmkg 61024kgG2mg，得M g11G6.6710R-【例】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 ,认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量 A.飞船的轨道半径B飞船的

24、运行速度 .飞船的运行周期D。行星的质量解析：解析： “飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，可以认为飞船的轨道半径与行星的半径相等,飞船做圆周运动的向心力由行星对它的万有引力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律:GMm22m() R，2TRM4R33424GT23,即行星的密度由上式可知：3；GT2上式表明：只要测得卫星公转的周期,即可得到行星的密度，选项正确.【例 6】已知地球的半径为R=640,地球表面附近的重力加速度g=9.8m s,若发射一颗地球的同步卫星,使它在赤道上空运转,其高度和速度应为多大？ 思路分析思路分析 ：设同步卫星的质量为 m，离地面的高度的高度为 h，速度为 v，

25、周期为 T,地球的质量为 M。同步卫星的周期等于地球自转的周期。2GGMm=mgR2MmR+h2 2 =mR+hT2由两式得R T gh=-R 324 3.56107m3226400102436003229.843.142m6400103m又因为GMmR+h2v2=mR+h由两式得v=R g3m s 3.110 m s37R+h640010 3.5610v 3.110 m s23264001039.827答案答案 ：h 3.5610 mMmMm 2 =m R+h总结总结: :此题利用在地面上G2=mg和在轨道上G两式联立2RTR+h解题。【例 7】下面关于同步卫星的说法正确的是()A 。同步卫

26、星和地球自转同步，卫星的高度和速率都被确定-B .同步卫星的角速度虽然已被确定,但高度和速率可以选择,高度增加,速率增大；高度降低，速率减小C .我国发射的第一颗人造地球卫星的周期是 14 分钟,比同步卫星的周期短,所以第一颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低D.同步卫星的速率比我国发射的第一颗人造卫星的速率小答案 ：CD5 5双星问题双星问题【例 8】两颗靠得很近的恒星，必须各以一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起.已知这两颗恒星的质量为 m1、m2,相距 L,求这两颗恒星的转动周期.解析： 由万有引力定律和向心力公式来求即可。 m1、 m2 做匀速圆周运动的半径分别为R、R2,它们的向心力是由它们之间的万有引力提供,所以-