线性代数总复习及典型例题

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1、线性代数总复习线性代数总复习2021/6/161第一章第一章 行列式行列式2021/6/162二阶行列式的计算方法二阶行列式的计算方法第一节第一节 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法沙路法沙路法2021/6/163一些常用的行列式结果：一些常用的行列式结果：1. 1.2. 2.3. 3.2021/6/1644. 4.kkkkmmmmbbbb*aaaaDLMMLLMMLLMML111111110= =*1111mmmmaaaaLMML= =.1111kkkkbbbbLMML2021/6/165行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 性质性质

2、1.1行列式的某一行（列）中所有元素的行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面公因子可以提到行列式符号的外面 性质性质1.2式为零。式为零。推论推论推论推论1 1行列式的某一行（列）中的所有元素都行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数乘以同一数 k ，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论2 2如果行列式中有一行如果行列式中有一行(列列)为零，那么行列为零，那么行列第二节第二节 行列式的性质行列式的性质2021/6/166对换行列式的两行（列）对换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号. 性质性质1.3则此行列式为零则此行列式为零.推论推论

3、推论推论如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，比例，那么行列式为零比例，那么行列式为零 性质性质1.4如果行列式中有两行（列）对应成如果行列式中有两行（列）对应成2021/6/167如果行列式的某一行（列）的元素都是如果行列式的某一行（列）的元素都是则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如第例如第i 行的元素都是两数之和行的元素都是两数之和 性质性质1.5两数之和，两数之和，2021/6/168同一数然后加到另一行同一数然后加到另一行(列列)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列 把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元素乘以

4、 性质性质1.6式不变式不变 (倍加运算倍加运算)计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值2021/6/169第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开数余子式的乘积，即数余子式的乘积，即引理引理一个一个n阶行列式，如果第阶行列式，如果第i 行所有元素除行所有元素除外都为零，外都为零，与它的代与它的代那么这个行列式等于那么这个行列式等于定理定理定理定理1.31.3式某行式某行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子

5、行列式的某行行列式的某行(列列)的所有元素与其对应的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。式乘积之和等于零。行列行列2021/6/1610行列式按行（列）展开法则是把高阶行行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具工具.2021/6/1611第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算2021/6/1612一、矩阵的概念一、矩阵的概念 由由 个数个数称为称为m行行n列列矩阵矩阵, ,简称简称 矩阵矩阵. .定义定义定义定义2.12.1排成的排成的m行行n列的数表列的

6、数表其中其中 个数称为矩阵个数称为矩阵A的元素，数的元素，数称为矩阵称为矩阵A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素. 1. 矩阵的基本概念矩阵的基本概念2021/6/1613 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 方阵的幂方阵的幂 转置矩阵转置矩阵 对称及反对陈矩阵对称及反对陈矩阵 方阵的行列式方阵的行列式1. 矩阵的基本运算：矩阵的基本运算： 二、矩阵的运算二、矩阵的运算2021/6/16142. 矩阵的运算规律：矩阵的运算规律：加法：加法：数乘：数乘：2021/6/1615（其中其中 为数）为数）; ;乘法：乘法：方阵的幂运算：方阵的幂运算：（2）（1） 注

7、意：注意：2021/6/1616转置运算：转置运算：2021/6/1617由由n阶方阵阶方阵A的元素的元素按原相对位置按原相对位置所构成所构成定义定义定义定义2.12.1称为方阵称为方阵A的行列式，记作的行列式，记作的行列式，的行列式，3. 方阵的行列式及其性质方阵的行列式及其性质方阵的行列式满足下列规律：方阵的行列式满足下列规律：（2）（3）（设（设A、B为为n阶方阵，阶方阵， 为数）为数）（1）2021/6/1618. .列标列标三、逆矩阵三、逆矩阵1. 基本概念基本概念定义定义定义定义2.82.8对于对于n阶方阵阶方阵A，如果存在一个，如果存在一个n阶方阵阶方阵B使得使得则称则称B是是A

8、的逆矩阵，并称矩阵的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩是可逆矩阵或满秩矩阵，或非奇异矩阵矩阵，或非奇异矩阵, ,记为记为说明说明 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的. .注意注意2021/6/1619各元素各元素aij 的代数余子式的代数余子式Aij 构成如下构成如下n阶方阵阶方阵称为矩阵称为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵. .定义定义定义定义2.92.9设有设有n阶方阵阶方阵由行列式由行列式 中中 注意注意: :伴随阵伴随阵与原矩阵与原矩阵A元素位置的对应关系元素位置的对应关系.2021/6/1620定理定理定理定理2.12.1设设A为为n阶方阵，阶方阵，A*为

9、其伴随矩阵，则为其伴随矩阵，则2. 基本定理基本定理定理定理定理定理2.22.2设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A可逆可逆推论推论推论推论设设A、B 都是都是n阶方阵，阶方阵，2021/6/16213. 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质2021/6/1622(1)利用定义利用定义（一般适用于证明题一般适用于证明题） (3)待定系数法待定系数法(4) 初等变换法初等变换法:步骤如下步骤如下4. 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法2021/6/1623设方阵设方阵分块对角矩阵的性质分块对角矩阵的性质则则 1.2. 四、分块矩阵四、分块矩阵2021/6/1624特殊地，如果特殊地，如果是对角矩阵是对角矩阵

10、当且仅当当且仅当都不为零时，都不为零时， 是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且2021/6/1625矩阵的初等变换包括矩阵的初等变换包括3 3种：对换变换、数乘变换种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换且其逆变换是同一类型的初等变换. . .列标列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵定理定理定理定理2.32.3 设设A是一个是一个 非零矩阵，那么非零矩阵，那么A一定一定可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最可以通过有限次初等行变换化为行

11、阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为如下标准形：简形，再进行初等列变换化为如下标准形：其中其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.2021/6/1626注意：注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。初等变换不改变矩阵的可逆性。 对于任何一个非零矩阵对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化都可以先进行初等行变换化为行阶梯形及行最简形为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形再进行初等列变换化为标准形.2021/6/1627A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵. .定理定理定理定理2.42.4设设A是一个是一个 矩阵，对矩阵，对A 施行一次

12、施行一次初等行变换，相当于在初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在n阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是存在有限可逆的充要条件是存在有限定理定理定理定理2.52.5个初等矩阵个初等矩阵2021/6/1628六、矩阵的秩六、矩阵的秩求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩中非零

13、行的行数就是矩阵的秩2021/6/1629对于对于n阶方阵阶方阵A，如果，如果A的秩等于的秩等于n，则称则称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵. A为可逆矩阵为可逆矩阵.对于对于n阶方阵阶方阵A，下列命题等价：，下列命题等价：(1) A为满秩矩阵；为满秩矩阵；(2)(3)(4)2021/6/1630第三章 线性方程组2021/6/1631( )nAR=( )nAR有无穷多解有无穷多解. .b bAx = =非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1)无解无解(2)并且通解中有并且通解中有n-r个自由未知量个自由未知量. 其中其中( )( )BRAR=有解有解:2021/6/1

14、632非齐次线性方程组非齐次线性方程组的具体解法：的具体解法： (1)对增广矩阵对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 以及以及n之间的大小关系，从而判断之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。个解，需写出通解

15、形式。2021/6/1633当当m = n 时，时，n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是系数矩阵有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式的行列式推论推论推论推论2021/6/1634( )nAR=( )nAR齐次线性方程组齐次线性方程组 一定有解：一定有解：(1)(2)并且通解中有并且通解中有n-r个自由未知量个自由未知量. 只有零解只有零解有非零解有非零解2021/6/1635齐次线性方程组齐次线性方程组的具体解法：的具体解法： (1)对系数矩阵对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 与与n之间的大小关系，从而判断方程组

16、解之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。 (2) 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。2021/6/1636推论推论推论推论1 1 当当m = n 时，时，(1)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)只有零只有零解解(2)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)有非零解有非零解推论推论推论推论2 2

17、 当当m n 时，时， 即方程个数小于未知量个数时，即方程个数小于未知量个数时，齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)必有非零解必有非零解.2021/6/1637第四章第四章 向量组的线性向量组的线性 相关性相关性2021/6/1638定义定义定义定义4.54.5 设设n维向量维向量如果存在一组数如果存在一组数使得使得则称向量则称向量是向量组是向量组的线性组合或称向的线性组合或称向可由向量组可由向量组线性表示线性表示. 量量第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性表示一、线性表示2021/6/1639定理定理定理定理4.14.1向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示的充

18、分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵的秩等的秩等于矩阵于矩阵的秩，即的秩，即 说明：说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表判断某个向量是否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决阵为阶梯形矩阵来解决. 2021/6/1640定义定义定义定义4.74.7 对于对于n维向量组维向量组如果存在一组如果存在一组不全为零的数不全为零的数则称向量组则称向量组

19、线性相关线性相关. 如果上式只有当如果上式只有当时才成立时才成立,则称向量组则称向量组线性无关线性无关. 二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关2021/6/1641定理定理定理定理4.24.2 于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决矩阵为阶梯形矩阵来解决. 2021/6/1642的充分必要条件是它所构成的矩阵的充分必要条件是它所构成的矩阵的行

20、列式等于零，即的行列式等于零，即向量组线性无关的充分必向量组线性无关的充分必推论推论推论推论1 1 若若 则则n 个个n 维向维向量量线性相关线性相关要条件是要条件是推论推论推论推论2 2即向量组中向量个数大于向量维数时，即向量组中向量个数大于向量维数时，若若向量组必线性相关向量组必线性相关.2021/6/1643 (1) 向量组向量组线性相关线性相关(A)中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余线性相关，则向量线性相关，则向量定理定理定理定理4.34.3的充分必要条件是：的充分必要条件是：线性无关，而向量组线性无关，而向量组(2)设向量组设向量组向量线性表示向量线性表示.一定可由向一

21、定可由向量组量组(A)线性表示，且表示式是惟一的线性表示，且表示式是惟一的. 三、相关定理三、相关定理2021/6/1644定义定义定义定义4.84.8设有向量组设有向量组是是(A)的部分向量组的部分向量组 ,如果如果(1) 线性无关；线性无关；(2) 对于向量组对于向量组 (A) 中的任何一个向量中的任何一个向量 都有都有 线性相关，则称线性相关，则称 为向量为向量组组(A)的的一个一个极大线性无关组极大线性无关组，简称极大无关组，简称极大无关组. 注意：注意：在条件在条件(1)下，下，(2)和下述条件等价：和下述条件等价： 对于向量组对于向量组 (A) 中的任何一个向量中的任何一个向量 都

22、可由都可由线性表出线性表出.第三节第三节 极大线性无关组极大线性无关组2021/6/1645定义定义定义定义4.94.9 向量组向量组 的极大性无关组的极大性无关组所含向量的个数，称为所含向量的个数，称为向量组的秩向量组的秩，记为，记为 推论推论推论推论n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A的行的行(列列)向量组线性无关向量组线性无关.向量组秩的求法：向量组秩的求法：通过求向量组构成的矩阵的秩来通过求向量组构成的矩阵的秩来求该向量组的秩及其极大线性无关组求该向量组的秩及其极大线性无关组. 2021/6/1646第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构一、齐次线性

23、方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构(4.1)定理定理定理定理4.74.7如果如果n元齐次线性方程组（元齐次线性方程组（4.1）的系数）的系数矩阵矩阵A的秩的秩 则方程组（则方程组（4.1）的基础）的基础(证明略证明略)解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为解系一定存在，且基础解系含的解向量的个数为 2021/6/1647齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为 最简形最简形2021/6/1648由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有

24、 个线性无关的解向量个线性无关的解向量2021/6/1649故故为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系. .齐次线性方程组的通解为齐次线性方程组的通解为2021/6/1650二、非齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构（4.5） 性质性质4.4导出组导出组 (4.1)的解的解. 为为(4.5)的解，则的解，则 是其是其 性质性质4.5的解，则的解，则 设设 为为(4.5)的解，的解，是其导出组是其导出组 (4.1)也是也是(4.5)的解的解. 2021/6/1651定理定理定理定理4.84.8设设 是非齐次方程组是非齐次方程组(4.5)的一个取定的解的一个取定

25、的解(称为特解称为特解)， 是其导出组（是其导出组（4.1）的通解，则方程组）的通解，则方程组 (4.5)的通解为的通解为说明：说明：此定理表明此定理表明非齐次方程组的通解非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解齐次方程组的通解 +非齐次方程组的特解非齐次方程组的特解 2021/6/1652第五章第五章特征值、特征向量特征值、特征向量及矩阵的对角化及矩阵的对角化 2021/6/1653一、一、 向量的内积向量的内积定义定义定义定义5.15.1设有设有n 维向量维向量 内积内积令令长度长度范数范数定义定义定义定义5.25.2正交正交2021/6/1654定义定义定义定义5.45.4定理定理定理定

26、理5.25.2向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交矩阵矩阵A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A 的列的列(行行)2021/6/1655求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量 2021/6/1656定理定理定理定理5.35.3注意：注意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的矩阵特征值与特征向量的性质：矩阵特征值与特征向量的性质：特征值的常用结果：特征值的常用结果：2021/6/1657一般矩阵可对角化的判定方法及求解：一般矩阵可对角化的判定方法及求解：1.它们的重数依次

27、为它们的重数依次为 2.个线性无关的特征向个线性无关的特征向量，则矩阵量，则矩阵A可对角化，否则，不能对角化。可对角化，否则，不能对角化。解系，如果基础解系中含有解系，如果基础解系中含有3.当当A可对角化时，将所有基础解系中的特征向量可对角化时，将所有基础解系中的特征向量构成矩阵构成矩阵应与应与P中列向量的排列次序相对应中列向量的排列次序相对应 次序次序三、相似矩阵与对角化三、相似矩阵与对角化2021/6/16581.它们的重数依次为它们的重数依次为 2.个线性无关的特征向量再把它们正交个线性无关的特征向量再把它们正交正交化、单位化正交化、单位化 解系，得解系，得 个两两正交的单位特征向量个两

28、两正交的单位特征向量 故总共可得故总共可得n个两两正交的个两两正交的单位特征向量单位特征向量 实对称阵对角化的方法实对称阵对角化的方法把这把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 3.次序应与次序应与P中列向量的排列次序相对应中列向量的排列次序相对应 2021/6/1659第六章第六章 二次型二次型重点掌握如何用正交变换法化二次型为标准型。重点掌握如何用正交变换法化二次型为标准型。2021/6/1660典型题型典型题型课本上例题课本上例题P10 eg1.7, eg1.8P38 eg2.12, eg2.13P56 习题19,20P66 eg3.2, eg3.3, eg3.4P85 eg4.6， eg4.8P90 eg4.12, eg4.13P98 eg4.18P111 eg5.6， eg5.7P130 eg6.3(1)(2) P135 习题2(1) 第五章第四节黑板上例题第五章第四节黑板上例题2021/6/1661 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！