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1、第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1.1.两个实数比较大小的法则两个实数比较大小的法则关系关系法则法则作差法则作差法则作商法则作商法则 abab_ (a,b0) (a,b0)或或 (a,b0)(a,b0) a=ba=ba-b=0a-b=0 （b b0)0) aba0) (a,b0)或或 (a,b0) (a,b0a-b0a-b0a-bbab_传递性传递性ab,bcab,bc_可加性可加性abab_可乘性可乘性 _注意注意c c的符号的符号 _babcaca+cb+ca+cb+cacbcacbcacbcacb0ab0_(n(nN,nN,n2)2)a a，b b同同为正数为正数可开方
2、性可开方性ab0ab0(nN,n2)(nN,n2)a+cb+da+cb+dacbdacbda an nbbn n3.3.不等式的其他性质不等式的其他性质（1 1）不等式的倒数性质）不等式的倒数性质aab,abb,ab0 0 _ _aa0 0b b _ _aab b0,00,0c cd d _ _00a ax xb b或或a ax xb b0 0 _ _ _ _(2)(2)有关分数的性质有关分数的性质若若a ab b0,m0,m0,0,则则真分数的性质：真分数的性质： _ _ (b-m _ _ (b-m0).0).假分数的性质：假分数的性质： _ _ (b-m _ _ (b-m0).0).判断下
3、面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”“”或或“”“”）. .（1 1）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然）在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立成立.( ).( )（2 2）同向不等式具有可加性和可乘性）同向不等式具有可加性和可乘性.( ).( )（3 3）若两个数的比值大于）若两个数的比值大于1 1，那么分子就大于分母，那么分子就大于分母.( ).( )（4 4）一个数越大，它的倒数不一定越小）一个数越大，它的倒数不一定越小.( ).( )【解析】【解析】（1 1）错误）错误. .在一个不等式的两边同乘以一个正数时，在一个不等式的两边
4、同乘以一个正数时，不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向不等式仍然成立，同乘以一个负数时不等号改变方向. .（2 2）错误）错误. .同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性. .（3 3）错误）错误. .只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立只有当分子和分母都是正数时，这个结论才成立. .（4 4）正确）正确. .例如，例如，2323时，有时，有 但但-22-22时，却有时，却有答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）1.1.若若a0a0，-1b0-1b0，那么下列不等式中正确的是，那么下列不等式中正确的是( )( )(A
5、)aab(A)aab2 2ab (B)abab (B)ab2 2aabaab(C)aabab(C)aabab2 2 (D)ab(D)ab2 2abaaba【解析解析】选选A.A.因为因为-1b0,-1b0,所以所以b0bb0b2 21,1,于是于是aabaab2 2ab.1ba1b，下列不等式中不一定成立的是，下列不等式中不一定成立的是( )( )(A)a-b1-b (B)a-1b-1(A)a-b1-b (B)a-1b-1(C)a-11-b (D)1-ab-a(C)a-11-b (D)1-ab-a【解析解析】选选C.C.由由a1a1知知a-b1-b,a-b1-b,故故A A正确；由正确；由ab
6、ab知知a-1b-1,a-1b-1,故故B B正确正确; ;由由1b1b知知1-ab-a,1-ab-a,故故D D正确，正确，C C项错误，如当项错误，如当a=3a=3，b=-3b=-3时，时，不成立不成立. .3.x+y43.x+y4的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是( )( )(A)x2(A)x2或或y2 (B)x2y2 (B)x2且且y2y2(C)x2(C)x2 (D)x2 (D)x2y2【解析解析】选选B.B.由不等式的性质知，当由不等式的性质知，当x2x2且且y2y2时必有时必有x+y4,x+y4,但但当当x+y4x+y4时，不一定有时，不一定有x2x2且且y2,y2,如当
7、如当x=1,y=2x=1,y=2时就不成立时就不成立. .4.4. 与与 的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】答案：答案：5.5.已知已知-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,则则a-ba-b的取值范围是的取值范围是_，a a2 2+b+b2 2的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】因为因为-2a-1,-3b-2,-2a-1,-3b-2,所以所以2-b3,2-b3,于是于是0a-b2.0a-b2.又因为又因为1a1a2 24,4b4,4b2 29,9,所以所以5a5a2 2+b+b2 213.-4.2-4.(2)(2)不等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如不
8、等关系也可以表示变量与常量之间的不等关系，如2a5.2a5.(3)(3)不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如不等关系还可以表示函数与函数之间的不等关系，如f(x)g(x).f(x)0.5-x0.而要构成三角形，还要满足而要构成三角形，还要满足(5-x)+(12-x)(5-x)+(12-x)13-x.13-x.当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边对的角是钝角即可，因此需最长边对的角是钝角即可，因此(5-x)(5-x)2 2+(12-x)+(12-x)2 2(13-x)0+sin 20，b=sin +cos 0b=sin
9、 +cos 0，而而因为因为 所以所以sin sin 2sin (0,1)2sin (0,1)，即，即 故必有故必有ab.a0+sin 20，b=sin +cos 0b=sin +cos 0，而而 因为因为 所以所以2sin (1,2),2sin (1,2),即即 故必有故必有ab.ab.【拓展提升】【拓展提升】1.1.作差法比较大小的方法步骤作差法比较大小的方法步骤（1 1）作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；）作差：有的可直接作差，有的需转化才可作差；（2 2）变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、）变形：目的是判断差的符号，通常进行通分、因式分解、配方、分子（分母）有理
10、化等变形，有时还要根据字母取值范配方、分子（分母）有理化等变形，有时还要根据字母取值范围进行讨论以判断差的符号；围进行讨论以判断差的符号；（3 3）定号：若）定号：若a-b0a-b0，则，则abab；若；若a-b0a-b0，则，则aba0, b0,则则abab；若；若 b0, b0,则则aba5x5， 则则P P与与Q Q的大小关系是的大小关系是_._.【解析】【解析】所以必有所以必有PQ.PQ.答案：答案：PQPQ考向考向 3 3 不等式的性质及其应用不等式的性质及其应用【典例【典例3 3】(1)(1)（20132013合肥模拟）已知合肥模拟）已知a,b,c,da,b,c,d为实数，且为实数
11、，且cdcd，则，则“ab”“ab”是是“a-cb-d”“a-cb-d”的的( )( )（A A）充分不必要条件）充分不必要条件 （B B）必要不充分条件）必要不充分条件（C C）充要条件）充要条件 （D D）既不充分也不必要条件）既不充分也不必要条件（2 2）（）（20122012湖南高考）设湖南高考）设ab1,cb1,c)logloga a(b-c(b-c) )，其中所有的正，其中所有的正确结论的序号是确结论的序号是( )( )(A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)（3 3）已知）已知-12x-11-12x-1dcd，所以，所以-d-c-d-c，因此当，因此当abab时能
12、时能够推出够推出a-db-ca-db-c，但不一定有，但不一定有a-cb-da-cb-d，如，如a=3,b=2,c=4,d=1.a=3,b=2,c=4,d=1.但但当当cdcd且且a-cb-da-cb-d时，必有时，必有ab,ab,所以是必要不充分条件所以是必要不充分条件. .故选故选B.B.（2 2）选）选D.D.由不等式由不等式ab1ab1知知 又又c0cb1ab1，c0cb-c1-c1a-cb-c1-c1，由对数函数的图象与单调性知，由对数函数的图象与单调性知正确正确. .故选故选D.D.（3 3）由）由-12x-11-12x-11，得，得0x10xa,a0xa,a0，则，则（2 2）若
13、）若xa,aa,a0，则，则（3 3）若）若xa,a0xa,a0，则，则（4 4）若）若x0x0，则，则【变式训练】【变式训练】（1 1）下列命题中为真命题的是）下列命题中为真命题的是_._.若若ab,ab,则则若若ab0,cd0,ab0,cd0,则则若若ab,ab,且且a,bR,a,bR,则则若若 则则1-sin 0.1-sin 0.【解析】【解析】由于由于 所以所以是错误的；由于是错误的；由于ab0,cd0,ab0,cd0,所以所以a a2 2bb2 20, 0, 所以所以 所以所以正确；由于函数正确；由于函数 是减函数，是减函数，ab,ab,所以所以 故故正确；当正确；当 时，时，1-s
14、in =0,1-sin =0,故故不正确不正确. .答案：答案：(2)(2)若若13,-42,13,-42,则则-|-|的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】因为因为-42,-42,所以所以0|4,0|4,于是于是-4-|0,-4-|0,又又13,13,所以所以-3-|3.-3-|0,b0,a0,b0,且且e ea a+2a=(e+2a=(eb b+2b)+b,+2b)+b,所以有所以有e ea a+2ae+2aeb b+2b,+2b,设函数设函数f(x)=ef(x)=ex x+2x,+2x,显然函数显然函数f(x)f(x)在（在（0 0，+)+)上是增加的上是增加的, ,又又f(a
15、)f(b),f(a)f(b),所以有所以有ab.ab.故故A A正确，正确，B B错误错误. .又又e ea a-2a=(e-2a=(eb b-2b)-b-2b)-b，所以，所以e ea a-2ae-2a0g(x)0可得可得xln2xln2，所以函数所以函数g(x)g(x)在在(0,ln 2)(0,ln 2)上是减少的，在上是减少的，在(ln 2,+)(ln 2,+)上是增加上是增加的的. .因此由因此由g(a)g(b)g(a)bab，将，将A A，B B两杯盐水混合后，盐水的浓度两杯盐水混合后，盐水的浓度变为变为 故有故有答案：答案：1.1.若若a1,b1,b|b| (|b| (D)abD)
16、aba+b-11,b1,b0,b-10,b-10，所以所以(a-1)(b-1)0(a-1)(b-1)0，展开整理即得，展开整理即得ababa+b-1N (B)MN (B)M0(sin -1)(cos -1)0，故，故M N.M N.3.3.设设x x表示不超过表示不超过x x的最大整数，又设的最大整数，又设x x，y y满足方程组满足方程组 如果如果x x不是整数，那么不是整数，那么x+yx+y的取值范围是的取值范围是( )( )（A A）(35(35，39) 39) （B B）(49(49，51)51)（C C）(71(71，75) 75) （D D）(93(93，94)94)【解析】【解析】选选D.D.x-3x-3= =x x-3,-3,解解 得得x x=20,y=73,=20,y=73,xx不是整数，不是整数，2020x x21,9321,93x+yx+y94.94.故选故选D.D.
