《高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理【知识梳理【知识梳理】两个计数原理两个计数原理: :完成一件事的策略完成一件事的策略完成完成这这件事件事共有的方法共有的方法分分类类加法加法计计数原理数原理有两有两类类不同方案不同方案, ,在第在第1 1类类方方案中有案中有m m种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类类方案中有方案中有n n种不同的方法种不同的方法N=_N=_种不同的方法种不同的方法分步乘法分步乘法计计数原理数原理需要两个步需要两个步骤骤, ,做第做第1 1步有步有m m种种不同的方法不同的方法, ,做第做第2 2步有步有n n种不种不同的
2、方法同的方法N=_N=_种不同的方法种不同的方法m+nm+nmnmn【特别提醒【特别提醒】1.1.分类加法计数原理与分类有关分类加法计数原理与分类有关, ,各种方法相互独立各种方法相互独立, ,用其中的任意一种方法都可以完成这件事用其中的任意一种方法都可以完成这件事. .2.2.分步乘法计数原理与分步有关分步乘法计数原理与分步有关, ,各个步骤相互依存各个步骤相互依存, ,只有各个步骤都完成了只有各个步骤都完成了, ,这件事才算完成这件事才算完成. .【小题快练【小题快练】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(选修选修2-3P122-3P12习题习题1.1A1.1A组组T1T1改编改编) )
3、一购物中心销售某一购物中心销售某种型号的智能手机种型号的智能手机, ,其中国产的品牌有其中国产的品牌有2020种种, ,进口的品进口的品牌有牌有1010种种, ,小明要买一部这种型号的手机小明要买一部这种型号的手机, ,则不同的选则不同的选法有法有( () )A.20A.20种种 B.10B.10种种 C.30C.30种种 D.200D.200种种【解析【解析】选选C.C.分类完成此事分类完成此事, ,一类是买国产品牌一类是买国产品牌, ,有有2020种选法种选法, ,另一类是买进口品牌另一类是买进口品牌, ,有有1010种选法种选法. .由分类加法由分类加法计数原理可知计数原理可知, ,共有
4、共有20+10=30(20+10=30(种种) )选法选法. .2.(2.(选修选修2-3P10T12-3P10T1改编改编) )乘积乘积(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m+m) )展开后共有展开后共有项项. .【解析【解析】由由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m+m) )展开式各项展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积都是从每个因式中选一个字母的乘积, ,由分步乘法计数由分步乘法计数原理可得原理可得: :其展开式共有其展开式共有3 34 45=60(5=60(项
5、项).).答案答案: :60603.(3.(选修选修2-3P122-3P12习题习题1.1A1.1A组组T2T2改编改编) )如图如图, ,从从A A城到城到B B城有城有3 3条路条路; ;从从B B城到城到D D城有城有4 4条路条路; ;从从A A城到城到C C城有城有4 4条路条路, ,从从C C城到城到D D城有城有5 5条路条路, ,则某旅客从则某旅客从A A城到城到D D城共有城共有条不同的路线条不同的路线. .【解析【解析】不同路线共有不同路线共有3 34+44+45=32(5=32(条条).).答案答案: :3232感悟考题试一试感悟考题试一试4.(20164.(2016郑州
6、模拟郑州模拟) )某项测试要过两关某项测试要过两关, ,第一关有第一关有3 3种种测试方案测试方案, ,第二关有第二关有5 5种测试方案种测试方案, ,某人参加该项测试某人参加该项测试, ,不同的测试方法种数为不同的测试方法种数为( () )A.3+5A.3+5 B.3 B.35 5C.3C.35 5 D.5 D.53 3【解析【解析】选选B.B.根据题意根据题意, ,某人参加该项测试某人参加该项测试, ,第一关有第一关有3 3种测试方案种测试方案, ,即有即有3 3种测试方法种测试方法, ,第二关有第二关有5 5种测试方案种测试方案, ,即有即有5 5种测试方法种测试方法, ,则有则有3 3
7、5 5种不同的测试方法种不同的测试方法. .5.(20165.(2016洛阳模拟洛阳模拟) )某位同学逛书店某位同学逛书店, ,发现有三本发现有三本喜欢的书喜欢的书, ,决定至少买其中一本决定至少买其中一本, ,则购买的方案有则购买的方案有种种. .【解析【解析】至少买其中一本的实质是买一本或买两本或至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本买三本, ,故分三类完成故分三类完成. .第一类第一类: :买一本有买一本有3 3种种; ;第二类第二类: :买两本有买两本有3 3种种; ;第三类第三类: :买三本有买三本有1 1种种. .共有共有3+3+1=7(3+3+1=7(种种) )买法买法.
8、.答案答案: :7 76.(20166.(2016广州模拟广州模拟) )在三位正整数中在三位正整数中, ,若十位数字小若十位数字小于个位和百位数字于个位和百位数字, ,则称该数为则称该数为“驼峰数驼峰数”. .比如比如“102102”, ,“546546”为为“驼峰数驼峰数”, ,由数字由数字1,2,3,41,2,3,4可构可构成无重复数字的成无重复数字的“驼峰数驼峰数”有有个个. .【解析【解析】十位上的数为十位上的数为1 1时时, ,有有213,214,312,314,213,214,312,314,412,413,412,413,共共6 6个个, ,十位上的数为十位上的数为2 2时时,
9、,有有324,423,324,423,共共2 2个个, ,所以共有所以共有6+2=8(6+2=8(个个).).答案答案: :8 8考向一考向一分类加法计数原理的应用分类加法计数原理的应用【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016衡水模拟衡水模拟) )满足满足a,a,b-1,0,1,2,b-1,0,1,2,且关于且关于x x的方程的方程axax2 2+2x+2x+b=0+b=0有实数解的有序数对有实数解的有序数对(a,b(a,b) )的个数为的个数为. .(2)(2016(2)(2016太原模拟太原模拟) )在所有的两位数中在所有的两位数中, ,个位数字大个位数字大于十位数字的两位数的
10、个数为于十位数字的两位数的个数为. .【解题导引【解题导引】(1)(1)分分a=0a=0和和a0a0两类情况讨论两类情况讨论. .(2)(2)按十位数字分八类进行计算按十位数字分八类进行计算. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由于由于a,b-1,0,1,2,a,b-1,0,1,2,当当a=0a=0时时, ,有有 为实根为实根, ,则则b b可取可取-1,0,1,2,-1,0,1,2,有有4 4种可能种可能. .当当a0a0时时, ,方程有实根方程有实根, ,所以所以=4-4ab0,=4-4ab0,所以所以ab1.(*)ab1.(*)当当a=-1a=-1时时, ,满足满足(*)(*)式的式的
11、b b可取可取-1,0,1,2,-1,0,1,2,有有4 4种可能种可能. .当当a=1a=1时时,b,b可取可取-1,0,1,-1,0,1,有有3 3种可能种可能. .当当a=2a=2时时,b,b可取可取-1,0,-1,0,有有2 2种可能种可能. .所以由分类加法计数原理所以由分类加法计数原理, ,有序数对有序数对(a,b(a,b) )共有共有4+4+3+2=13(4+4+3+2=13(个个).).答案答案: :1313(2)(2)根据题意根据题意, ,将十位上的数字按将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8的情的情况分成况分成8 8类类, ,在每一类中
12、满足题目条件的两位数分别是在每一类中满足题目条件的两位数分别是8 8个个,7,7个个,6,6个个,5,5个个,4,4个个,3,3个个,2,2个个,1,1个个. .由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知, ,符合条件的两位数共有符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).).故共有故共有3636个个. .答案答案: :3636【一题多解【一题多解】解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :分析个位数字分析个位数字, ,可分以下几类可分以下几类: :个位是个位是9,9,则十位可以是则十位可以是1,2,3,1,2,3,8,8中的
13、一个中的一个, ,故共有故共有8 8个个; ;个位是个位是8,8,则十位可以是则十位可以是1,2,3,1,2,3,7,7中的一个中的一个, ,故共有故共有7 7个个; ;同理个位是同理个位是7 7的有的有6 6个个; ;个位是个位是2 2的有的有1 1个个. .由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知, ,符合条件的两位数共有符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个).).故共有故共有3636个个. .答案答案: :3636【易错警示【易错警示】解答本例题解答本例题(1)(1)有三点容易出错有三点容易出错(1)(1)将方程将方程axa
14、x2 2+2x+b=0+2x+b=0误认为二次方程误认为二次方程, ,没有讨论没有讨论当当a=0a=0时的情况时的情况. .(2)(2)容易漏掉容易漏掉a a与与b b相等的情况相等的情况. .(3)(3)不能分清是分步还是分类不能分清是分步还是分类, ,造成结论错误造成结论错误. .【母题变式【母题变式】1.1.若本例题若本例题(2)(2)条件变为条件变为“个位数字不小于十位数字个位数字不小于十位数字”, ,则两位数的个数为则两位数的个数为. .【解析【解析】分两类分两类: :一类一类: :个位数字大于十位数字的两位个位数字大于十位数字的两位数数; ;由本例由本例(2)(2)知共有知共有36
15、36个个; ;另一类另一类: :个位数字与十位数个位数字与十位数字相同的有字相同的有11,22,33,44,55,66,77,88,99,11,22,33,44,55,66,77,88,99,共共9 9个个. .由分由分类加法计数原理知类加法计数原理知, ,共有共有36+9=45(36+9=45(个个).).答案答案: :45452.2.若本例题若本例题(2)(2)条件变为条件变为“个位数字小于十位数字个位数字小于十位数字”, ,则这样的两位数的个数为则这样的两位数的个数为. .【解析【解析】根据题意根据题意, ,将个位上的数字按将个位上的数字按0,1,2,3,4,5,0,1,2,3,4,5,
16、6,7,86,7,8的情况分成的情况分成9 9类类, ,在每一类中满足题目条件的两在每一类中满足题目条件的两位数分别是位数分别是9 9个个,8,8个个,7,7个个,6,6个个,5,5个个,4,4个个,3,3个个,2,2个个,1,1个个, ,由分类加法计数原理知由分类加法计数原理知, ,符合条件的两位数共有符合条件的两位数共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(个个).).答案答案: :4545【规律方法【规律方法】1.1.分类加法计数原理的用法及要求分类加法计数原理的用法及要求(1)(1)用法用法: :应用分类加法计数原理进行计数时应用分类加法计
17、数原理进行计数时, ,需要根据需要根据完成事件的特点完成事件的特点, ,将要完成一件事的方法进行将要完成一件事的方法进行“分类分类”计算计算. .(2)(2)要求要求: :各类的方法相互独立各类的方法相互独立, ,每类中的各种方法也相每类中的各种方法也相互独立互独立, ,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事这件事. .2.2.使用分类加法计数原理遵循的原则使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个有时分类的划分标准有多个, ,但不论是以哪一个为标准但不论是以哪一个为标准, ,都应遵循都应遵循“标准要明确标准要明确, ,不重不漏不重不
18、漏”的原则的原则. .提醒提醒: :对于分类类型较多对于分类类型较多, ,而其对立事件包含的类型较而其对立事件包含的类型较少的可用间接法求解少的可用间接法求解. .【变式训练【变式训练】小明有小明有4 4枚完全相同的硬币枚完全相同的硬币, ,每枚硬币都每枚硬币都分正反两面分正反两面, ,他想把他想把4 4枚硬币摆成一摞枚硬币摆成一摞, ,且满足相邻两且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对枚硬币的正面与正面不相对, ,不同的摆法有不同的摆法有( () )A.4A.4种种 B.5B.5种种C.6C.6种种 D.9D.9种种【解析【解析】选选B.B.记反面为记反面为1,1,正面为正面为2,2,则正反依
19、次相则正反依次相对有对有12121212,2121212112121212,21212121两种两种; ;有两枚反面相对有有两枚反面相对有21121212,21211212,2121211221121212,21211212,21212112三种三种, ,共有共有3+2=5(3+2=5(种种) )摆法摆法. .【加固训练【加固训练】1.1.从集合从集合1,2,3,1,2,3,10,10中任意选出三个不同的数中任意选出三个不同的数, ,使这三个数成等比数列使这三个数成等比数列, ,这样的等比数列的个数为这样的等比数列的个数为 ( () )A.3 B.4 C.6 D.8A.3 B.4 C.6 D.
20、8【解析【解析】选选D.D.当公比为当公比为2 2时时, ,等比数列可为等比数列可为1,2,41,2,4或或2,4,8;2,4,8;当公比为当公比为3 3时时, ,等比数列可为等比数列可为1,3,9;1,3,9;当公比为当公比为 时时, ,等比数列可为等比数列可为4,6,9.4,6,9.同理同理, ,公比为公比为 时时, ,也有也有4 4个个. .故共有故共有2+1+1+4=8(2+1+1+4=8(个个).).2.2.若若x,yNx,yN* *, ,且且x+y6,x+y6,则有序自然数对则有序自然数对(x,y(x,y) )共有共有个个. .【解析【解析】当当x=1x=1时时,y,y可取的值为可
21、取的值为5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,共共5 5个个; ;当当x=2x=2时时,y,y可取的值为可取的值为4,3,2,1,4,3,2,1,共共4 4个个; ;当当x=3x=3时时,y,y可取的值为可取的值为3,2,1,3,2,1,共共3 3个个; ;当当x=4x=4时时,y,y可取的值为可取的值为2,1,2,1,共共2 2个个; ;当当x=5x=5时时,y,y可取的值为可取的值为1,1,共共1 1个个. .即当即当x=1,2,3,4,5x=1,2,3,4,5时时,y,y的值依次有的值依次有5,4,3,2,15,4,3,2,1个个, ,由分类加法计数原理由分类加法计数原理, ,得不同的
22、数对得不同的数对(x,y(x,y) )共有共有5+4+3+2+1=15(5+4+3+2+1=15(个个).).答案答案: :1515考向二考向二分步乘法计数原理的应用分步乘法计数原理的应用【典例【典例2 2】(1)5(1)5名应届毕业生报考三所高校名应届毕业生报考三所高校, ,每人报且每人报且仅报一所院校仅报一所院校, ,则不同的报名方法的种数是则不同的报名方法的种数是( () )A.3A.35 5 B.5 B.53 3C.C. D.D.(2)(2016(2)(2016哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )用用0,1,0,1,9,9十个数字十个数字, ,可以可以组成有重复数字的三位数的个数为组成有重复数字
23、的三位数的个数为( () )A.243A.243 B.252 B.252C.261C.261 D.279 D.279【解题导引【解题导引】(1)(1)从第一个学生报名到第五个学生报名从第一个学生报名到第五个学生报名可分五步来完成可分五步来完成, ,每一步有每一步有3 3种报名方法种报名方法. .(2)(2)用分步乘法计数原理分别求出能够组成的三位数的用分步乘法计数原理分别求出能够组成的三位数的个数与能够组成的无重复数字的三位数的个数个数与能够组成的无重复数字的三位数的个数, ,从而间从而间接获得所求接获得所求. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.根据分步乘法计数原理知根据分步乘法
24、计数原理知, ,每个每个学生都有学生都有3 3个可能报名的学校个可能报名的学校, ,故应该是故应该是3 33 33 33 33=33=35 5( (种种) )方法方法. .(2)(2)选选B.B.由分步乘法计数原理得由分步乘法计数原理得, ,能够组成的三位数的能够组成的三位数的个数是个数是9 9101010=900,10=900,能够组成无重复数字的三位数能够组成无重复数字的三位数的个数是的个数是9 99 98=648,8=648,故能够组成有重复数字的三位故能够组成有重复数字的三位数的个数是数的个数是900-648=252.900-648=252.【易错警示【易错警示】解答本例解答本例(1)
25、(1)有三点容易出错有三点容易出错(1)(1)按学校来分步得出按学校来分步得出5 53 3, ,误选误选B,B,因为每人报且仅报一因为每人报且仅报一所院校所院校, ,若按学校分若按学校分, ,则会出现一个学生报多所学校的则会出现一个学生报多所学校的情况情况. .(2)(2)误以为误以为5 5名学生选名学生选3 3个学校的排列问题个学校的排列问题, ,错选错选C.C.(3)(3)误以为误以为5 5名学生选名学生选3 3个学校的组合问题个学校的组合问题, ,错选错选D.D.【规律方法【规律方法】1.1.分步乘法计数原理的用法及要求分步乘法计数原理的用法及要求(1)(1)用法用法: :应用分步乘法计
26、数原理时应用分步乘法计数原理时, ,需要根据要完成事需要根据要完成事件的发生过程进行件的发生过程进行“分步分步”计算计算. .(2)(2)要求要求: :每个步骤相互依存每个步骤相互依存, ,其中的任何一步都不能单其中的任何一步都不能单独完成这件事独完成这件事, ,只有当各个步骤都完成只有当各个步骤都完成, ,才算完成这件才算完成这件事事. .2.2.应用分步乘法计数原理的注意点应用分步乘法计数原理的注意点(1)(1)明确题目中所指的明确题目中所指的“完成一件事完成一件事”是什么事是什么事, ,必须必须要经过几步才能完成这件事要经过几步才能完成这件事. .(2)(2)解决分步问题时要合理设计步骤
27、、顺序解决分步问题时要合理设计步骤、顺序, ,使各步互使各步互不干扰不干扰, ,还要注意元素是否可以重复选取还要注意元素是否可以重复选取. .【变式训练【变式训练】(2016(2016兰州模拟兰州模拟) )如图如图, ,电路中共有电路中共有7 7个个电阻与一个电灯电阻与一个电灯A,A,若灯若灯A A不亮不亮, ,分析因电阻断路的可能分析因电阻断路的可能性共有性共有种情况种情况. .【解析【解析】每个电阻都有断路与通路两种状态每个电阻都有断路与通路两种状态, ,图中从上图中从上到下的三条支线到下的三条支线, ,分别记为支线分别记为支线a,b,ca,b,c, ,支线支线a,ba,b中至少中至少有一
28、个电阻断路的情况都有有一个电阻断路的情况都有2 22 2-1=3-1=3种种; ;支线支线c c中至少有一个电阻断路的情况有中至少有一个电阻断路的情况有2 23 3-1=7-1=7种种, ,每条支线至少有一个电阻断路每条支线至少有一个电阻断路, ,灯灯A A就不亮就不亮, ,因此灯因此灯A A不亮的情况共有不亮的情况共有3 33 37=63(7=63(种种) )情况情况. .答案答案: :6363【加固训练【加固训练】1.1.从正方体的从正方体的6 6个面中选取个面中选取3 3个面个面, ,其中有其中有2 2个面不相邻个面不相邻的选法共有的选法共有( () )A.8A.8种种 B.12B.12
29、种种 C.16C.16种种 D.20D.20种种【解析【解析】选选B.B.完成这件事可先选取完成这件事可先选取2 2个不相邻的平面个不相邻的平面, ,有有2 2个面不相邻即有一组对面个面不相邻即有一组对面, ,共有共有3 3组组, ,然后再取与这然后再取与这两个平面都相交的平面两个平面都相交的平面, ,共有共有4 4个个. .由分步乘法计数原理由分步乘法计数原理可知可知, ,选法为选法为3 34=12(4=12(种种).).2.2.设集合设集合A=-1,0,1,A=-1,0,1,集合集合B=0,1,2,3,B=0,1,2,3,定义定义A*BA*B=(x,y)|xAB,yAB=(x,y)|xAB
30、,yAB,则则A*BA*B中元素的个数中元素的个数是是( () )A.7A.7B.10B.10C.2C.25 5D.5D.52 2【解析【解析】选选B.B.由题意知本题是一个分步乘法计数原由题意知本题是一个分步乘法计数原理理, ,因为集合因为集合A=-1,0,1,A=-1,0,1,集合集合B=0,1,2,3,B=0,1,2,3,所以所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以所以x x有有2 2种取法种取法, ,y y有有5 5种取法种取法, ,所以根据分步乘法计数原理得所以根据分步乘法计数原理得2 25=10.5=10.考向三考向三两个原理的综
31、合应用两个原理的综合应用【考情快递【考情快递】 命命题题方向方向命命题视题视角角组组数、数、组组点、点、组线组线、组队组队及抽取及抽取问题问题主要考主要考查综查综合合应应用两个原理用两个原理计计算算组组数、数、组组点点问题问题的个数及的个数及组队组队、抽取、抽取问题问题的方法种数的方法种数, ,属中、高档属中、高档题题涂色、种植涂色、种植问题问题主要考主要考查综查综合合应应用两个原理分步、用两个原理分步、分分类类解决涂色、种植解决涂色、种植问题问题的方案种的方案种数数【考题例析【考题例析】命题方向命题方向1:1:组数、组点、组线、组队及抽取问题组数、组点、组线、组队及抽取问题【典例【典例3 3
32、】(2015(2015湖北高考湖北高考) )已知集合已知集合A=(x,y)|xA=(x,y)|x2 2+y+y2 21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,1,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合定义集合AB=(xAB=(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2)|(x)|(x1 1,y,y1 1)A,(x)A,(x2 2,y,y2 2)B,)B,则则ABAB中中元素的个数为元素的个数为( () )A.77A.77 B.49 B.49 C.45 C.45 D.30 D.30 ( (本题源自本题源自A A版版2-3P12A2-3P12A组组T
33、5)T5)【解题导引【解题导引】先化集合先化集合A,BA,B为最简形式为最简形式, ,分别求出分别求出x x1 1+x+x2 2与与y y1 1+y+y2 2的值的值, ,然后根据所给信息然后根据所给信息, ,利用分步乘法计数原利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理确定理和分类加法计数原理确定ABAB中元素的个数中元素的个数. .【规范解答【规范解答】选选C.C.由题意知由题意知,A=(x,y)|x,A=(x,y)|x2 2+y+y2 21,1,x,yZx,yZ=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),B=(x,=(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),B=(x,y)|
34、x|2,|y|2,x,yZ,y)|x|2,|y|2,x,yZ,所以由新定义集合所以由新定义集合ABAB可知可知,x,x1 1= =1,y1,y1 1=0=0或或x x1 1=0,y=0,y1 1= =1.1.当当x x1 1= =1,1,y y1 1=0=0时时,x,x1 1+x+x2 2=-3,-2,-1,0,1,2,3,y=-3,-2,-1,0,1,2,3,y1 1+y+y2 2=-2,-1,=-2,-1,0,1,2,0,1,2,所以此时所以此时ABAB中元素的个数由分步乘法中元素的个数由分步乘法计数原理得计数原理得, ,有有:7:75=355=35个个; ;当当x x1 1=0,y=0,
35、y1 1= =1 1时时,x,x1 1+x+x2 2= =-2,-1,0,1,2,y-2,-1,0,1,2,y1 1+y+y2 2=-3,-2,-1,0,1,2,3,=-3,-2,-1,0,1,2,3,这种情形下和这种情形下和第一种情况下除第一种情况下除y y1 1+y+y2 2的值取的值取-3-3或或3 3外均相同外均相同, ,此时由分此时由分步乘法计数原理得步乘法计数原理得, ,有有5 52=102=10个个, ,由分类加法计数原理由分类加法计数原理知知,AB,AB中元素的个数为中元素的个数为35+10=4535+10=45个个. .命题方向命题方向2:2:涂色、种植问题涂色、种植问题【典
36、例【典例4 4】(2016(2016珠海模拟珠海模拟) )如图如图, ,用用6 6种不种不同的颜色把图中同的颜色把图中A,B,C,DA,B,C,D四块区域分开四块区域分开, ,若若相邻区域不能涂同一种颜色相邻区域不能涂同一种颜色, ,则不同的涂法则不同的涂法共有共有( () )A.400A.400种种 B.460B.460种种C.480C.480种种 D.496D.496种种【解题导引【解题导引】可按使用颜色的种数分类来完成此事可按使用颜色的种数分类来完成此事. .【规范解答【规范解答】选选C.C.完成此事可能使用完成此事可能使用4 4种颜色种颜色, ,也可能也可能使用使用3 3种颜色种颜色.
37、 .当使用当使用4 4种颜色时种颜色时: :从从A A开始开始, ,有有6 6种方法种方法, ,B B有有5 5种种,C,C有有4 4种种,D,D有有3 3种种, ,完成此事共有完成此事共有6 65 54 43 3=360(=360(种种) )方法方法; ;当使用当使用3 3种颜色时种颜色时:A,D:A,D使用同一种颜色使用同一种颜色, ,从从A,DA,D开始开始, ,有有6 6种方法种方法,B,B有有5 5种种,C,C有有4 4种种, ,完成此事共有完成此事共有6 65 54=120(4=120(种种) )方法方法. .由分类加法计数原理可知由分类加法计数原理可知: :不同不同涂法有涂法有3
38、60+120=480(360+120=480(种种).).【技法感悟【技法感悟】1.1.组数、组点、组线、组队及抽取问题的解题思路组数、组点、组线、组队及抽取问题的解题思路(1)(1)组数、组点、组线、组队问题组数、组点、组线、组队问题: :一般按特殊位置由一般按特殊位置由谁占领分类谁占领分类, ,每类中再分步计数每类中再分步计数, ,当分类较多时当分类较多时, ,也可用也可用间接法求解间接法求解. .(2)(2)有限制条件的抽取问题有限制条件的抽取问题: :一般根据抽取的顺序分步一般根据抽取的顺序分步或根据选取的元素特点分类或根据选取的元素特点分类, ,当数目不大时当数目不大时, ,可用枚举
39、可用枚举法法, ,当数目较大时当数目较大时, ,可用间接法求解可用间接法求解. .2.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)(1)关注点关注点: :分清元素的数目分清元素的数目, ,其次分清在不相邻的区域其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素内是否可以使用同类元素. .(2)(2)关键是对每个区域逐一进行关键是对每个区域逐一进行, ,分步处理分步处理. .提醒提醒: :对于较复杂的两个原理综合应用的问题对于较复杂的两个原理综合应用的问题, ,可恰当可恰当画出示意图或列出表格画出示意图或列出表格, ,使问题形象化、直观化使问题形象化、直观化, ,以图以图
40、助解助解. .【题组通关【题组通关】1.(20161.(2016长春模拟长春模拟) )现从甲、乙、丙等现从甲、乙、丙等6 6名工人中安排名工人中安排4 4人分别照看一道工序人分别照看一道工序, ,第一道工序只能从甲、乙两工第一道工序只能从甲、乙两工人中安排人中安排1 1人人, ,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1 1人人, ,则不同的安排方案共有则不同的安排方案共有( () )A.24A.24种种B.36B.36种种C.48C.48种种D.72D.72种种【解析【解析】选选B.B.分两类分两类: :(1)(1)第一道工序安排甲时有第一道工序安排甲时有1 11
41、 14 43=12(3=12(种种).).(2)(2)第一道工序不安排甲时有第一道工序不安排甲时有1 12 24 43=24(3=24(种种).).所以共有所以共有12+24=36(12+24=36(种种).).2.(20152.(2015四川高考四川高考) )用数字用数字0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5组成没有重组成没有重复数字的五位数复数字的五位数, ,其中比其中比4000040000大的偶数共有大的偶数共有( () )A.144A.144个个 B.120B.120个个 C.96C.96个个 D.72D.72个个【解析【解析】选选B.B.首位为首位为5,5,末位为末位为0:40
42、:43 32=24(2=24(个个););首位为首位为5,5,末位为末位为2:42:43 32=24(2=24(个个););首位为首位为5,5,末位为末位为4:44:43 32=24(2=24(个个););首位为首位为4,4,末位为末位为0:40:43 32=24(2=24(个个););首位为首位为4,4,末位为末位为2:42:43 32=24(2=24(个个).).由分类加法计数原理由分类加法计数原理, ,得共有得共有24+24+24+24+24=120(24+24+24+24+24=120(个个).).3.(20143.(2014福建高考福建高考) )用用a a代表红球代表红球,b,b代表
43、蓝球代表蓝球,c,c代表黑代表黑球球, ,由加法原理及乘法原理由加法原理及乘法原理, ,从从1 1个红球和个红球和1 1个蓝球中取个蓝球中取出若干个球的所有取法可由出若干个球的所有取法可由 的展开式的展开式1+a+b+ab1+a+b+ab表示出来表示出来, ,如如: :“1 1”表示一个球都不取、表示一个球都不取、“a a”表示取出一个红球表示取出一个红球, ,而而“abab”则表示把红球和蓝则表示把红球和蓝球都取出来球都取出来. .依此类推依此类推, ,下列各式中下列各式中, ,其展开式可用来表其展开式可用来表示从示从5 5个无区别的红球、个无区别的红球、5 5个无区别的蓝球、个无区别的蓝球
44、、5 5个有区别个有区别的黑球中取出若干个球的黑球中取出若干个球, ,且所有的蓝球都取出或都不取且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是出的所有取法的是( () )【解析【解析】选选A.A.因为无区别因为无区别, ,所以取红球的方法数所以取红球的方法数为为1+a+a1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5; ;因为蓝球要都取出因为蓝球要都取出, ,或都不或都不取出取出, ,所以方法为所以方法为1+b1+b5 5, ,因为黑球有区别因为黑球有区别, ,因此因此, ,取黑球的方法数为取黑球的方法数为(1+c)(1+c)5 5, ,所以所有取法数为所以所有取法数为(1+a+a(1
45、+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5)(1+b)(1+b5 5)(1+c)(1+c)5 5. .4.(20164.(2016南阳模拟南阳模拟) )如图所示的五个区域如图所示的五个区域中中, ,现有四种颜色可供选择现有四种颜色可供选择, ,要求每一个区要求每一个区域只涂一种颜色域只涂一种颜色, ,相邻区域所涂颜色不同相邻区域所涂颜色不同, ,则不同的涂则不同的涂色方法种数为色方法种数为( () )A.24A.24种种B.48B.48种种C.72C.72种种D.96D.96种种【解析【解析】选选C.C.分两种情况分两种情况: :(1)A,C(1)A,C不同色不同色, ,先涂先涂
46、A A有有4 4种种,C,C有有3 3种种,E,E有有2 2种种,B,D,B,D有有1 1种种, ,有有4 43 32=24(2=24(种种).).(2)A,C(2)A,C同色同色, ,先涂先涂A A有有4 4种种,E,E有有3 3种种,C,C有有1 1种种,B,D,B,D各有各有2 2种种, ,有有4 43 32 22=48(2=48(种种).).共有共有7272种种. .【加固训练【加固训练】某城市在中心广场建造一个花圃某城市在中心广场建造一个花圃, ,花圃分为花圃分为6 6个部分个部分( (如图如图).).现要栽种现要栽种4 4种不同颜色的花种不同颜色的花, ,每部分栽种一种每部分栽种一
47、种且相邻部分不能栽种同样颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花, ,不同的栽种方法不同的栽种方法有有种种( (用数字作答用数字作答).).【解析【解析】从题意来看从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花种颜色的花, ,又从图形又从图形看知必有看知必有2 2组同颜色的花组同颜色的花, ,从同颜色的花入手分类求从同颜色的花入手分类求. .(1)(1)与与同色同色, ,则则也同色或也同色或也同色也同色, ,所以共有所以共有N N1 1=4=43 32 22 21=48(1=48(种种).).(2)(2)与与同色同色, ,则则或或同色同色, ,所以共有所以共有N N2 2=4=43 32 22 2
48、1=48(1=48(种种).).(3)(3)与与且且与与同色同色, ,则共有则共有N N3 3=4=43 32 21=24(1=24(种种).).所以共有所以共有N=NN=N1 1+N+N2 2+N+N3 3=48+48+24=120(=48+48+24=120(种种).).答案答案: :120120【一题多解【一题多解】本题还可用以下方法求解本题还可用以下方法求解. .记不同颜色的记不同颜色的花为花为A,B,C,D,A,B,C,D,先安排先安排,有有4 43 32 2种不同的栽法种不同的栽法. .不妨设不妨设,已分别栽种已分别栽种A,B,C,A,B,C,则则,栽种方栽种方法共法共5 5种种, ,由以下树状图清晰可见由以下树状图清晰可见. .根据分步乘法计数原理根据分步乘法计数原理, ,不同栽种不同栽种方法有方法有N=4N=43 32 25=120.5=120.答案答案: :120120
