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1、材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力材料力学第四章 弯曲应力2024年年7月月23日日材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力2第四章第四章 弯曲应力弯曲应力4- -1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例4- -2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化4- -3 剪力和弯矩剪力和弯矩4- -4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图4- -5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系 4- -6 平面曲杆的弯曲内力惯性矩和惯平面曲杆的弯曲内力惯性矩和惯材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力34- -1 弯曲的概
2、念和实例弯曲的概念和实例一、工程实例一、工程实例材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4F2F1材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力7二、关于弯曲的概念二、关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力8弯曲变形材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力9AB对称轴
3、对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴线梁变形后的轴线与外力在同一平与外力在同一平面内面内梁的轴线梁的轴线材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力10 对称弯曲对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。 对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力11 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵
4、对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。一、一、 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端(a)(b)(c)4- -2 受弯构件的简化受弯构件的简化材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力12 2. 固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力3. 3. 向心轴承向心轴承4. 4. 向心止推轴承向心止推轴承二、二、 载荷的简化载荷的简化u 集中力集中力u 集中力偶集中力偶u 分布载荷分布载荷材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯
5、曲内力14悬臂梁三、梁的基本形式三、梁的基本形式简支梁外伸梁材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力15. 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为 梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知： 4. 3 4. 3 剪力和弯矩剪力和弯矩材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力16 它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用
6、力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力17从而有材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力18 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。材材 料料
7、 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例 求求C C截面的内力。截面的内力。解：先求支座反力。解：先求支座反力。以左半部分平衡求内力：以左半部分平衡求内力：ABF2F3F1aaaaCa/2FAFBAF2MF1CFAFSBF3CFBMFS以右半部分平衡求内力：以右半部分平衡求内力：材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 综上所述可知：综上所述可知： (1)(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力
8、；反之，则引起负值的剪力下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2)(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 1.1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。 2. 2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右弯矩，而逆时针转向
9、的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力4.4 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图u 剪力方程剪力方程u 弯矩方程弯矩方程 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力q悬臂梁受均布载荷作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x
10、，写出剪力和弯矩方程x依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxl 由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为例题例题4.34.3qx材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 图图a a所示简支梁受集度为所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1. 求约束力FBFAB l A q例例材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力2. 列剪力方程和弯矩方程B l A qx FAx A q FS(x)材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 由图可见，此梁横截面上的最大剪力由图可见，此梁横截面上的最大剪
11、力( (按绝对值按绝对值) )其其值为值为 ( (正值，负值正值，负值) )，发生在两个支座各自的内，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截发生在跨中横截面上。面上。3. 3. 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图ql 2 FS ql 2 ql2 8 M材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1求约束反力FAyFb/l FByFa/l2写出剪力和弯矩方程ACCB3. 依方程画出剪力图和弯矩图。例题例题4.24.2材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内
12、力弯曲内力BAlF FAYAYF FBYBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1求解约束反力FAyM / l , FBy -M / l2写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3. 依方程画出剪力图和弯矩图。CMab例例材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力29讨论 由剪力图可知，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。 若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的
13、剪力值是没有意义的。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力总结：总结：QQ 分析步骤：分析步骤：求支反力求支反力建立坐标建立坐标建立剪力弯矩方程建立剪力弯矩方程画剪力弯矩图画剪力弯矩图QQ 当需要分段列剪力弯矩方程时（集中力，集中力偶，分布当需要分段列剪力弯矩方程时（集中力，集中力偶，分布 载荷不作用在整个梁段），可以采用载荷不作用在整个梁段），可以采用整体坐标整体坐标或或局部坐标局部坐标。QQ 剪力弯矩图中要标明剪力弯矩图中要标明符号符号以及以及特征点的大小特征点的大小。QQ 剪力图在有剪力图在有集中力集中力作用处（包括支座处），发生突变。作用处（包括支座处），发生突变。QQ
14、 弯矩图在有弯矩图在有集中力偶集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。作用处（包括支座处），发生突变。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力作作 业业P129： 4.4 c, g, h 材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力一一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系 1.假假设设：规规定定q(x)向向上上为为正正，向向下下为为负负；任任取取微微段段，认认为为其其上上q(x)为为常常数数，无无集集中中力力、集集中中力力偶偶；内内力作正向假设。力作正向假设。 2.微分关系推导：微分关系推导：yxMF1q(x)ABxdxq(x)dxCM(
15、x)FS(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力33从而得：由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项 ，即得材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力34由以上两个微分关系式又可得M 切记：切记：切记：切记：q q q q向上为正；向上为正；向上为正；向上为正；x x向右为正向右为正向右为正向右为正。QQ 剪力图某点处的切线斜率剪力图某点处的切线斜率 = = 该截面处载荷集度的大小。该截面处载荷集度的大小。QQ 弯矩图某点处的切线斜率弯矩图某点处的切线斜率 =
16、 = 该截面处剪力的大小。该截面处剪力的大小。QQ 该截面处载荷集度的正负该截面处载荷集度的正负决定决定弯矩图某点处的凹凸性。弯矩图某点处的凹凸性。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力351）常见荷载下）常见荷载下FS，M图的一些特征图的一些特征材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力36集中力作用处集中力偶作用处 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力2 2 2 2）梁梁梁梁上上上上最最最最大大大大弯弯弯弯矩矩矩矩 MMmaxmax可可可可能能能能发发发发生生生生在在在在F FS S(
17、 (x x) ) = = 0 0 的的的的截截截截面面面面上上上上; ; 或或或或发发发发生生生生在在在在集集集集中中中中力力力力所所所所在在在在的的的的截面上；或截面上；或截面上；或截面上；或集中力偶集中力偶集中力偶集中力偶作用处；作用处；作用处；作用处；最最最最大大大大剪剪剪剪力力力力可可可可能能能能发发发发生生生生在在在在集集集集中中中中力力力力所所所所在在在在的的的的截截截截面上；或分布载荷发生面上；或分布载荷发生面上；或分布载荷发生面上；或分布载荷发生变化变化变化变化的区段上的区段上的区段上的区段上。3 3 3 3）在集中力作用处剪力图有突变，其突在集中力作用处剪力图有突变，其突在集
18、中力作用处剪力图有突变，其突在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值，弯矩图有转折。变值等于集中力的值，弯矩图有转折。变值等于集中力的值，弯矩图有转折。变值等于集中力的值，弯矩图有转折。4 4 4 4）在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中其突变值等于集中其突变值等于集中其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化力偶的值，但剪力图无变化力偶的值，但剪力图无变化力偶的值，但剪力图无变化. .材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力2. 2. 分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系分布
19、荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系若在若在若在若在 a a 和和和和 b b 两个横截面两个横截面两个横截面两个横截面之之之之间无集中力间无集中力间无集中力间无集中力，则则则则x1x2q(x)材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力若横截面若横截面若横截面若横截面 A A, ,B B 间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得间无集中力偶作用则得abq(x)材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力3、快速作图法、快速作图法微分关系定性；微分关系定性；积分关系定量；积分关系定量；辅以突变规律；辅以突变规律； 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯
20、矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|FS|max和|M|max 。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力ABa/2-+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C - 利用微分关系利用微分关系快速快速画剪力弯矩图画剪力弯矩图跟着箭头走跟着箭头走先求支反力，从先求支反力，从左往右去，左往右去，剪力图口诀剪力图口诀根据剪力图，两点根据剪力图，两点对一段；若遇到力对一段；若遇到力偶，顺上逆下走
21、。偶，顺上逆下走。弯矩图口诀弯矩图口诀qaqa22qaaACBqa例：例：材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例例例 一简支梁受两个力一简支梁受两个力一简支梁受两个力一简支梁受两个力F F 作用，作用，作用，作用，如图所示。有关尺寸如图所示如图所示。有关尺寸如图所示如图所示。有关尺寸如图所示如图所示。有关尺寸如图所示. .试用本节所述关系作此梁的剪试用本节所述关系作此梁的剪试用本节所述关系作此梁的剪试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图力图和弯矩图力图和弯矩图力图和弯矩图. .解解解解 求梁的支反力求梁的支反力求梁的支反力求梁的支反力画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图FFaa
22、CDAB+FFFSF. aM材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例例例例 一一一一简简简简支支支支梁梁梁梁受受受受均均均均布布布布荷荷荷荷载载载载 作作作作 用用用用 ， 其其其其 集集集集q q=100kN=100kN/m/m , ,如如如如图图图图 所所所所示示示示。试试试试用用用用简简简简易易易易法法法法作作作作此此此此梁梁梁梁的的的的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。 解解解解 梁的支反力梁的支反力梁的支反力梁的支反力RARBEqABCD0.21.612+80kN80kNF FS S画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图kN.m161648M
23、结构对称、受结构对称、受结构对称、受结构对称、受力对称，则力对称，则力对称，则力对称，则剪力图剪力图剪力图剪力图反对称，弯矩图正反对称，弯矩图正反对称，弯矩图正反对称，弯矩图正对称。对称。对称。对称。 材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力FFaaCDABaRARB例例例例 一一一一简简简简支支支支梁梁梁梁受受受受力力力力如如如如图图图图 所所所所示示示示，试试试试用用用用简简简简易易易易法法法法作作作作此此此此梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。解：支反力为解：支反力为解：支反力为解：支反力为 -+ 结构对称、受力反结构对称、受力反
24、结构对称、受力反结构对称、受力反对称，则对称，则对称，则对称，则剪力图正对称，剪力图正对称，剪力图正对称，剪力图正对称，弯矩图反对称。弯矩图反对称。弯矩图反对称。弯矩图反对称。 材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力例题例题例题例题4.64.6 作梁的内力图。作梁的内力图。作梁的内力图。作梁的内力图。解解解解 (1)(1)支座反力为支座反力为支座反力为支座反力为将梁分为将梁分为将梁分为将梁分为 ACAC、CBCB、BE BE 四段。四段。四段。四段。2m4mABCE2mFRAq=2kN/mMe=10kN.mF2=2kNFRB352Fs /kN 2.2546M / kN.m 4材
25、材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力464- -6 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图. . 平面刚架平面刚架 平面刚架由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。 平面刚架杆件的内力当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力47 作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定： 弯矩图，画在各杆的受压一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号； 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。
26、材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力48 例题例题4-13 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。(a)材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力49各杆的内力方程为：CB杆：(杆的内侧受压)(杆的内侧受压)BA杆： 解：此刚架的C点为自由端，故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。(a)材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力50 绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号(图b及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。(a)材材 料料 力力 学学 第四章第四章
27、 弯曲内力弯曲内力51 作为校核可取该刚架的结点B为分离体，标出结点处的外力及内力，考察结点是否满足平衡条件。(a)材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力52. 平面曲杆平面曲杆 平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力 。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力轴力轴力轴力轴力 ：引起拉伸的轴力为正；：引起拉伸的轴力为正；：引起拉伸的轴力为正；：引起拉伸的轴力为正；弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正。弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正
28、。弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正。弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正。剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩 产生顺时针转动产生顺时针转动产生顺时针转动产生顺时针转动 趋势的剪力为正；趋势的剪力为正；趋势的剪力为正；趋势的剪力为正；内力符号的确定内力符号的确定内力符号的确定内力符号的确定材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力FNFSMF a53.1353.13 例例 作出该曲杆的弯矩图。作出该曲杆的弯矩图。解：解：材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力54 图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m m上的内力有 此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q 相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。例例 作出该曲杆的弯矩图。作出该曲杆的弯矩图。材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力O+FS图图ABOM图图2FROFN图图FF+xOFRq qmmAB材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力作作 业业P131： 4.7a材材 料料 力力 学学 第四章第四章 弯曲内力弯曲内力练练 习习P134： 4.13 4.16 4.17
