《幂级数解方程(偏微分方程)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂级数解方程(偏微分方程)（92页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、幂级数解法幂级数解法本征值问题本征值问题第十一章第十一章王建东王建东沙河校区计算机楼东沙河校区计算机楼东 11.111.1二阶常微分方程的幂级数解法二阶常微分方程的幂级数解法11.1.111.1.1幂级数解法理论概述幂级数解法理论概述 1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量一、分离变量法求解偏微分方程：一、分离变量法求解偏微分方程：可直接求解可直接求解可直接求解可直接求解对第对第3个方程作变量替换个方程作变量替换为为为为 l 阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程，不可直接求解不可直接求解若若讨论问题具有旋具有旋转轴对称性，即称性，即 m=0为为 l 阶勒让德方程
2、阶勒让德方程，不可直接求解不可直接求解2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量可直接求解可直接求解可直接求解可直接求解对第对第3个方程：个方程：(1) 若若 0 ，作，作变换为为 m 贝塞尔方程贝塞尔方程，不可直接求解不可直接求解 =0可直接求解可直接求解(2) 若若 0 ，作，作变换为为虚宗量虚宗量贝塞尔方程贝塞尔方程，不可直接求解不可直接求解. 用球坐用球坐标系和柱坐系和柱坐标系系对拉普拉斯方程、波拉普拉斯方程、波动方程、方程、输运方程运方程进行行变量分离，就出量分离，就出现连带勒勒让德方程、勒德方程、勒让德方程、德方程、贝塞塞尔尔方程、球方程、球贝塞塞尔
3、尔方程方程等特殊函数方程。用其他坐等特殊函数方程。用其他坐标系系对其他数学物理偏其他数学物理偏微分方程微分方程进行分离行分离变量，量，还会出会出现各种各各种各样的特殊的特殊函数方程，它函数方程，它们大多是二大多是二阶线性常微分方程。性常微分方程。这向向我我们提出求解提出求解带初始条件的初始条件的线性二性二阶常微分方程定常微分方程定解解问题。 不失一般性，我不失一般性，我们讨论复复变函数函数(z)的的线性二性二阶常微分方程：常微分方程：(11.1.1)这这里里 z 是是复复变变量量，p(z) 和和 q(z) 是是已已知知的的复复变变函函数数，称称为为方方程程的的系系数数， (z)是是待待求求的的
4、未未知知函函数数，z0为为选选定的点，定的点，C0和和C1为复常数。为复常数。 这些些线性性二二阶常常微微分分方方程程常常常常不不能能用用通通常常的的解解法法解解出出，但但可可用用幂级数数解解法法解解出出。幂级数数解解法法求解二求解二阶常微分方程的具体常微分方程的具体过程程为：（1） 任任选某个点某个点z0，在其，在其邻域上把待求的解域上把待求的解 表表为系数待定的系数待定的幂级数；数；（2） 将将这个个幂级数形式解代入方程和定解数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定条件，求出所有待定幂级数系数。数系数。(2) (2) 既然是级数，就存在是否收敛和收敛范围的问既然是级数，就存在是否收敛和收
5、敛范围的问 题；题；说明：说明：(1)(1) 级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；特殊的要求；(3) (3) 级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。二、二、方程的常点和奇点概念方程的常点和奇点概念 定定义 11.1.1 若若方方程程(11.1.1)的的系系数数p(z)和和q(z)都都在在点点z0及及其其邻域域内内解解析析，则称称点点z0为方方程程(11.1.1)的的常点。常点。 定定义 11.1.2 只只要要系系数数p(z)和和q(z)之之一一在在点点z0不不解解析，析，则称点称点z0为方程方程(1
6、1.1.1)的奇点。的奇点。 定定义 11.1.3 若若(z-z0)p(z)及及(z-z0)2q(z)都都在在点点z0解解析析，则称称点点z0为方方程程(11.1.1)的的正正则奇奇点点，否否则称称为方程的非正方程的非正则奇点。奇点。 定定理理 11.1.1 若若方方程程(11.1.1)的的系系数数p(z)和和q(z)为点点z0的的邻域域 |z-z0|R 中中的的解解析析函函数数，则方方程程在在这个个圆中中存存在在唯唯一一的的解解析析解解(z)满足足初初始始条条件件(z0)=C0和和(z0)=C1 。 定定理理 11.1.2 若若z0为方方程程(11.1.1)的的常常点点，则在在z0点的点的邻
7、域内，方程域内，方程(11.1.1)的通解形式的通解形式为其其中中a0和和a1为任任意意常常数数， 0(z)和和1(z)为在在点点z0解解析的两个析的两个线性独立的函数。性独立的函数。(11.1.2)三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解） 在在x0=0的的邻域求解域求解 l 阶勒勒让德方程：德方程：方程的系数：方程的系数：在在x0=0，方方程程的的系系数数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且且为有有限限值，因因此此它它们必必然然在在x0=0处解解析析，故故x0=0为方方程程的的常常点点，根根据据常常点点邻域域上上解解的的定定理理1
8、1.1.2，解解具具有有泰勒泰勒级数形式：数形式：根据此解的形式，于是有：根据此解的形式，于是有：代入勒代入勒让德方程，可得：德方程，可得：合并整理后可得：合并整理后可得：将各求和号内将各求和号内k的起点的起点统一化：一化：因此合并因此合并x的同的同幂次次项后有：后有：要要使使上上述述方方程程对任任意意的的x都都成成立立(=0)，则要要求求x各各幂次前的系数必次前的系数必须为0，即：，即：解得系数间的递推关系：解得系数间的递推关系：因因此此，若若知知道道级级数数系系数数a0、a1，则则可可由由上上述述递递推推公公式计算出任一系数式计算出任一系数ak(k=2,3,)。系数递推：系数递推：.勒让德
9、方程的解为：勒让德方程的解为：pl(x)仅仅含含x的的偶偶次次幂幂，为为偶偶函函数数；ql(x)仅仅含含x的的奇奇次次幂幂，为为奇奇函函数数。它它们们的的收收敛敛半半径径(达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)为：为：因因此此，级数数解解 pl(x) 和和 ql(x) 收收敛敛于于|x|1；但但勒勒让让德德方方程程中中的的x=cos定定义于于-1,1上上，因因此此还要考要考虑级数解在数解在x=1处的收的收敛性。性。高斯判高斯判别法：法：对于正于正项级数数 ， 当当时，若前后，若前后邻项之比可表示之比可表示为：其其中中B(k)是是当当k时为k的的有有界界函函数数，则当当1时级数收数收敛，当，当 1时级数
10、数发散。散。对于足够大的对于足够大的k， pl(x)和和ql(x) 均为正项级数。均为正项级数。对于于pl(x)：根据高斯判根据高斯判别法，法，=1，级数数pl(x)发散。散。有界有界对于于ql(x)：根据高斯判根据高斯判别法，法，=1，级数数ql(x)发散。散。有界有界 如如果果级数数解解 pl(x) 和和 ql(x) 退退化化为为有有限限项项，即即多多项项式式，则则它它们们在在x=1处取取有有限限数数值，那那么么发散散问题就根本不存在了。就根本不存在了。考察考察 pl(x)：如如果果l是是某某个个偶偶数数，l=2n(n是是正正整整数数)，则 pl(x)只只到到x2n项项为为止止，从从x2n
11、+2项项起起（上上式式彩彩色色项项），系系数数都都含含有有因因子子(2n-l)从从而而都都为为0。这这样样pl(x)不不再再是是无无穷穷级级数数，而而是是2n次次多多项项式式，并并且且只只含含偶偶次次幂幂。至至于于pl(x)因因其其系数不含系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在，仍是无穷级数，且在x=1处发散。散。 考考察察ql(x)，如如果果l是是某某个个奇奇数数，l=2n+1(n是是非非负整整数数)，则 ql(x)只只到到x2n+1项项为为止止，从从x2n+3项项起起，系系数数都都含含有有因因子子(2n+1-l)从从而而都都为为0。这这样样ql(x) 是是2n+1次次多多项项式式，并并且
12、且只只含含奇奇次次幂幂。此此时时pl(x)因因其其系系数数不不含含(2n+1-l)，仍是无穷级数，且在，仍是无穷级数，且在x=1处发散。散。 其其实，考考察察级数数解解的的系系数数递推推公公式式便便知知，只只要要l是是整整数数，如如l=n(正正负均均可可)，k从从某某个个数数k=n(n为正正)或或k=-n-1(n为负)起起，级数数解解的的偶偶数数或或奇奇数数系系数数全全为0：ak+2=0、 ak+4=0，级级数数的的偶偶数数或或奇奇数数部部分分变变成成多多项式项式。 一一般般情情况况下下，我我们均均取取l是是非非负整整数数，且且在在一一般般解解y(x)中中取取常常数数a0=0(a10)或或a1
13、=0(a00)，使使y(x)成成为一一个个只只含含偶偶次次幂或或奇奇次次幂的的l次次多多项式式，作作为特特解解，称作称作l阶勒勒让德多德多项式，式，记Pl(x)。 可可以以看看出出 l 次次勒勒让德德多多项式式Pl(x)的的系系数数繁繁琐，为了了使使其其有有比比较简单的的形形式式，且且使使它它在在x=1处的的值恒恒为1(归一化一化)，选最高次最高次幂的系数的系数为：勒勒让德多德多项式式Pl(x)的系数的系数递推关系改写推关系改写为：这样我我们可可从从最最高高次次幂系系数数al依依次次获得得其其它它低低次次幂系数：系数：.依次做下去，利用数学依次做下去，利用数学归纳法，可得：法，可得：其中：其中
14、：因此所求得的勒因此所求得的勒让德方程的多德方程的多项式解式解为：该 l 阶勒勒让德多德多项式式Pl(x)也称也称为第一第一类勒勒让德函数德函数。前几个勒前几个勒让德多德多项式：式：当当l是是非非负整整数数时，勒勒让德德方方程程的的一一般般解解中中的的一一个个解解为勒勒让德德函函数数，而而另另外外一一个个线性性独独立立的的解解则为无无穷级数数，称称为第第二二类勒勒让德德函函数数，记为Ql(x)，其其表表达式达式为（朗斯基行列式朗斯基行列式导出出，不作要求）：，不作要求）：Ql(x)和和Pl(x)的的递推推公公式式具具有有相相同同的的形形式式，所所以以勒勒让德方程德方程的通解的通解为总结：（1）
15、当）当l不是整数不是整数时，勒，勒让德方程在区德方程在区间-1,1上上 有无解解；有无解解；（2）当）当l是整数是整数时，勒，勒让德方程的通解德方程的通解为Pl(x)称称为第第一一类勒勒让德德函函数数，Ql(x)称称为第第二二类勒勒让德函数；德函数；（3）当）当l是整数是整数时，在自然，在自然边界条件下界条件下(|cos|1)， 要求解有界，因此必要求解有界，因此必须取取C2=0。四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的 求解）求解） 对于复于复变函数函数(z)的的线性二性二阶常微分方程：常微分方程：如果如果选定的定的z0是是该方程的奇点，方程的
16、奇点，则一般来一般来说，解也，解也以以z0为奇点，在奇点，在z0邻域上的展开式不是泰勒域上的展开式不是泰勒级数而数而含有含有负幂项，即展开式是，即展开式是罗朗朗级数，且有如下定数，且有如下定理：理： 定定理理 11.1.3 若若z0为方方程程(11.1.1)的的正正则奇奇点点，则存存在在两两个个线性性无无关关(独独立立)的的解解，它它们在在这奇奇点点的的去去心心邻域上可表示成下列形式：域上可表示成下列形式：和和或：或：常常系系数数s1、s2、ak、bk和和A通通过将将解解代代入入方方程程合合并并(z-z0)的同的同幂项使其系数使其系数为0得出，得出，这里不作展开。里不作展开。（1）贝塞塞尔尔方
17、程的求解方程的求解对于上述对于上述阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程所所以以x=0为为方方程程的的正正则则奇奇点点，根根据据上上述述定定理理，方方程的一个特解可展开为如下形式的级数：程的一个特解可展开为如下形式的级数：此时此时将此将此3式代入式代入阶贝塞尔方程，可得：阶贝塞尔方程，可得：合并合并x的同幂次：的同幂次：要要使使此此方方程程对对任任意意的的x都都成成立立，则则必必须须使使x的的各各幂幂次前的系数为次前的系数为0，即：，即：取取a00，由第，由第1式可解得：式可解得：代入第代入第2式，可解得：式，可解得：因为因为由由3式，可解得级数解的系数递推公式：式，可解得级数解的系数递推公式：因为因为a1
18、=0，从该递推公式可知：，从该递推公式可知：取取c= ( 0)，可得偶数幂次系数：，可得偶数幂次系数：因此我们得到贝塞尔方程的一个特解：因此我们得到贝塞尔方程的一个特解：通常我们取通常我们取并记并记y1(x)为为J(x)，称之为，称之为阶贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即若取若取c=-，及，及可可得得方方程程的的另另一一个个特特解解，并并记为J-(x)，称称之之为为-阶贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 若若n(整数整数)，当，当x0时J(x)和和J-(x)统称为统称为阶第一第一类贝塞尔函数。贝塞尔函数。常数常数J(x)和和J-(x)线性无关，因此贝塞尔方程的通解为：线性无关，因此贝塞尔方程的通解为： 若
19、若=n(整数整数)(-n+m+1)函函数数的的定定义要要求求(-n+m+1)0，即即m n-1，令，令k=m-n，可得，可得即即正正、负负n阶阶的的贝贝塞塞尔尔函函数数线线性性相相关关，因因此此它它们们的的线线性性组组合合不不能能构构成成贝贝塞塞尔尔方方程程的的通通解解，此此时时需需要根据要根据Jn(x)求出另一个与它线性无关的特解：求出另一个与它线性无关的特解：通常这一特解定义为通常这一特解定义为称为称为第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数或或诺伊曼函数诺伊曼函数。（2）贝塞塞尔尔方程解的方程解的敛散性散性对于贝塞尔函数对于贝塞尔函数J(x)，其收敛半径为：，其收敛半径为：即即级数解数解J(x)
20、的收敛范围为的收敛范围为0|x|。对于贝塞尔函数对于贝塞尔函数J-(x)，其收敛半径为：，其收敛半径为：但但此此级数数解解J(x)存存在在负负幂幂项项，所所以以其其收收敛敛范范围围为为0|x|。（3）贝塞塞尔尔函数函数举例例最最低低阶的的二二个个第第一一类贝塞塞尔尔函函数数J0(x)和和J1(x)在在实实际际应应用用中中经经常常遇遇到到，如如平平行行光光通通过过凸凸透透镜镜在在交交点点处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到11.1.2 11.1.2 施图姆施图姆刘维尔本征值刘维尔本征值 在运用
21、分离变量法求解偏微分方程时，在边在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才有非零解，这些未知参数所取的特定值称为有非零解，这些未知参数所取的特定值称为本征本征值值，相应的非零解则称为，相应的非零解则称为本征函数本征函数。求本征值和。求本征值和本征函数的问题称为本征函数的问题称为本征值问题本征值问题。一些偏微分方。一些偏微分方程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的解决。因此从数学理论上讨论
22、本征值问题具有重解决。因此从数学理论上讨论本征值问题具有重要的意义。要的意义。 前前面面对对数数理理方方程程分分离离变变量量后后所所得得到到的的一一些些带带有参量的常微分方程的一般形式为：有参量的常微分方程的一般形式为：一、施图姆一、施图姆刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题做变换做变换则原方程变为则原方程变为因因此此，任任何何一一个个形形如如上上述述一一般般形形式式的的含含参参数数的的二二阶阶常常微微分分方方程程均均可可化化为为此此形形式式，该该形形式式的的方方程程称称为为施图姆施图姆刘维尔型方程刘维尔型方程，简称为，简称为S-L方程方程。 施施图图姆姆刘刘维维尔尔型型方方程程附附以以奇奇次次的
23、的第第一一类类、第第二二类类、第第三三类类或或自自然然边边界界条条件件，就就构构成成施施图图姆姆刘维尔本征值问题。刘维尔本征值问题。例例1： 或或自然边界条件：自然边界条件：有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：有界有界有界有界此两方程为此两方程为勒让德方程本征值问题勒让德方程本征值问题。例例2：或或自然边界条件：自然边界条件：有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：有界有界有界有界此两方程为此两方程为连带勒让德方程本征值问题连带勒让德方程本征值问题。例例3：自然边界条件：自然边界条件：有界有界代入代入S-L方程可得：方程可得：有界有界此方程为贝塞尔此方程为贝塞尔方程本征值问题方程本征值
24、问题。注：方程的注：方程的x为柱坐标系或极坐标系中的极坐标为柱坐标系或极坐标系中的极坐标例例4：C1、C2为常数为常数代入代入S-L方程可得：方程可得：一一维维自自由由弦弦振振动动问问题题分分离离变变量量后后所所得得的的方方程程，其本征值和本征函数分别为：其本征值和本征函数分别为：例例5：代入代入S-L方程可得：方程可得：这是埃尔米特方程这是埃尔米特方程的增长不快于的增长不快于的的本本征征值值问问题题。（此此问问题题来来自自量量子子力力学学中中的的谐谐振振子问题）子问题）例例6：代入代入S-L方程可得：方程可得：这是拉盖尔方程这是拉盖尔方程的的本本征征值值问问题题。（此此问问题题来来自自量量子
25、子力力学学中中的的氢氢原原子问题）子问题）的增长不快于的增长不快于，y(0)有限有限注注：在在以以上上各各例例中中，k(x)、q(x)和和(x)在在开开区区间(a, b)上都取正直。上都取正直。（2）贝贝塞塞尔尔方方程程的的k(x)=x，k(0)=0，在在端端点点x=0确确实存在着自然边界条件；实存在着自然边界条件； 从从以以上上各各例例还还可可看看出出，如如端端点点a和和b是是k(x)的的一一级级零零点点，在在那那个个端端点点就就存存在在着着自自然然的的边边界界条条件件，例如：例如：（1） 勒勒让让德德方方程程的的k (x)=1-x2，k(1)=1-(1)2=0，在端点，在端点x=1确实存在
26、自然边界条件；确实存在自然边界条件；（3）再如拉盖尔方程的）再如拉盖尔方程的k(x)=xe-x，k(0)在端点在端点x=0确实有自然边界条件。确实有自然边界条件。二、施图姆二、施图姆刘维尔本征值问题的共同性质刘维尔本征值问题的共同性质（1） 如果如果k(x)、 k(x)、 q(x)连续或者最多以连续或者最多以x=a 和和x=b为一一阶极点，极点，则存在无限多个本征存在无限多个本征值条件：条件：S-L本征值问题中的本征值问题中的k(x)、q(x)和和(x)在在 开区开区间(a, b)上非上非负（0）。）。相应的有无限多个本征函数相应的有无限多个本征函数（2） 所有本征值为实数且非负，即所有本征值
27、为实数且非负，即证明：证明： 本征值本征值n和本征函数和本征函数yn(x)满足满足用用yn(x)遍乘各项，并逐项从遍乘各项，并逐项从a到到b积分可得积分可得如如果果在在端端点点x=a是是第第一一类类奇奇次次条条件件yn(a)=0、第第二二类奇次条件类奇次条件yn(a)=0或自然边界条件或自然边界条件k(a)=0，则，则如如果果在在端端点点x=a是是第第三三类类奇奇次次条条件件(yn-hyn)x=a=0，则，则同理，可得无论在哪种边界条件下，都有同理，可得无论在哪种边界条件下，都有因此，有因此，有即即大大家家自自己己证证明明n= *n（3） 相应于不同本征值相应于不同本征值m和和n的本征函数的本
28、征函数ym和和yn 在区间在区间a,b上带权重上带权重(x)正交，即正交，即证明：证明： 本征函数本征函数ym和和yn(x)满足满足yn(x) 第一式第一式 ym(x) 第二式，可得第二式，可得 逐项在区间逐项在区间a,b积分，可得积分，可得如如果果在在端端点点x=b是是第第一一类类奇奇次次条条件件y (b)=0、第第二二类奇次条件类奇次条件y(b)=0或自然边界条件或自然边界条件k(b)=0，则，则如如果果在在端端点点x=b是是第第三三类类奇奇次次条条件件(y+hy)x=b=0，则，则同理，可得无论在哪种边界条件下，都有同理，可得无论在哪种边界条件下，都有因此，有因此，有又又mn，所以，所以
29、得证。得证。如果如果(x)=1，则是我们以前学过的函数正交关系，则是我们以前学过的函数正交关系（4） 本征函数族本征函数族y1(x), y2(x), y3(x), 是是完备的完备的。 这这是是说说，如如果果函函数数f(x)具具有有连连续续一一阶阶导导数数和和分分段段连连续续二二阶阶导导数数，且且满满足足本本征征函函数数族族所所满满足足的的边边界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数：界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数：证明超出我们的范围，略。证明超出我们的范围，略。三、广义傅里叶级数三、广义傅里叶级数绝对一致收一致收敛的的级数数称称为广广义傅傅里里叶叶级数数，系系数数fn(n=1,2
30、,)叫叫作作f(x)的的广广义傅傅里里叶叶系系数数，函函数数族族yn(x)叫叫作作这个个级数数展展开开的的基基。 用用ym(x)(x)乘乘上上述述级数数展展开开式式并并逐逐项积分分，可可得：得：记：由由于于本本征征函函数数带权重重的的正正交交性性质，上上式式右右端端除除了了n=m项之外全之外全为0，因此有：，因此有：上式上式积分的平方根分的平方根Nm项叫作本征函数叫作本征函数ym(x)的模。的模。从而从而f(x)的广的广义傅里叶系数傅里叶系数 fm为:如如果果本本征征函函数数的的模模Nm=1(m=1,2,)，就就称称为归一一化化的的本本征征函函数数。对于于正正交交归一一化化的的本本征征函函数数
31、族族，上上述广述广义傅里叶系数傅里叶系数计算公式算公式变为：对于于非非归一一化化的的本本征征函函数数yn(x)，只只要要改改用用yn(x)/Nn，就，就实现了本征函数的了本征函数的归一化。一化。为了方便，我了方便，我们常将本征函数的正交关系写常将本征函数的正交关系写为:其中：其中：称称为克克罗内内克克函函数数，对于于正正交交归一一化化的的本本征征函函数数族，上式族，上式简化化为注：注：为了应用为了应用广义傅里叶系数计算公式广义傅里叶系数计算公式，必须先判，必须先判 定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能 计算本征函数族的模计算本征函数族的模。四、复数的
32、本征函数族四、复数的本征函数族 以以上上的的讨讨论论假假定定了了本本征征函函数数是是实实变变数数的的实实值值函函数数。但但本本征征函函数数也也可可以以是是实实变变数数的的复复值值函函数数，例例如如本征值方程本征值方程自然周期条件自然周期条件的本征函数族通常是的本征函数族通常是实函数族：函数族：这些些实函数族也完全可以由如下复函数族代替函数族也完全可以由如下复函数族代替对于于复复数数本本征征函函数数族族，为了了保保证模模是是实数数，通通常常将将模定模定义修改修改为其其中中ym(x)*为ym(x)的的复复数数共共轭，正正交交关关系系也也相相应地地变为两式两式统一起来，即一起来，即而广而广义傅里叶系
33、数的傅里叶系数的计算公式算公式为注：实际应用中，除非特殊情况，我们一般不知道注：实际应用中，除非特殊情况，我们一般不知道 本征函数族是复数还是实数，因此处理时常都本征函数族是复数还是实数，因此处理时常都 按它们是复数处理，如果它们的虚部为按它们是复数处理，如果它们的虚部为0，则它，则它 们就是实的。们就是实的。五、希尔伯特空间五、希尔伯特空间 为为了了帮帮助助理理解解，我我们们以以无无限限维维的的希希尔尔伯伯特特空空间间中的矢量做类比。中的矢量做类比。广广义傅里叶傅里叶级数数希希尔尔伯特空伯特空间函数函数 f(x)本征函数本征函数 yn(x)坐坐标轴矢量矢量i1, i2, i3, “矢量矢量”
34、 “基基底底矢矢量量”即即in并并不不一一定定是是“单位位矢矢量量”(它它们的的“长度度”即即模模不不一一定定为1)，因因而而矢矢量量 f 的的“分分量量”计算算公公式式中出中出现inin。11.1.4 11.1.4 例题例题例例13.3.1 将勒让德方程化成施刘型方程将勒让德方程化成施刘型方程解解：由施刘型方程的标准形式由施刘型方程的标准形式令令即可将勒让德方程转化为施刘型方程即可将勒让德方程转化为施刘型方程例例13.3.2 将将连带连带勒让德方程化成施刘型方程勒让德方程化成施刘型方程解解： 令令即可将即可将连带连带勒让德方程转化为施刘型方程勒让德方程转化为施刘型方程式中式中m为常数。为常数
35、。例例13.3.3 将将贝塞尔贝塞尔方程化成施刘型方程方程化成施刘型方程解解：令令即可将即可将贝塞尔贝塞尔方程转化为施刘型方程方程转化为施刘型方程例例13.3.4 将将球贝塞尔球贝塞尔方程化成施刘型方程方程化成施刘型方程解解：令令即可将即可将球贝塞尔球贝塞尔方程转化为施刘型方程方程转化为施刘型方程例例13.3.5 求下列边值问题的本征值和本征函数求下列边值问题的本征值和本征函数解解：原方程为欧拉型方程，其通解形式为原方程为欧拉型方程，其通解形式为利用恒等式利用恒等式边界条件边界条件方程的通解也可写为方程的通解也可写为A、B为任意常数为任意常数常数常数B不能为不能为0，否则方程的解为零，因此，否则方程的解为零，因此所以所求问题的本征值为：所以所求问题的本征值为：对应的本征函数为：对应的本征函数为：本征函数族的正交性和模：本征函数族的正交性和模：11.1.4 11.1.4 作业作业P245:11.1 (1)、11.2 (2)
