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1、.BOX-JENKINSBOX-JENKINS 预测法预测法1 1 适用于适用于平稳时序平稳时序的三种基本模型的三种基本模型1 1AR(p)模型模型Auto regression ModelAuto regression Model自回归模型自回归模型p阶自回归模型：式中,随机误差项； ,为时间序列第 时刻的观察值,即为因变量或称被解释变量；为时序的滞后序列,这里作为自变量或称为解释变量； 是,为待估的自回归参数。2 2MA(q)模型模型Moving Average ModelMoving Average Model移动平均模型移动平均模型q阶移动平均模型：式中,为时间序列的平均数,但当yt序
2、列在 0 上下变动时,显然=0,可删除此项；et,et1,et2,etq为模型在第t期,第t 1期,第t q期的误差；1,2,q为待估的移动平均参数。3 3ARMA(p,q)模型自回归移动平均模型模型自回归移动平均模型Auto regression Moving AverageAuto regression Moving AverageModelModel模型的形式为：显然,ARMA(p,q)模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当q=0,时,退化为纯自回归模型AR(p)；当p=0 时,退化为移动平均模型MA(q)。2 2 改进的改进的 ARMAARMA模型模型1 1ARIMA(p,d,q
3、)模型模型这里的d是对原时序进行逐期差分的阶数,差分的目的是为了让某些非平稳具有一定趋势的序列变换为平稳的,通常来说d的取值一般为 0,1,2。对于具有趋势性非平稳时序,不能直接建立ARMA模型,只能对经过平稳化处理,而后对新的平稳时序建立ARMA(p,q)模型。这里的平文化处理可以是差分处理,也可以是对数变换,也可以是两者相结合,先对数变换再进行差分处理。2 2ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型模型对于具有季节性的非平稳时序如冰箱的销售量,羽绒服的销售量,也同样需P,Q分要进行季节差分,从而得到平稳时序。 这里的D即为进行季节差分的阶数；别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S
4、为季节周期的长度,如时序为月度数据,则S=12,时序为季度数据,则S=4。在 SPSS19.0 中的操作如下1 / 6.必须要先打开一个数据源,才可以定义日期数据定义日期选择日期的起始点,此时变量栏中会出现日期变量。3 3ARIMAX模型模型在ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中,再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X。3 3 模型的识别模型的识别模型的识别的本质是确定ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s中的p,d,q以及P,D,Q与S的取值。借助于自相关函数Auto correlation Function, ACF以及自相关分析图和偏自相关函数Partial Correla
5、tion Function, PACF 以及偏自相关分析图来识别时序特性,并进一步确定p、q、P、Q。3.13.1 自相关函数自相关函数自相关是时间序列Y1,Y2,Yt诸项之间的简单相关。 它的含义与相关分析中变量之间的简单相关一样,只不过它所涉及的是同一序列自身,因而称作自相关。自相关程度的大小,用自相关系数rk度量。式中,n为样本数据的个数；k为滞后期；y为样本数据平均值。自相关系数rk,可看作自变量k的函数,即自相关函数。 它表示时间序列滞后k个时间段的两项之间相关的程度。如r1表示每相邻两项间的相关程度；r2表示每隔一项的两个观察值得相关程度。随机序列自相关系数的抽样分布,近似于以 0
6、 为均值,1n为标准差的正态分n。 如果一个时间布。 自相关系数的 95%置信区间为(1.96,1.96),此处1序列的自相关系数全部落入这个区间,则认为该序列是纯随机序列。将时间序列的自相关系数绘制成图,并标出一定的置信区间通常采用2倍标准差作为置信区间的两个端点,被称作自相关分析图。SPSS19.0 中的操作1. 输入变量数据；定义时间序列日期数据定义日期2. 分析预测自相关如下；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中2 / 6.3. 勾选自相关、偏自相关,转换暂时不选如果为非平稳序列,可勾选差分/自然对数转换,其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定,通常为 0,1,2未进行差分处理 ,由图
7、可知几乎一半的自相关系数未进入置信区间,说明该序列非平稳,此时需要进行差分处理,即在重复第 2步时,差分选项选择 1 或 2。3.23.2 偏自相关函数偏自相关函数偏自相关函数是时间序列Yt,在给定了Yt1,Yt2,自相关系数kk计算公式如下。偏自相关系数kk,可看作自变量k的函数,即偏自相关函数,1kk1。它用以测量当剔除其他滞后期 t 1,2,3,k 1的干扰的条件下,Yt与Ytk之间相关的Ytk1的条件下,Yt与Ytk之间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应,因而被称为偏自相关。偏程度。与自相关系数类似,同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。3.33.3 ARIMAARI
8、MA模型的参数确定模型的参数确定Step1Step1：判断时序是否平稳,若不平稳,经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳,则可确定d和D。对于社会经济现状,一般d和D的数值取 0,1 或 2。若自相关系数 ACF 随着滞后期 一般设为 16 增大,而迅速趋于 0,则认为该时序是平稳的。若自相关系数ACF随着滞后期增大,自相关系数ACF不趋于 0,则认为该时序是非平稳的。 更具体地说,若随着时滞k的增大,自相关系数 ACF 缓慢减小,说明随着序列两项间隔的提前,相关程度变弱,则序列具有趋势性；若对于季度数据或月3 / 6.度数据,当滞后期为 4或 12,824 等时,自相关系数 ACF 显著地部位
9、 0,即在随机区间之外,则意味着该时序具有季节性。如果时序具有趋势性,那么需要进行逐期差分,由逐期差分的次数决定d的取值；如果序列具有季节性,那么要进行季节差分,由季节差分次数决定D的值。左侧图形为未经过差分处理的某城市农村居民收入的 ACF 图,可以看出自相关系数并未迅速趋于 0,说明该时序是非平稳的。右侧为该序列的线性图,也正说明了该时序是有明显的上升趋势的,需要进行差分处理。Step2Step2：经差分平稳后,确定时序所适合的模型,其依据如下表所示。ARMA(p,q)序列特征表模型模型拖尾自相关函数AR(p)MA(q)ARMA(p,q)拖尾截尾指数衰减和或正弦衰减拖尾拖尾指数衰减和或正弦
10、衰减指数衰减和或正弦衰减偏自相关函数截尾阶指数衰减和或正弦衰减关于关于p,q的取值的取值当不包括时滞k 12或 4,24或 8,p取落入随机区间之外的偏相关系数PACF的个数或与 0 有显著差异的 PACF的个数,q取落入随机区间之外的自相关系数 ACF 的个数或与 0 有显著差异的 ACF 的个数。当仅观察时滞k 12或 4,24或 8,p取显著不为 0 的 PACF的个数,q取显著不为 0 的季节自相关数目。4 4 案例分析案例分析4.14.1 数据准备数据准备某城市农村居民收入数据1980-2015 年单位：元198019811982198319841985261.00274.00291
11、.00312.00344.00362.00199219931994199519961997792.18938.451312.241655.001989.572218.892004200520062007200820094027.034465.994845.355623.246627.266627.004 / 6.198619871988198919901991382.00421.00504.00557.00659.00685.711998199920002001200220032199.382840.102941.802981.783048.553208.8420102011201220132
12、01420157182.539104.008864.8510013.0311547.0012736.00对 36 年农村居民收入建立 B-J 模型,并预测 2016 年的收入情况。4.24.2 时序分析时序分析Step1：将数据输入到 SPSS19.0 中,并定义变量的精度为小数点后两位；Step2：定义日期。数据定义日期输入1980因为本次数据没有季节性,所以只需要选择年份为 1980 年,如下图。Step3：绘制其时序图,观察其是否平稳。分析预测序列图此时可以看出该曲线有明显上升趋势,为非平稳序列,需要进行差分平稳化。同时,也可以绘制自相关图形 操作： 分析预测自相关来观察其趋势,如下图。
13、由上面自相关系数图可知,随着延迟数目的增加随着延迟数目的增加, ,系数并没有显著的趋近于系数并没有显著的趋近于0, 0,且许多数值较大的系数落在了置信区间之外且许多数值较大的系数落在了置信区间之外, ,说明该时间序列并非平稳非平稳的。4.34.3 差分平稳化差分平稳化对时间序列进行差分平稳,并绘制相关系数图和偏自相关系数图如下。操作为：分析预测自相关勾选：1 阶差分从右侧图形可以看出,在滞后期 k=3 之后,自相关函数衰减,并且均在置信区间范围之内,因此可以认为该序列平稳了。再观察变换后的序列的偏自相关函数图,如下图。其中33=0.437较大,其他并没有明显趋于0,可以认为在K=3后拖尾,而自
14、相关函数可以看做是 K=3 后截尾,也可以看做为拖尾。自拖,偏拖ARIMA模型,自截,偏拖MA模型,因此,经过一阶差分变换后的农村居民收入所选定的模型为ARIMA(3,1,3)或ARIMA(0,1,3)。分别对两个模型进行拟合和预测,比较其精度。4.44.4 建立建立 ARIMAARIMA 模型模型4.4.14.4.1 ARIMAARIMA3,1,33,1,3 模型模型Step1Step1：菜单栏：分析预测创建模型：菜单栏：分析预测创建模型在变量栏中,将农村居民收入移入因变量框中； 方法选择 ARIMA 模型,点击右侧条件,输入自回归,差分和移动平均数的值。5 / 6.Step2Step2：确
15、定输出的统计量和相关信息。：确定输出的统计量和相关信息。其中拟合值和置信区间可备选,根据需要选择。如果需要预测下一年的数据值,必须要在变量栏中的时间变量下再加入一个年份值,否则不会显示预测值,如下图。模型结果分析模型结果分析可以看到模型的 R 平方为 0.990,平稳的 R 方为 0.493,说明模型的拟合效果较好,预测值为 13387.9。将实际值和预测值画在同一个时序图中如下。4.4.24.4.2 ARIMAARIMA0,1,30,1,3 模型模型步骤和上面基本一致,只是在创建模型的时候,把条件中的自回归 p 值改为 0,运算结果如下。上述统计量表明,该模型的 R 平方值为 0.988,平稳的 R 方为 0.365,sig 值为0.421,与ARIMA(3,1,3)相比,三个统计量都小于ARIMA(3,1,3)模型,因此可以认为ARIMA(3,1,3)模型的结果更为可信和准确。则 2016 年农村收入为 13387.9。6 / 6
