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1、专题六透析解析几何几类典型问题的专题六透析解析几何几类典型问题的解法解法解析几何是高中数学最主要的知识板块之一解析几何是高中数学最主要的知识板块之一, ,在高考中占有重要位置在高考中占有重要位置. .解析几何试题类型众多、解法灵活解析几何试题类型众多、解法灵活, ,但其中有很多类问题的解法具有但其中有很多类问题的解法具有一般性一般性, ,下面我们以解析几何试题的类型为线索下面我们以解析几何试题的类型为线索, ,总结其几类问题的解总结其几类问题的解题方法题方法. .方法一方法一中点问题点差法中点问题点差法思路点拨思路点拨: :思路思路1,1,点差法点差法, ,根据根据A,BA,B在椭圆上在椭圆上
2、, ,过点过点F,F,中点为中点为(1,-1),(1,-1),设出点设出点A,BA,B的坐标后的坐标后, ,通过上述关系得出方程组通过上述关系得出方程组, ,消掉消掉A,BA,B的坐标的坐标, ,得出得出a,ba,b的方程的方程组求出组求出a,ba,b; ;思路思路2.2.设出直线方程设出直线方程, ,消元后利用根与系数的关系得出消元后利用根与系数的关系得出a,ba,b的的方程解之方程解之. .方法总结方法总结 直线直线y=kx+my=kx+m与圆锥曲线相交于与圆锥曲线相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点两点, ,其中其中点点M(xM(x0
3、0,y,y0 0),),这类问题有两个基本的解决方法这类问题有两个基本的解决方法.(1).(1)“点差法点差法”, ,即即A,BA,B在在圆锥曲线上圆锥曲线上, ,坐标适合圆锥曲线方程坐标适合圆锥曲线方程, ,得两个方程作差得两个方程作差, ,通过分解因式通过分解因式, ,然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程然后使用中点坐标公式、两点连线的斜率公式建立求解目标方程, ,解解方程解决问题方程解决问题.(2).(2)常规方法常规方法, ,即把直线方程与圆锥曲线方程联立消元即把直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得出一元二次方程后后得出一元二次方程后, ,利用根与系数的关系建立求解目
4、标的方程后利用根与系数的关系建立求解目标的方程后解决问题解决问题. .方法二方法二分点问题方程分点问题方程( (组组) )法法方法总结方法总结 “直线与圆锥曲线相交的弦分点直线与圆锥曲线相交的弦分点”, ,最基本的解法是本解最基本的解法是本解析中解法析中解法1 1为利用根与系数的关系得出点的坐标的两个方程、分点关为利用根与系数的关系得出点的坐标的两个方程、分点关系得出点的坐标的一个方程系得出点的坐标的一个方程( (横坐标或者纵坐标横坐标或者纵坐标),),从三个方程中消去从三个方程中消去点的坐标点的坐标, ,就得出了求解目标的方程就得出了求解目标的方程, ,问题得解问题得解. .解法解法2 2也
5、是解决该类问也是解决该类问题的基本方法题的基本方法, ,相对解法相对解法1,1,运算方面复杂一些运算方面复杂一些. .解法解法3 3是对抛物线焦点是对抛物线焦点弦的一个专门解法弦的一个专门解法, ,其特点是应用抛物线的定义把问题转化为解一个其特点是应用抛物线的定义把问题转化为解一个直角三角形直角三角形. .该类试题也经常以解答题的形式出现该类试题也经常以解答题的形式出现. .方法三方法三对称问题几何意义法对称问题几何意义法思路点拨思路点拨: :(1)P,F(1)P,F1 1两点关于其中垂线对称两点关于其中垂线对称, ,利用点关于直线对称满足的关系利用点关于直线对称满足的关系, ,然然后分析其中
6、的不等关系后分析其中的不等关系, ,得出离心率的取值范围得出离心率的取值范围; ;答案答案: :(1)D (1)D 思路点拨思路点拨: :(2)(2)根据几何意义根据几何意义, ,把求解目标转化为两点间的距离与连接两点间的把求解目标转化为两点间的距离与连接两点间的线段长度最小线段长度最小. .方法总结方法总结 (1)(1)两点关于直线对称满足两个条件两点关于直线对称满足两个条件: :一是两点连线和对称一是两点连线和对称轴垂直轴垂直, ,二是两点的中点在对称轴上二是两点的中点在对称轴上. .根据这两个条件就可以求解其中根据这两个条件就可以求解其中的一些未知量的一些未知量, ,到达解题的目的到达解
7、题的目的.(2).(2)利用关于直线对称的两点到对称利用关于直线对称的两点到对称轴上同一个点的距离相等轴上同一个点的距离相等, ,可以把折线之和的最小值可以把折线之和的最小值, ,转化为直线上两转化为直线上两点间距离的最小值点间距离的最小值. .方法四方法四范围问题函数范围问题函数( (不等式不等式) )法法思路点拨思路点拨: :(1)(1)求出求出a,ca,c满足的不等关系满足的不等关系; ;答案答案: :(1)B (1)B 思路点拨思路点拨: :(2)(2)建立建立关于点关于点P P的坐标的函数关系式的坐标的函数关系式. .答案答案: :(2)(-,-1(2)(-,-1方法总结方法总结 (
8、1)(1)范围问题最基本的解法是函数方法与不等式方法范围问题最基本的解法是函数方法与不等式方法.(2).(2)解析几何中最常见的是求椭圆、双曲线的离心率的范围解析几何中最常见的是求椭圆、双曲线的离心率的范围, ,基本方法为基本方法为: :一是直接求出一是直接求出a,ca,c满足的不等式满足的不等式; ;二是建立离心率满足的不等式二是建立离心率满足的不等式, ,求出求出e e的范围的范围. .方法五方法五最值问题不等式法最值问题不等式法思路点拨思路点拨: :建立建立OMNOMN面积关于面积关于k,mk,m的函数关系式的函数关系式. .方法总结方法总结 解析几何最值解析几何最值( (范围范围) )
9、问题问题, ,有时需要使用双参数表达直线有时需要使用双参数表达直线方程方程, ,解决方法解决方法: :一是根据直线满足的条件一是根据直线满足的条件, ,建立双参数之间的关系建立双参数之间的关系, ,把把问题化为单参数问题问题化为单参数问题; ;二是二是, ,直接使用双参数表达问题直接使用双参数表达问题, ,结合求解目标结合求解目标确定解题方案确定解题方案. . 方法六方法六定点问题参数法定点问题参数法思路点拨思路点拨: :思路思路1.1.以直线以直线AMAM的斜率为参数表达直线的斜率为参数表达直线MNMN的方程的方程; ;思路思路2.2.以双以双参数表达直线参数表达直线MNMN的方程的方程,
10、,求解双参数满足的关系求解双参数满足的关系. .方法七方法七定值问题变量无关法定值问题变量无关法方法总结方法总结 定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关, ,这些变这些变化的因素可能是直线的斜率、截距化的因素可能是直线的斜率、截距, ,也可能是动点的坐标等也可能是动点的坐标等, ,这类问题这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标的一般解法是使用变化的量表达求证目标, ,通过运算求证目标的取值通过运算求证目标的取值与变化的量无关与变化的量无关. .方法八方法八切线问题消元法切线问题消元法思路点拨思路点拨: :(1)(1)使用双参数设出切线方程使用
11、双参数设出切线方程, ,与求出的椭圆方程联立消元后与求出的椭圆方程联立消元后, ,根据得出的一元二次方程由判别式等于零根据得出的一元二次方程由判别式等于零, ,确定两参数间的关系确定两参数间的关系. .(2)(2)已知点已知点P(-4,yP(-4,y0 0)(y)(y0 03),3),圆圆C C1 1:(x-5):(x-5)2 2+y+y2 2=9.=9.抛物线抛物线C C2 2:y:y2 2=20x.=20x.过点过点P P作圆作圆C C1 1的两条切线的两条切线, ,分别与抛物线分别与抛物线C C2 2相交于相交于A,BA,B和和C,D,C,D,求证求证:A,B,C,D:A,B,C,D的的
12、纵坐标之积为定值纵坐标之积为定值. .思路点拨思路点拨: :(2)(2)两条切线的斜率分别为两条切线的斜率分别为k k1 1,k,k2 2, ,则则k k1 1,k,k2 2满足同一个方程满足同一个方程, ,把把直线方程代入曲线直线方程代入曲线C C1 1方程方程, ,可用可用y y0 0,k,k1 1,k,k2 2表示四点的纵坐标之积表示四点的纵坐标之积. .方法总结方法总结 (1)(1)一般二次曲线的切线一般二次曲线的切线, ,可以根据直线与曲线方程联立消可以根据直线与曲线方程联立消元后元后, ,得到的一元二次方程的判别式等于零得到的一元二次方程的判别式等于零, ,确定各个量之间的关系确定
13、各个量之间的关系( (如直线的斜率与截距的关系如直线的斜率与截距的关系).(2).(2)圆的切线可以使用圆心到直线的距圆的切线可以使用圆心到直线的距离等于圆的半径确定各个量之间的关系离等于圆的半径确定各个量之间的关系. .方法九方法九轨迹问题参数轨迹问题参数( (直接、定义、代入直接、定义、代入) )法法思路点拨思路点拨: :确定确定R(x,yR(x,y) )的坐标满足的方程即得的坐标满足的方程即得. .方法总结方法总结 (1)(1)求动点的轨迹方程的基本方法是直接法、待定系数法求动点的轨迹方程的基本方法是直接法、待定系数法( (定义法定义法) )、代入法、参数法、代入法、参数法( (本例即为
14、参数法本例即为参数法) )等等, ,不管使用什么方法不管使用什么方法都要注意求出的轨迹的范围都要注意求出的轨迹的范围. .(2)(2)当直线过点当直线过点(a,0)(a,0)且直线的斜率不等于零时且直线的斜率不等于零时, ,可以设直线方程为可以设直线方程为x=my+a,x=my+a,既可以使计算简单既可以使计算简单, ,也可以避免直线斜率不存在的讨论也可以避免直线斜率不存在的讨论. .方法十方法十探索性问题推算法探索性问题推算法思路点拨思路点拨: :在假设存在的情况下在假设存在的情况下, ,求出求出k k值值, ,看看k k值是否符合要求即可值是否符合要求即可. .方法总结方法总结 解析几何中探索性问题的解法在假设其存在的情况下进行解析几何中探索性问题的解法在假设其存在的情况下进行计算和推理计算和推理, ,根据得出的结果是否合理根据得出的结果是否合理, ,确定其存在与否确定其存在与否. .
