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1、第第7讲讲 牛吃草问题牛吃草问题 牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度 解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。了。草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这
2、类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”)【分析与解分析与解】 27头牛吃6周相当于276=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草； 23头牛吃9周相当于239=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草； 于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草 所以453=15头牛1周可以吃1周新长出的草即相当于给出15头牛专门吃新长出的草 于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要1266=12(周)，于是2l头牛需吃12周注注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样
3、就把问题化归为一般工程问题了 一般方法一般方法： 先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数时间甲-乙牛头数时间乙)(时间甲-时间乙)；再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)时问甲(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙或者：(甲牛头数-变化草相当头数)时间甲时间丙+变化草相当头数丙所需的头数 有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周问：第三块草地可供50头牛吃几周?【分析与解分析与解】 我们知道246=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草). 3612=432头牛吃一周吃4个(2公顷
4、+2公顷12周长的草) 于是1442=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草 4324=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草 所以108-72=36头牛一周吃2公顷126=6周长的草 即366=6头牛1周吃2公顷1周长的草 对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好于是4公顷，配426=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃612(42)=36周吃完2公顷 所以10公顷，需要1026=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 (102)20=9周 于是50头牛需要9周吃10公顷的草 【分析与解分析与解】 一群牛，2天，吃了1
5、块+1块2天新长的； 一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的. 即 群牛，1天，吃了1块1天新长的. 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【分析与解分析与解】 牛、马45天吃了 原有+45天新长的草 马、羊60天吃了 原有+60天新长的草牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草马 90天吃了 原有+90天新长的草 牛、马90天吃了 2原有+90天新长的草 所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了
6、90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草所以，知马60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l =36天. 所以，牛、羊、马一起吃，需36天 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？【分析与解分析与解】 设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份） 说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头
7、牛在吃草。 由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草， 所以原有草共有（20+10）5=150（份）， 由15010=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。 由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？【分析与解分析与解】与前面的题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草
8、问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。 男孩5分钟走了205=100（级），女孩6分钟走了156=90（级），女孩比男孩少走了10090=10（级）， 多用了65=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。 因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。 所以，扶梯共有（20+10）5=150（级）一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？【分析与解分析与解】已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（123
9、）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。 已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（510）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。 通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：（510123）（103）=2已漏进的水：（122）3=30已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：30+22=34用2小时来舀完这些水需要17人：342=17（人）有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？【分析与解分析与解】
10、现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即5，6，8=120这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，1205=24，变为120公顷草地可供 1124=264（头）牛吃10天第二块6公顷可供12头牛吃14天，1206=20，变为120公顷草地可供 1220=240（头）牛吃14天。1208=15。问题变成：120公顷草地可供1915=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛吃几天？即每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）草
11、地原有草：（264180）10=840（份）可供285头牛吃的时间：840（285180）=8（天）作业 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。照此计算，可供11头牛吃几天不定方程与整数分拆不定方程与整数分拆求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题与此相关或涉及整数分拆的数论问题对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解 在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰
12、好是4的数有多少个?【分析与解分析与解】 有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?【分析与解分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，列方程如下：由 (2)(1)得 注意到式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米?【分析与解分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数， 但374被12
13、除余2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2厘米另一方面，374=2712+412+2，而3612=3，2412=2即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米因此剩余部分的管子最少是2厘米小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封? 【分析与解】 显然，为了使3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最后才是平信 但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分 此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可 于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1
14、+4=9封有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?【分析与解分析与解】 为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码1307：18 4， 5种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有=60 最后可得到如下表的满足情况：共有4种不同的选购方法(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽
15、可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?【分析与解分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50 所以，其中一定可以有某几个质数相等欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32的最大质数为31 (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7 6
16、07=84， 而4=2+2， 即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种? 【分析与解分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；(49，51)； 每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以， 显然50分和100分的币值是可以组成的 因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这49种情况 1分和3分的币值显然不能构成2分，4分，6
17、分，46分，48分等24种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分， 6分,8分，46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可， 譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分 小明买红、蓝两支笔，共用了17元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完那么红
18、笔的单价是多少元? 【分析与解分析与解】 如下表 先枚举出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现35的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35元， 所以含有7，5，1的组合不可能然后，也不能出现3517=18的约数否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元 所以含有9，6，3，2的组合也不可能 所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为13元第第9讲讲 整数分拆整数分拆1一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数 2一般的有，把自然数m
19、分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(nr)个P 3把自然数S (S1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大 4把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等则该电视连续剧最多可以播出几天? 【分析与解分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集
20、数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28， 现在就可以播出7天，还剩下2集， 由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同. 于是只能选择从后加即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子问：一
21、共有多少只盒子?【分析与解分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=67，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，
22、一共有7个加数；又因为42=143，故可将42：13+14+15，一共有3个加数；又因为42=212，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色： 凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由 【分析与解分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色， 3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4
23、=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色 下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色 1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k2) 由于n10，所以k5，k23，2(k2)与4均为合数，且不相等于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k4) 由于n13
24、，所以k6，k42，2(k2)4与9均是合数，且不相等也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色 所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k2) 所以第2000个染红色的数是2000+10=2010在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法. (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数 (2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数【分析与解分析与解】 关于某整数，它的关于某整
25、数，它的“奇数的约数的个数减奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达种数，就是用连续的整数的和的形式来表达种数.根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，最小的15(1、3、5、15)；有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)， 有连续的2,3、6、9、10、27个数相加： 364+365；242+243+244；119+120+124；77+78+79+85；36+37+45；14+15+40把一个整数写成非零自然
26、数的和的形式如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不同，也只算做一种方法另外，只使用一个自然数，也算做一种方法 (1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种： 6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种? 【分析与解分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50，求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种 为了方便计算，不妨设xyz 当x=0时，y+z=50，y可以取025，z对应取值，于是有26组解；当x=1时，y+z=49，y可以取124，z对应取值，于是有24组解； 当x=2时，y+z=48，y可以取224，z对应取值，于是有23组解；当x=3时，y+z=47，y可以取323，z对应取值，于是有21组解；当x=4时，y+z=46, y可以取423，z对应取值，于是有20组解； 当x=15时，y+z=35，y可以取1517，z对应取值，于是有3组解；当x=16时，y+z=34，y可以取1617，z对应取值，于是有2组解 所以，共有26+24+23+21+20+3+2=234组可能的值；
