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1、一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律第二章三、内容小结三、内容小结二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布第一节 离散型随机变量 及其分布律 (2)一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律1.定义定义分布律可记为：分布律可记为：或记为或记为其中其中 注注. 1 分布律中的分布律中的 pk 必须满足：必须满足：2 若若X 是离散型随机变量，则其分布函数为：是离散型随机变量，则其分布函数为：例例1 1解解由由得得2. 离散型随机变量分布律与分布函数及离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系事件概率的关系(1) 若已知若已知 X 的分布律：的分
2、布律：则则X的分布函数：的分布函数：事件事件 a X b的概率：的概率：(2) 若已知若已知 X的分布函数的分布函数F(x)，则，则X的分布律：的分布律：或或注注 1离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)是阶是阶梯函数，梯函数，x1, x2,是是F(x)的第一类的第一类间断点间断点, 而而X在在xk（k=1,2, ）处的）处的概率就是概率就是F(x)在这些间断点处的在这些间断点处的跃度跃度.2例例2一盒内装有一盒内装有5个乒乓球，其中个乒乓球，其中2个旧的，个旧的，3个新的，从中任取个新的，从中任取2个，求取得的新球个，求取得的新球个数个数X的分布律与分布函数，并计算：的分
3、布律与分布函数，并计算：解解X= 取得的新球个数取得的新球个数 ，其分布律为，其分布律为或或X的分布函数为的分布函数为 0.1, 0.1 + 0.6, 0.1 + 0.6 + 0.3, 0.7, 1,xoy0.10.71方法方法1.方法方法2.二、常见离散型随机变量的概率分布二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布若随机变量若随机变量X取常数值取常数值C的概率为的概率为1,即即则称则称X服从服从退化分布退化分布.实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察
4、正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (0-1) 分分布布.其分布律为其分布律为则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布.记为记为XB(1,p)实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合件不合格品格品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0-1)分分布布. 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还
5、是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明3.均匀分布均匀分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有则有称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布两点分布两点分布4.二项分布二项分布若若X的分布律为的分布律为:或为或为:例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服
6、从 B (5,0.6) 的二项分布的二项分布.解解因此因此例例3泊松资料泊松资料5. 泊松分布泊松分布泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布. .地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工
7、业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话
8、呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.泊松分布与二项分布的关系泊松分布与二项分布的关系泊松定理泊松定理 设设Xn B(n ,pn ) (n=1,2,)证证注注. 1 很小很小 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过, 问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少? 设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则解解二项分布二项分布 泊松
9、分布泊松分布n很大很大, p 很小很小故所求概率为故所求概率为例例4可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算在保险公司里有在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层的人名同龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概率为率为0.002, 每个参加保险的人在每个参加保险的人在1月月1日须交日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取取2000元赔偿金元赔偿金. 求：求：(1) 保险公司亏本的概率；保险公司亏本的概率；(2) 保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元的概率元的概率.解解 (1)
10、以以“年年”为单位，在为单位，在1年的年的1月月1日，保日，保险险公司的总收入为：公司的总收入为：例例5保险公司在这一年中，应付出：保险公司在这一年中，应付出：2000X (元元)设设 A=保险公司亏本保险公司亏本，则，则(2) 保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元的概率元的概率.B即即 保险公司获利不少于保险公司获利不少于20000元的概率接近元的概率接近于于62%.若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有对该批产品做有放回的抽样检查放回的抽样检查 , 直到第一次抽
11、到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品那么所抽到的产品数目数目 X 是一个随机变量是一个随机变量 , 求求X 的分布律的分布律.6. 几何分布几何分布所以所以 X 服从几何分布服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “ “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解7.超几何分布超几何分布设设X的分布律为的分布律为 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到到.说明说明离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布均匀分布均匀分布二项
12、分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、内容小结三、内容小结超几何分布超几何分布退化分布退化分布几类常见的离散型分布几类常见的离散型分布 分布名称分布名称 记号记号 分布律分布律 背景背景 退化分布退化分布(单点分布单点分布)必然事件必然事件两点分布两点分布(或或 01分布分布)X B(1,p) 贝努里概型贝努里概型(0p0)(0p1)稀有事件稀有事件 分布名称分布名称记记号号 分布律分布律 背景背景 几何分布几何分布在在n重独立试重独立试验中，验中，A首次首次发生的试验次发生的试验次数为数为X. 超几何分布超几何分布设设N件产品中件产品中有有M件次品，件次品，从中任取从中任取n件，件，其中的次品其中的次品数为数为X.Jacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland伯努利资料伯努利资料泊松资料泊松资料Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSimon Poisson
