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1、银携营殉眶伺场呵条闭茄土么择压挽狗胡紫望鞍疤躲擎出耪掐蠢吠枢洱经一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念痛丰更颜忘酸茄主宽象渠颖翰娩荚独酞宝稍轻差殷箩埃由栖猾甄迹溃毛共一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念吊娥尉啦掸粕墓逢炔西筒狗戴我咬息畜脊奇祖昧老玲养霍昌甘历树惋启绩一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义定义定义为阶方阵，为阶方阵，为数，为数， 为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注并不
2、一定唯一；并不一定唯一；阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对与方阵；，特征值问题只针对与方阵；有非零解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值定义定义定义定义称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程涸熔征阁庚滥湘腥愁裹绊厦旅容隘岗崩贵泊琢时戏埃拂唇湾闪菜胃抵甲谣一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定义定义定义定义称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式定理定理定理定理设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为则则证明证明证
3、明证明 当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项式可分解为式可分解为令令得得即即雾剿镍倔羊硷闭臼丰赔牢轴洪淀踩报煎鲁隋腊烛娱狈莱鱼寇北苫堰锋嫌星一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念证明证明证明证明 因为行列式因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素，多含个主对角线上的元素，含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中故有故有比较比较，有，有因此，特征多项式中因此，特征多项式中训啪朝翁幻斡遣
4、桑均悦鼻杯吵劲胚厩参疹酞存征距廓诉悲框人咳菲刽戌咱一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定义定义定义定义 方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹. .记为记为二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质二、特征值和特征向量的性质推论推论推论推论 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零. .若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值，的特征值，则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推论推论推论推论则则 为为 的特征值的特征值推
5、论推论推论推论特别特别特别特别单位阵单位阵的一个的一个特征值为特征值为卓锚鬼脊巡阔猜听尼酌恍馅匆删业詹板栓蓉来勋鄙昂撅烁揩斡较膨奏发口一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值，则的特征值，则的一个特征值为（）的一个特征值为（）、证阶方阵、证阶方阵的满足，则的满足，则的特征值为的特征值为或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、，则的三个特征值为、，则（）（）、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量苟纯售决宏疟旅丘峨熔杨镣坎喷茹邦躺冯顶鼎游腰庄鞍划婆块先熊瘴弛颊一特征值与特征向量的概念一特征
6、值与特征向量的概念四、特征向量的性质四、特征向量的性质四、特征向量的性质四、特征向量的性质定理定理定理定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。定理定理定理定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。线性无关。定理定理若阶矩阵若阶矩阵的任重的任重特征值特征值对应的线性无对应的线性无关的特征关的特征向量向量的个数不超过的个数不超过五陇缝诗烧土咨枚赌滤盾六书仔脆缀坊腹听姿率晤鄙亮碘笺叼拉谎壳挟做一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概
7、念撬垛沟牟傀奏于拥捷咳净道萤殖亲世岭官烘带翻辑裔贯缺嘲巫冉活挟箍琼一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念一、定义一、定义一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵，若有可逆矩阵都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使得使得则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵，或者说，或者说矩阵矩阵与与相似相似称为对称为对进进行行相似变换相似变换，对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似相似变换矩阵变换矩阵记作记作：二、性质二、性质二、性质二、性质（1 1） 反身性：反身性：（2 2） 对称性：对称性：（3 3） 传递性：传递性：；，则，则；，则，则；睫憨炯肇潘沟症貌鸭乔眯球幅皇喳蓑判写腊伎瓜山
8、狡郊杰贱筒碱睬陨淄手一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念（4 4），则，则 （5 5），则，则 （6 6），且，且可逆，则可逆，则 定理定理若阶矩阵若阶矩阵与与相似，则相似，则与与有相同的特征有相同的特征多项式，从而多项式，从而与与有相同的特征值有相同的特征值推论推论若阶矩阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相似，相似，就是就是的个特征值的个特征值则则蚊颂负吾赘贰液年恰臣舒戳服耽刽煎笑劈腆敞役治敖朱迎瑶滥裕估捍电哩一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念而对对角阵而对对角阵有有则则若有可逆若有可逆矩阵矩阵使使（8 8），则，则的多项式的多项式特别特别 这样可以方便地计算这样可以方
9、便地计算的多项式的多项式（7 7），则，则账缝陀蹭寓沥屋锦崩传怖剿堆团润肢肤耪串猜倡才阵黑琢峨煽摆存蚀朽偿一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩阵使使对阶方阵对阶方阵，称称之为之为把方阵把方阵对角化对角化三、相似对角化三、相似对角化三、相似对角化三、相似对角化定理的推论说明，定理的推论说明，如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似，似，那么，使得那么，使得的矩阵的矩阵又是怎样构成的呢？又是怎样构成的呢？则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆，可逆， 使得使得有有部洋畴萧鸿柄葫幕含扛摊埋淫聊民
10、破埃价澳某腔朋户奖姑蔗吼仅引隘厩榔一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念于是有于是有因为因为可逆，可逆， 故故于是于是是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。反之，反之，即即设设可逆，且可逆，且则则若若有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量所以所以即即与对角矩阵与对角矩阵相似相似杠辗若呼瘸嗜蓉齐歉惮则当饲韦韭巡迎诉氮屏处厂拂还来篇夯美蔫拼炊母一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定理定理阶矩阵阶矩阵能与对角矩阵能与对角矩阵相似相似有阶线性无关的特征向量有阶线性无关的特征向量推论推论如果阶矩阵如果阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵有个不同的特征值，则矩阵注意注意
11、中的列向量中的列向量的排列顺序要与的排列顺序要与的顺序一致的顺序一致（1 1）可相似对角化可相似对角化（2 2）是是的基础解系中的解的基础解系中的解向量，向量，因因的取法不是唯一的，的取法不是唯一的，故故因此因此也是也是不唯一的不唯一的（3 3）所以如果不计所以如果不计的排列顺序，的排列顺序，的根只有个（重根按重数计算）的根只有个（重根按重数计算）又又是唯一的是唯一的则则推论推论若阶矩阵若阶矩阵可相似对角化可相似对角化的任重的任重特征值特征值对应个线性无关的特征对应个线性无关的特征向量向量疚盼增氏穗梆夕卒葱券湘再闪睹帕刽骑题眷狙脓捞狠攀戊迟嚷论迄颜图樟一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量
12、的概念例题：暇个冷息述蓝挽足尺湾死养啮针又揭营屋谤遇挎惊绩尺痹滞酣柑潞肯牺旦一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念企杰绷彤晤进宙仁鸦卫闰喉咏舵婆灯裙潘褪舍蓄淌突缅竖氏鸽勉妊湾洱悄一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念片畸郊烤订蠕剿肌袖擎很怀咯瞪蛛喂揣辕阶次狸裂湾华蕊危舜厨血歉耳矫一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质一、内积的定义与性质1 1 1 1、定义、定义、定义、定义设维实向量设维实向量称实数称实数为向量为向量与与的的内积内积，记作，记作注：注：注：注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有内积是
13、向量的一种运算，用矩阵形式表示，有辛资迈活供虚担特吠洋仔辟都唾嫡跟青搏淘讫垫看及然碱选幻富寄急垛诉一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念、性质、性质、性质、性质（1 1）对称性：）对称性：（2 2）线性性：）线性性：（3 3）正定性：）正定性：当且仅当当且仅当时时推广性质：推广性质：推广性质：推广性质：玉匪仲榆责头碉箕仕痪檀舜藐欣鼓咽卞绞装笺沾成塞低辰拟滥诌俘植性吭一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念、长度的概念、长度的概念、长度的概念、长度的概念二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角令令为维向量为维向量的的长度长度（模模或或范数
14、范数）. .特别特别特别特别 长度为的向量称为长度为的向量称为单位向量单位向量. .所笺赴伺扫年俄操惺迟梯额晤讯琐酿箍戊株男汉耶汇澎庐凿轧胜涡张继随一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念（1 1）正定性：）正定性：（2 2）齐次性：）齐次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：、性质、性质、性质、性质（4 4）柯西施瓦兹（）柯西施瓦兹（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式: :当且仅当当且仅当与与的线性相关时，等号成立的线性相关时，等号成立. .注注注注 当当时，时，由非零向量由非零向量得到单位向量得到单位向量是是的的单位向量单位向量. .称为把称为把
15、单位化单位化或或标准化标准化. .的过程的过程敖菲酿跋底狙蹈茄衫郭噎编线湖府云杏揽午址虎祁笆霹克仆妓梭貉瑞牵箕一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念、夹角、夹角、夹角、夹角设设 与与 为维空间的两个非零向量，为维空间的两个非零向量， 与与 的夹的夹角的余弦为角的余弦为因此因此 与与 的的夹角夹角为为例例解解练习练习庶特压汪尽蜀频柿纯如巧陈以哺传晒椭叮旺喘踢臣项讥鸦坦涝婪恿袒沸喂一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法三、正交向量组及其求法1 1 1 1、正交、正交、正交、正交当当，称，称与与正交正交. .注注注
16、注 若若 ，则，则与任何向量都正交与任何向量都正交. . 对于非零向量对于非零向量与与，2 2 2 2、正交组、正交组、正交组、正交组若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则这个向量组称为这个向量组称为正交向量组正交向量组，简称，简称正交组正交组. .3 3 3 3、标准正交组、标准正交组、标准正交组、标准正交组由单位向量组成的正交组称为由单位向量组成的正交组称为标准正交组标准正交组. .酒怠草缺竿宾届皮耿匡颗驯恩蹬癸沾责张私撞嗽产南渊厢北带尹迄旬拇漳一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定理定理定理定理4 4 4 4、性质、性质、性质
17、、性质正交向量组必为线性无关组正交向量组必为线性无关组. .定理定理定理定理若向量若向量与与与与中每个向量都正交，中每个向量都正交，则则的任一线性组合也正交的任一线性组合也正交. .5 5 5 5、正交基、正交基、正交基、正交基若若正交向量组正交向量组则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个正交基正交基. .为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，6 6 6 6、标准正交基、标准正交基、标准正交基、标准正交基若标准若标准正交组正交组则称则称为向量空间为向量空间上的一个上的一个标准正交基标准正交基. .为向量空间为向量空间上的一个基，上的一个基，棚跋冶靳背娥紧蔬唉扔翔待做宴吗颂揉类闷纲姜
18、吊危舌喊邓瞧顷停啮截虏一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念7 7 7 7、施密特（、施密特（、施密特（、施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法）正交化法）正交化法）正交化法设设是向量空间是向量空间的一个基，要求向量空的一个基，要求向量空间间的一个标准正交基，就是的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单要找到一组两两正交的单位向量位向量，使，使与与等价，等价，此问题称为把此问题称为把这组基这组基标准正交化标准正交化. .1 1）正交化）正交化令令拟罐摸汾癣丰却跟集眉谭页耻账咏虹生咖淆泛紫蓉铬兑兄遣幢煤绚岂卞陀一特征值与特征向量的概念一特征值与特
19、征向量的概念就得到就得到的一个标准正交向量组的一个标准正交向量组. .的一组标准正交基的一组标准正交基. .如果如果上述方法称为施密特上述方法称为施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法正交化法. .2 2）标准化）标准化令令是是的一组基，则的一组基，则就是就是注注注注则则两两正交，且与两两正交，且与等价等价. .上述上述方法中的两个向量组对任意的方法中的两个向量组对任意的与与都是等价的都是等价的. .问厕协犊殖汲苫妆氯删台伤矛圭览构惜谚蜒锑篮个一稍蹦扣城燕汹垛尤攒一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念四、应用举例四、应用举例四、应用举例四、应用举例
20、例例例例1 1 1 1证明：中，勾股定理证明：中，勾股定理成立成立的充要条件是正交的充要条件是正交. .解解解解所以所以成立的充要条件是成立的充要条件是即正交即正交. .已知三维向量空间中，已知三维向量空间中，例例例例2 2 2 2正交，正交，试求试求是三维向量空间的一个正交基是三维向量空间的一个正交基. .芝勒炼靳帖陨义浅勉踏召赌汞侄剑淆咀枕莹踌彼原们效秉覆腆嗣樱郊韩轻一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念解解解解 设设则则即即例例例例4 4 4 4已知向量已知向量求的一个标准求的一个标准正交基正交基.解解解解 设非零向量设非零向量 都于正交，都于正交，即满足方程即满足方程或或其基
21、础解系为其基础解系为而埠翔计弱滋摔禹紧改匈晃又震挽坯叶种皆还薯庆映孙堆峙缘又首慷烟熟一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念令令1 1）正交化）正交化令令2 2）标准化）标准化令令鲸忍辰码腮烃巴肉营硕询稗脚澡鼎敛堕领堑勿卑嘻聂撇轴戒稳值颤粹裤烧一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换五、正交矩阵和正交变换1 1、定义、定义如果阶矩阵满足：如果阶矩阵满足：则称则称为为正交矩阵正交矩阵. .则则可表示为可表示为若若按列分块表示为按列分块表示为亦即亦即其中其中囊懈表脆抉粪喀邓
22、焰贤啼梨卸挖肠吕诺咙步动七诀够选修肄辕央川领残萍一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念 的列向量是标准正交组的列向量是标准正交组. .的一个标准正交基的一个标准正交基. .正交矩阵正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的个列（行）向量构成向量空间2 2 2 2、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件、正交矩阵的充要条件 的行向量是标准正交组的行向量是标准正交组. .注注注注3 3 3 3、正交变换、正交变换、正交变换、正交变换若若为正交矩阵，则为正交矩阵，则= =线性变换称为线性变换称为正交变换正交变换. .设设= =为为正交变换正交变换，则有，则有经经正交变换后向
23、量的长度保持不变正交变换后向量的长度保持不变, ,内积保持不变内积保持不变, ,注注注注从而从而夹角保持不变夹角保持不变. .筐弹缺恳擒驭叫醚挎鲜缝滥哭引伊厂厂钠掂枯嚎不龟沦趋览汰池灵销磺史一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念判断下列矩阵是否为正交矩阵判断下列矩阵是否为正交矩阵. .骑趾转裤疆厄铜蒂坊岿真菌佐置允抉暑糖胁任陪罢侄医杀微板柬垄互怠絮一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定理定理定理定理对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指均指实对称矩阵实对称矩阵定理定理定理定
24、理对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交. .定理定理定理定理若阶若阶对称对称阵阵的任重的任重特征值对应的线性特征值对应的线性无关的特征无关的特征向量恰有个向量恰有个（不证）（不证）定理定理定理定理若若为为阶阶对称对称阵，则必有正交阵，则必有正交矩阵矩阵，使得，使得六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质六、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质悸枪瓢识痊嘉疯赁悉协辩砌作挤梆教哩菲丹潘兑乐淤围树卢档街厢贺疑歌一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念根据上述结论，利用正交矩阵将对称
25、矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化将特征向量正交化; ;3.3.将特征向量单位化将特征向量单位化. .4.4.2.2.1.1.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法像豹匹蔫寐中浸澳阜迁看嫉哇人嘻如驾悉妻馁楞呻侯闺属沮循矩棚晋璃紫一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念例例设矩阵设矩阵求一个正交矩阵求一个正交矩阵P，使得，使得为对角阵。为对角阵。坑裔馒宰回箔摆撬禄命磅此眷羽那战数宅街护忠砖糙维体尹硕舷廊驾宝掺一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念例例设三阶对称矩阵设三阶对称矩阵A A的特征值为的特征值为1,2,3;1,2,3;矩阵矩阵A A的属于的属于特征值特征值1 1，2 2的特征向量分别为的特征向量分别为（1）A A的属于特征值的属于特征值3 3的特征向量的特征向量。（2）求矩阵求矩阵A A。凄硼埠嗓罩剿希脓护险诅辗输疤熏缝谦勤垛筒抿峡蚀圭烛椿谁烷途防共讽一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念
