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1、考研数学基础知识复习考研数学基础知识复习 线性代数线性代数第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 与向量空间与向量空间一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论n1、向量的概念与运算向量的概念与运算一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 1、向量的概念与运算向量的概念与运算一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 1、向量的概念与运算向量的概念与运算一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 2、向量间的线性关系、向量间的线性关系2、向量间的线性关系、向量间的线性关系2、向量间的线性关系、向量间的线性关系2、向量间的线性关系、向量间的线性关系n几个常用结论：几个常用结
2、论：n 单个非零向量是线性无关的；单个非零向量是线性无关的；n 含有零向量的向量组一定线性相关；含有零向量的向量组一定线性相关；n 基本单位向量组一定线性无关；基本单位向量组一定线性无关；n 两个向量组成的向量组线性相关的充要两个向量组成的向量组线性相关的充要 条件是：对应元素成比例条件是：对应元素成比例.3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩n几个常用结论几个常用结论:n 任一向量组和它的极大线性无关组等价任一向量组和它的极大线性无关组等价;n向量
3、组的任意两个极大线性无关组等价向量组的任意两个极大线性无关组等价;n 两个等价的线性无关向量组所含的向两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相同量个数相同;n向量组的任意两个极大线性无关组所向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相同含的向量个数相同. 3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩n请注意下面几个常用结论请注意下面几个常用结论3、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩n特别：特别：n掌握用矩阵的行变换求向量组的秩掌握用矩阵的行变换求向量组的秩;n求向量组的极大线性无关组求向量组
4、的极大线性无关组;n用极大线性无关组表示其它向量的方法用极大线性无关组表示其它向量的方法.一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 4、向量空间、向量空间一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 4、向量空间、向量空间4、向量空间、向量空间一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 4、向量空间、向量空间4、向量空间、向量空间4、向量空间、向量空间4、向量空间、向量空间4、向量空间、向量空间n(5)施施密密特特正正交交化化方方法法4、向量空间、向量空间4、向量空间、向量空间一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 5、重要定理与公式、重要定理与公式5、重要定理与公式、重要定理与公
5、式一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 5、重要定理与公式、重要定理与公式一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 5、重要定理与公式、重要定理与公式5、重要定理与公式、重要定理与公式二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.1题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性
6、相关性的讨论及证明 例例3.2题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.3二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.4二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.5二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.6二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向
7、量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.7二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.8题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.9题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.10题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.11 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.12题型题型I：
8、有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.13二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明说明：说明：一个向量可否由向量组表示的问题一个向量可否由向量组表示的问题可由下面方法解决可由下面方法解决.（1）定义法；）定义法；（2）相关定理）相关定理n例例3.14二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明n例例3.15题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明n例例3.16题型题型II：
9、有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明n例例3.17题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明n例例3.18题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明n例例3.19题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例题型题型III：n求向量组的极大线性无关组；求向量组的极大线性无关组； n向量组的秩和矩阵的秩向量组的秩和矩阵的秩.n例例3.20题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩n例例3.21题型题型III
10、：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩n例例3.22题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩n例例3.23题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩n例例3.24题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩n例例3.25题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例题型题型IV:与向量空间有关的命题与向量空间有关的命题n例例3.26二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型IV：与向量空间有关的命题：与向量空间有关的命题n例例3.27题型题型IV：与向量空间有关的命题：与向量空间有关的命题n例例3.28题型题型IV：与向量空间有关的命题：与向量空间有关的命题
