《高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质2 第1课时课件 新人教A版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质2 第1课时课件 新人教A版必修4（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)一二三思维辨析一、周期函数问题思考1.由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2个单位重复出现,这一规律的理论依据是什么?设f(x)=sin x,则sin(x+2k)=sin x(kZ)可以怎样表示?提示sin(x+2k)=sin x(kZ);f(x+2k)=f(x).2.填空:周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.3.周期函数的周期是否唯一?正弦函数的周期有哪些?是否存在最小的一个?是否存在一个最小的正的周期?提示
2、周期函数的周期不唯一;正弦函数的周期为2k(kZ,k0);不存在最小的一个;存在一个最小的正的周期2.一二三思维辨析4.填空:最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.在没有特殊说明的情况下,三角函数的周期均是指它的最小正周期.5.做一做:(1)若函数f(x)满足f(x+3)-f(x)=0,则函数f(x)是周期为_的周期函数.(2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)= _.解析(1)由已知得f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为3的周期函数.(2)由已知得f(x+8)=f(x+4)=f(x).答案(1)3
3、(2)f(x)一二三思维辨析二、正弦函数与余弦函数的周期性问题思考1.就周期性而言,对正弦函数有什么结论?对余弦函数呢?提示正弦函数是周期函数,最小正周期是2;余弦函数也是周期函数,最小正周期也是2.2.填空:(1)正弦函数y=sin x是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期,最小正周期是2.(2)余弦函数y=cos x是周期函数,2k(kZ,且k0)都是它的周期,最小正周期是2.一二三思维辨析答案(1)2(2)4 一二三思维辨析6.函数y=sin x(x0),y=sin x(x0)是周期函数,y=sin x(x0)是周期函数,y=sin x(0x10)不是周期函数.7.填空:一个函数是
4、否是周期函数,与其定义域有关,一般地,周期函数的定义域是无穷区间.一二三思维辨析三、正弦函数与余弦函数的奇偶性及对称性问题思考1.根据诱导公式有sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,这反映了正弦函数和余弦函数的什么性质?提示奇偶性.2.填空:(1)正弦函数y=sin x是奇函数,其图象关于原点对称;(2)余弦函数y=cos x是偶函数,其图象关于y轴对称.一二三思维辨析答案(1)A(2)B 一二三思维辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)探究一探究二探究三思维辨析求三角函数的周期求三角函数的周期【例
5、1】求下列三角函数的周期:(1)y=3sin x,xR;(2)y=cos 2x,xR;(3)y= ,xR;(4)y=|cos x|,xR.分析对于(1)(2)(3),可采用公式法求周期;对于(4),可借助函数图象观察求得周期.探究一探究二探究三思维辨析解(1)3sin(x+2)=3sin x,由周期函数的定义知,y=3sin x的周期为2.(2)cos 2(x+)=cos(2x+2)=cos 2x,由周期函数的定义知,y=cos 2x的周期为.探究一探究二探究三思维辨析求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为y=Asin(x+)+B或y=Acos
6、(x+)+B的形式,再利用T= 求得;(2)图象法,利用变换的方法或作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1求下列函数的最小正周期: (2)y=cos|x|. (2)因为函数y=cos x为偶函数,所以y=cos|x|=cos x,从而函数y=cos|x|与y=cos x的图象一样,因此最小正周期相同,为2.探究一探究二探究三思维辨析三角函数奇偶性及其应用三角函数奇偶性及其应用【例2】判断下列函数的奇偶性:分析求定义域定义域是否关于原点对称看f(-x)与f(x)的关系确定奇偶性探究一探究二探究三思维辨析解(1)函数f(x)=|sin x|+cos x
7、的定义域为R.f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),函数f(x)是偶函数.探究一探究二探究三思维辨析1.判断函数奇偶性的常用方法:(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.(2)图象法,即作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性.2.判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而再判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数是非奇非偶函数.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1
8、)f(x)=xcos(+x);(2)f(x)=sin(cos x).解(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)=xcos(+x)=-xcos x,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos x=-f(x).f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,f(-x)=sincos(-x)=sin(cos x)=f(x).f(x)为偶函数.探究一探究二探究三思维辨析函数奇偶性、周期性的综合问题函数奇偶性、周期性的综合问题 探究一探究二探究三思维辨析(2)因为f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3),所以f(x+6)=f(x),故函数是周期为6的周期函数.又因为函数是奇函数,
9、所以f(2 019)=f(6337-3)=f(-3)=-f(3)=-3.探究一探究二探究三思维辨析1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(nZ)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值问题.2.推得函数周期的若干形式:(1)若f(x+t)=f(x),则函数周期为t;(2)若f(x+t)=-f(x),则函数周期为2t;探究一探究二探究三思维辨析答案0 探究一探究二探究三思维辨析对周期函数的概念理解不清致误【典例】下列说法中,正确的有.(填序号)错解本题错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示根据周期函
10、数的定义、三角函数的图象以及三角函数周期公式对各个命题加以判断.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析研究三角函数的周期时,注意从函数的定义域、解析式以及图象等多方面进行分析,如果通过公式不易求出函数周期,可以通过观察函数图象来确定函数的周期,特别是含有绝对值符号的函数.123451.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数解析因为xR,且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.答案A12345答案C 12345A.最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为2的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数答案C 123454.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(5)=.解析由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数, 则f(5)=f(5-6)=f(-1)=-f(1).又f(1)=1,则f(5)=-1.答案-112345
