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1、 5.6 5.6 动态位动态位5.6.1 5.6.1 动态位的引入动态位的引入考察考察 maxwell 方程组的微分形式方程组的微分形式称为称为动态位动态位。 性能方程性能方程由由由由经整理后，得经整理后，得由由由由（2）（1）洛仑兹条件（规范）洛仑兹条件（规范）定义定义A 的散度的散度5.6.2 5.6.2 动态位的微分方程动态位的微分方程 达郎贝尔方程达郎贝尔方程这是非齐次波动方程这是非齐次波动方程达朗贝尔方程达朗贝尔方程 简化了动态位与场源之间的关系简化了动态位与场源之间的关系，使得，使得 A 单独由单独由 Jc 决定决定， 单单独由独由 决定，给解题带来了方便；决定，给解题带来了方便；
2、 洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。洛仑兹条件洛仑兹条件的重要意义的重要意义 确定了确定了 的值的值，与，与 共同唯一确定共同唯一确定A；1 1) ) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程非齐次波动方程非齐次波动方程达朗贝尔方程达朗贝尔方程 2)2) 在时变场中的无源区，达朗贝尔方程变为在时变场中的无源区，达朗贝尔方程变为齐次波动方程齐次波动方程5.7 5.7 达朗贝尔方程的解答达朗贝尔方程的解答 因此可以推测，达朗贝尔方程的解既应有泊松方程的解答形式，又因此可以推测，达朗贝尔方程的解既应有泊松方程的解答形式，又应有
3、波动性。应有波动性。 以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。 （ 除除 q q 点外点外）代入上式得代入上式得做函数代换，令做函数代换，令代入上式得一维齐次波动方程：代入上式得一维齐次波动方程：式中式中 具有速度的量纲具有速度的量纲通解的特点：通解的特点：（1 1） 的振幅与的振幅与r成反比，随着成反比，随着r 的增大振幅越来越小，到无穷远，振幅为零，波便消失。的增大振幅越来越小，到无穷远，振幅为零，波便消失。（2 2） 作为时间的函数，随作为时间的函数，随 r 的增大以速度的增大以速度v 落后。落后。在球坐标系
4、中，具有球对称性的展开式为在球坐标系中，具有球对称性的展开式为通解通解为为5.7.1 5.7.1 点源动态位的解答点源动态位的解答式中式中 ， f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数，是具有二阶连续偏导数的任意函数， 称为组合变量称为组合变量. . 1 1）通解的物理意义：通解的物理意义： f1 在在 时间内经过时间内经过 距离后不变距离后不变, ,说明它是以有限速度说明它是以有限速度 v 向向 r 方方向传播向传播，称之为称之为入射波入射波或或正向行波正向行波。有有在无限大均匀媒质中没有反射波，即在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。它表明它表明： f2 在在 时间内时间内, ,
5、以速度以速度v 向向(-r )方向前进了方向前进了 距离距离, ,故称之为故称之为反射波反射波。 图图5.6.15.6.1 的物理意义的物理意义 图图5.6.2 5.6.2 波的入射、反射与透射波的入射、反射与透射由此推论，时变点电荷的动态标量位为由此推论，时变点电荷的动态标量位为可以证明：该解满足可以证明：该解满足齐次波动方程齐次波动方程。5.7.25.7.2达朗贝尔方程的解答和推迟位达朗贝尔方程的解答和推迟位 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 ，其特解为，其特解为连续分布电荷产生的标量位可利用连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理迭加原理
6、获得获得无反射无反射当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。 电磁波在真空中的波速与光速相等。电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波光也是一种电磁波。它表明它表明： f1是一个以速度是一个以速度 沿沿 r 方向前进的波方向前进的波。若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式的表达式（无反射无反射） 电磁波是以有限速度传播的电磁波是以有限速度传播的，这个速度称为，这个速度称为波速波速m/s 达朗贝尔方程解的形式表明达朗贝尔方程解的形式表明：t t 时刻的响应取决于时刻的响应取
7、决于 时刻激励源的情况。时刻激励源的情况。故又称故又称 A、 为为滞后位滞后位（Retarded PotentialRetarded Potential）。）。 它具有速度的量纲；且通解中的它具有速度的量纲；且通解中的 经过经过 后得以保持不变，必有自后得以保持不变，必有自变量不变，即变量不变，即5.7.3 5.7.3 达朗贝尔方程解答的相量形式达朗贝尔方程解答的相量形式 令令 ， 称为相位常数，单位为称为相位常数，单位为rad/m。表示波沿表示波沿传波方向行进单位距离时，所造成的空间相位差。传波方向行进单位距离时，所造成的空间相位差。在正旋电磁场中，达朗贝尔方程的相量形式为在正旋电磁场中，达
8、朗贝尔方程的相量形式为因此，达朗贝尔方程变为因此，达朗贝尔方程变为由于由于源的相量表示式为源的相量表示式为所以动态位相量表达式为所以动态位相量表达式为 同理同理或或 称为似稳条件。称为似稳条件。 滞后时间，滞后时间，滞后相位，故滞后相位，故 相位常数相位常数。 表明表明时变电磁场的瞬时分布规律分别与静电场和恒定磁场相同，称之为时变电磁场的瞬时分布规律分别与静电场和恒定磁场相同，称之为似稳似稳场，时变场中满足似稳条件的区域称为似稳区，似稳区内的时变场成为场，时变场中满足似稳条件的区域称为似稳区，似稳区内的时变场成为。瞬时值瞬时值 体现了时变场推迟位的特点，位比源在空间相位上体现了时变场推迟位的特
9、点，位比源在空间相位上滞后滞后 故故称为空间相位因子，称为空间相位因子，亦称亦称滞后因子滞后因子。洛仑兹条件洛仑兹条件结束结束在正弦稳态电磁场中，若已求得在正弦稳态电磁场中，若已求得A，可求其它场量。，可求其它场量。说明在正弦态电磁场中，其它场量可仅由说明在正弦态电磁场中，其它场量可仅由 表示。表示。对达朗贝尔方程对达朗贝尔方程 (1) (1) 两边取散度两边取散度 得得代入代入洛仑兹条件洛仑兹条件交换微分次序交换微分次序将达朗贝尔方程将达朗贝尔方程 (2)(2)代入上式，得代入上式，得 整理得整理得电流连续性方程电流连续性方程即即证毕证毕。它表明洛仑兹条件（它表明洛仑兹条件（ ）隐含着重要的物理意义）隐含着重要的物理意义。
