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1、Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.为了保证插值多项式 能更好地逼近 ，对 增加一些约束条件，例如要求 在某些结点处与 相切，即具有相同的导数值.一、Hermite插值问题求一个次数不大于n+r+1的代数多项式 ，满足：-(1)1称以上的插值问题为Hermite插值问题.注意：式(1)包含n+r+2个条件，所以能够确定次数不大于n+r+1的代数多项式 .二、Hermite插值公式推导令-(2)其中， 都是n+r+1次待定多项式，并且它们满足以下条件：.2-(3)-(4)显然满足条件(3),(4)的多项式
2、(2)的次数不大于n+r+1次，且满足插值条件(1).1.求解 由条件(3)知 是 的二重零点 . 3且由条件(3)知 是 的零点 . 其中，A,B是待定系数即 -(5)4由上述两式解得：5将A,B代入式(5)，得-(6)6其中，7-(7)将C代入式(7)，得-(8)8其中，2.求解 综合(1)(2)得到 即式(6),(8)由条件(4)知 是 的二重零点 . 9且由条件(4)知 是 的零点 . -(9)将D代入式(9)，得-(10)10其中，由式(2)(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值多项式其中由式(6)(8)(10)所表示的多项式称为Hermite插值基函数证明：11存在性已由上面推导，下证唯一性.反证法，设插值问题式(1)有两个不同的解 令12证明：1314-(11)15-(12)16例1.解:17作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值18
