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1、1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满足关系式足关系式，则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）变式训练：变式训练：1.2 已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，所在平面内的一定点，动点点P满足足，则动点点P的的轨迹一定通迹一定通过ABC的（的（ ）A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心1.3已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，所在平面内的一定点，动点点P满足足，A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心，则动点，则动点P的轨迹的轨迹一定通过一定通过ABC的（的（ ）1.1 在同一平面上，有在同一平面上，有ABC及一点及一点满足关系式足关系
2、式，则A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心是是ABC的（的（ ）解：由解：由即：即：化化简有：有：同理有：同理有：为的垂心的垂心. .B变式训练：变式训练：1.2 已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，所在平面内的一定点，动点点P满足足，则动点点P的的轨迹一定通迹一定通过ABC的（的（）A内心内心B垂心垂心C外心外心D重心重心解：由已知解：由已知所以所以动点点P的的轨迹一定通迹一定通过ABC的内心的内心. A变式训练：变式训练：ABCDEFP1.3已知已知O是是ABC所在平面内的一定点，所在平面内的一定点，动点点P满足足，A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心，则动点，则动点P的轨迹
3、的轨迹一定通过一定通过ABC的（的（ ）解：由正弦定理知：解：由正弦定理知：又又所以所以故点故点P轨迹通迹通过ABC的重心的重心D变式训练：变式训练：的外接的外接圆的的圆心心为O，两条，两条边上的高的交点上的高的交点为H，则实数数 解法一：解法一：特例法特例法为一个直角三角形，一个直角三角形，则O点斜点斜边的中点，的中点，设设顶点，这时有顶点，这时有H点为直角点为直角， 高考真题再现解法二：解法二：连BO延延长交交 O于于D，连AD、CD.CHDA同理，同理，AHDC，又又OHABDC 四边形四边形AHCD为平行四边形为平行四边形CAHBOABCOGH三角形的欧拉线：三角形的欧拉线： 外心外心
4、O、重心、重心G、垂心、垂心H三点共线且三点共线且OG = = GHACBDPENM解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理例例2. 设P为ABC内一点，且内一点，且满足足，则典型例题典型例题法二：法二：构造三角形的重心构造三角形的重心 取点取点D使得使得则点点P为ABD的重心的重心，连接，连接BD,PDABC例例2.设P为ABC内一点，且内一点，且满足足，则变式训练：变式训练：2.1 已知已知P为ABC内一点，且内一点，且满足足，则面面积之比之比为2.2 设O为ABC内一点，内一点，记，则变式训练：变式训练：2.1 已知已知P为ABC内一点，且内一点，且满足足，则面面积之比之
5、比为解法一：利用平面向量基本定理解法一：利用平面向量基本定理得得 由由2.1 已知已知P为ABC内一点，且内一点，且满足足，则面面积之比之比为法二：构造三角形及重心法二：构造三角形及重心则P为的重心的重心.令令解法一：特例法取解法一：特例法取O为ABC的重心，的重心，则2.2 设O为ABC内一点，内一点，记，则变式训练：变式训练： BODE2.2设O为ABC内一点，内一点，记，则由题知由题知法二：法二：过O分分别作作、的平行的平行线OD、OE，交交于于D，交，交于于E，则引申：引申： 设设O为为ABC内一点，内一点，记记= =m, , 则则分别为分别为 2、已知、已知A、B、C是平面上不共是平面上不共线的三点，的三点，O为平面平面ABC内内A内心内心 B垂心垂心C外心外心D重心重心任一点，动点任一点，动点P满足等式满足等式则动点则动点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的（的（ ）3、已知、已知G为ABC的重心，令的重心，令点点G分分别交交AB，AC于于P，Q两点，且两点，且，则，若，若PQ过过4、ABC外接外接圆的的圆心心为O，且，且，则角角1、ABC中三边长分别为O为ABC所在平面内一点，若A 外心 B内心C重心D垂心，则O为ABC的（ ）课后作业
