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1、第一章第四课时：第一章第四课时：因式分解因式分解 要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析课时训练课时训练要点、考点聚焦要点、考点聚焦2.2.因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二次三项式型：二次三项式型：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+
2、b)(4)(4)分组分解法：分组分解法：分组后能提公因式；分组后能提公因式；分组后能运用公式分组后能运用公式. .1.1.因式分解的定义因式分解的定义把一个多项式化为把一个多项式化为n n个整式的积的形式，叫做把这个个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解式分解因式多项式因式分解式分解因式. .3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”、三、三“分分”、四、四“查查”：(1)(1)一一“提提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来必须先提出来. .(2)(2)二二“套套”：若多项式的各项无公因式：若多
3、项式的各项无公因式( (或已提出公或已提出公因式因式) )，第二步则看能不能用公式法或用，第二步则看能不能用公式法或用x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型分解型分解. .(3)(3)“三三分分”：若若以以上上两两步步都都不不行行，则则应应考考虑虑分分组组分分解解法法，将将能能用用上上述述方方法法进进行行分分解解的的项项分分成成一一组组，使使之之分分组组后后能能“提提”或或能能“套套”，当当然然要要注注意意其其要要分分解解到到底底才才能能结束结束. .(4)(4)四四“查查”：可可以以用用整整式式乘乘法法检检查查因因式式分分解解的的结结果果是是否正确否正确. .要点、考点聚焦要
4、点、考点聚焦3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x x2 2-y -y B.x x2 2+2x+2xC.x x2 2+y+y2 2 D.x x2 2-xy+y-xy+y2 2 课前热身课前热身1.(2007年年南京南京)分解因式：分解因式：3x3x2 2-3=-3= . 2.(2008河北河北)分解因式：分解因式： X X2 2+2xy+y+2xy+y2 2-4=-4= . 3(x+1)(x-1)3(x+1)(x-1)(x+y+2)(x+y-2)(x+y+2)(x+y-2)B4.(2007年年济南济南)分解因式：分解因式：a a2 2
5、-4a+4=-4a+4=. (a-2)(a-2)2 25.(20085.(2008年年桂林桂林) )分解因式：分解因式：a a3 3+2a+2a2 2+a=+a= . .6.6.(2006(2006年年呼和浩特呼和浩特) )将下列式子因式分解将下列式子因式分解 x-x x-x2 2-y+y-y+y2 2= = . .a(a+1)2(x-y)(1-x-y)(x-y)(1-x-y)课前热身课前热身7.(2007年年大连试验区大连试验区)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根为的两根为x x1 11 1，x x2 22 2，则，则x x2 2+bx+c+
6、bx+c分解因式的结果为：分解因式的结果为： . 8.(2008年年北京市北京市)分解因式：分解因式：x x2 2-4y-4y2 2+x-2y=+x-2y= . . (x-2y)(1+x+2y)(x-2y)(1+x+2y)课前热身课前热身（x-1x-1）(x-2)(x-2)典型例题解析典型例题解析【例【例1】 因式分解：因式分解：(1)-4x2y+2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；解：解：(1)原式原式=-2xy(2x-y+6)(2)原式原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1)(3)原式原式=3(x+y)+2
7、(x-y)3(x+y)-2(x-y) =(5x+y)(x+5y)解：解：(4)原式原式=(9a2)2-1 =(9a2+1)(9a2-1) =(3a+1)(3a-1)(9a2+1)典型例题解析典型例题解析【例【例1】 因式分解：因式分解：(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.(5)原式原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4(6)原式原式=(a+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2【例例2】因式分解：因式分解：-3an-1+12an-12an+1(n1的正整数的正整数). 解：原式解：原式=-3an-11
8、-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1) =-3an-1(1-4a+4a2) =-3an-1(2a-1)2【例【例3】 因式分解：因式分解：(1)m3+2m2-9m-18；典型例题解析典型例题解析解：解：(1)原式原式=(m3+2m2)-(9m+18) =m2(m+2)-9(m+2) =(m+2)(m2-9) =(m+2)(m-3)(m+3)或者：或者：原式原式=(m3-9m)+(2m2-18) =m(m2-9)+2(m2-9) =(m2-9)(m+2) =(m-3)(m+3)(m+2)解：解：(2)原式原式=a2-(b2+2bc+c2) =a2-(b+c)2 =(a+b+c)(a-b
9、-c)(3)原式原式=(x2)2-5(x2)+4 =(x2-4)(x2-1) =(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)(4)原式原式=x3-x2-x2-5x+6 =x2(x-1)-(x2+5x-6) =x2(x-1)-(x+6)(x-1) =(x-1)(x2-x-6) =(x-1)(x-3)(x+2)典型例题解析典型例题解析【例【例3】 因式分解：因式分解：(2)a2-b2-c2-2bc；(3)x4-5x2+4；(4)x3-2x2-5x+6.【例例4】求证：对于自然数求证：对于自然数n，2n+4-2n能被能被30整除整除. 解：解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n
10、=1522n-1=302n-1. n为自然数时，为自然数时，2n-1为整数，为整数，2n+4-2n能被能被30整除整除.【例【例5】分解因式：分解因式：x3+6x2+11x+6. 解：方法一：原式解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6 =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x2+3x+2) =(x+3)(x+1)(x+2)典型例题解析典型例题解析方法二：原式方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6=x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x2+4x+3)=(x+2)(x+1)(x+3)方法三：原式方法三：原式=x3+x2+5x
11、2+5x+6x+6=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)=(x+1)(x2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)方法四：原式方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6)=x(x2+5x+6)+(x2+5x+6)=(x2+5x+6)(x+1)=(x+2)(x+3)(x+1) 典型例题解析典型例题解析1.1.因式分解应进行到底因式分解应进行到底. .如：分解因式：如：分解因式：x x4 4-4=(x-4=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-2)-2)=(x=(x2 2+2)(x+ )(x- ).+2)(x+ )(x- ).应在实数范围内将它分解到底应在实数范围内将它分解
12、到底. .又如：分解因式又如：分解因式:2:22 2-8-8x-6=2(xx-6=2(x2 2-4x-3)-4x-3)令令x x2 2-4x-3=0-4x-3=0，则则x= = =2x= = =22x2x2 2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )2.2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. .如如:(:(a a2 2+b+b2 2) )-4a-4a2 2b b2 2 =(a =(a2 2+b+b2 2+2ab)(a+2ab)(a2 2+b+b2 2-2ab)-2ab) =(a+b) =(a+b
13、)2 2(a-b)(a-b)2 2 = =(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 2 =(a =(a2 2-b-b2 2) )2 2 =a =a4 4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4实际该题到第实际该题到第2 2个等于号就分解到底了，不能再向下个等于号就分解到底了，不能再向下计算了计算了! !3.3.注意解题的技巧的应用，不能死算注意解题的技巧的应用，不能死算. .如：分解因式如：分解因式( (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9= =(x+1)(x+7)(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)-9-9=(x=
14、(x2 2+8x+7)(x+8x+7)(x2 2+8x+15)-9+8x+15)-9= =( (x x2 2+8x+8x)+7)+7( (x x2 2+8x+8x)+15)+15-9-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+105-9)+105-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+96)+96=(=(x x2 2+8x+8x +6)( +6)(x x2 2+8x+8x +16) +16)=(x=(x2 2+8x+6)(x+4)+8x+6)(x+4)2 2课时训练课时训练1.(2008年年福州
15、市福州市)分解因式：分解因式：a2-25= .2. (2008年年陕西陕西)分解因式：分解因式：x3y2-4x= .3. (2008年年长沙长沙)分解因式：分解因式：xy2-x2y=. x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a-5)xy(y-x)y(x-2)24. (2007年年青海青海)分解因式：分解因式：x2y-4xy+4y=. 5. (2008年年哈尔滨哈尔滨)分解因式：分解因式：a2-2ab+b2-c2=. (a-b+c)(a-b-c)7. (2008年年北京北京)多项式多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为分解因式的结果为 ( ) A. (a-b)(a+b+c) B. (a-b)(a+b- -c) C. (a+b)(a+b-c) D. (a+b)(a-b+c)8. (2008年年宁夏宁夏)把多项式把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结分解因式的结 果为果为 ( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)AB课时训练课时训练6. (2008年年甘肃甘肃)为使为使x2-7x+b在整数范围内可以分解在整数范围内可以分解因式，则因式，则b可能取的值为可能取的值为. （任写一个）（任写一个）
