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1、推广推广第八章第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 1高等数学81多元函数微分法及其应用第一节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性多元函数的基本概念多元函数的基本概念 2高等数学81多元函数微分法及其应用一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, ,( (圆邻域圆邻域) )3高等数学81多元函数微分法及其应用说
2、明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为在空间中在空间中, ,( (球邻域球邻域) )4高等数学81多元函数微分法及其应用在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为。因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. .5高等数学81多元函数微分法及其应用2. 区域区域(1) 内点、外点、边界内点、外点、边界点点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若若存在存在点点 P 的的某邻域某邻域 U(P) E , 若若存在存在点点 P 的的某邻域某邻域 U
3、(P) E = , 若对点若对点 P 的的任一邻域任一邻域 U(P) 既既含含 E中的内点中的内点也也 含含 E的外点的外点 ,则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于的边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . 6高等数学81多元函数微分法及其应用(2) 聚点聚点若对若对任意任意给定的给定的 , ,点点P 的的去心去心邻域邻域内内总有总有E 中的点中的点 , 则则称称 P 是是 E 的的聚
4、点聚点.3.聚点可以属于聚点可以属于 E , 也可以不属于也可以不属于 E ( (因为聚点可以为因为聚点可以为 E E 的边界点的边界点 ) )1.内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：2.边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；7高等数学81多元函数微分法及其应用D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集； 若点集若点集 E E , 则称则称 E 为为闭集闭集； 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折的折线相连线相连 ,则称则称 D 是是连通连通的的 ; 开区域连同它的边界一起称为开
5、区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. . 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界, 记作记作 E ;9高等数学81多元函数微分法及其应用例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域10高等数学81多元函数微分法及其应用 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域也是最大的闭域；但非区域但非区域 .o11高等数学81多元函数微分法及其应用有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，12高等数学81多元函数微分法及其应用3. n 维空间维
6、空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中称为空间中称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标 .记作记作即即的一个的一个点点, 当所有坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作 O .13高等数学81多元函数微分法及其应用的距离距离记作中点中点 a 的的 邻域邻域为为规定为规定为 与零元 O 的距离为14高等数学81多元函数微分法及其应用二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式15高等数学81多元函数微分法及其应用
7、二元函数的定义二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数16高等数学81多元函数微分法及其应用二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）18高等数学81多元函数微分法及其应用二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.19高等数学81多元函数微分法及其应用例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:20高等数学81多元函数微分法及其应用例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为21高等数学81多元函数微分法及其应用例例2 2 求求 的定义域的定义域解：要使函数有意义，必须解：要使函数
8、有意义，必须即即定义域定义域22高等数学81多元函数微分法及其应用定义定义2. 设设 n 元函数元函数则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n =2 时时, 记记P0 是是 D 的聚点的聚点若存在常数若存在常数 A ,使得使得:记作记作都有都有三、多元函数的极限三、多元函数的极限23高等数学81多元函数微分法及其应用说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似24高等数学81多元函数微分法及其应用仅知其中一
9、个存在仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在推不出其它二者存在.(4)二重极二重极限限不同不同. 如果它们都存在如果它们都存在, 则三者相等则三者相等.例如例如,显然显然与累次极限与累次极限由后由后例例6 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在 .25高等数学81多元函数微分法及其应用例例3 3 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立26高等数学81多元函数微分法及其应用例例4 4 求极限求极限 当当 时，时，所以所以解解27高等数学81多元函数微分法及其应用例例5 5 求极限求极限 解解其中其中28高等数学81多元函数微分法及其应用趋于不同值或有的极限不存在趋于不同
10、值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,在点在点 (0, 0) 没有极限没有极限.则可以断定函数则可以断定函数则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 . 若当点若当点以不同方式趋于以不同方式趋于极限不存在极限不存在 .例6. 证明函数证明函数函数函数29高等数学81多元函数微分法及其应用例例7 7 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在30高等数学81多元函数微分法及其应用四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义
11、定义3 . 设设 n 元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D 上连续上连续.如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点 .则称则称 n 元函数元函数连续连续, 32高等数学81多元函数微分法及其应用例如例如, 函数函数在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函函数数上间断上间断. 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周33高等数学81多元函数微分法及其应用例例9 9 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解：解： 由前面的讨论可知由前
12、面的讨论可知，所以该函数在原点连续。所以该函数在原点连续。34高等数学81多元函数微分法及其应用多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.35高等数学81多元函数微分法及其应用解解: : 原式例11.求求36高等数学81多元函数微分法及其应用定
13、理定理：若若 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续, 则则在在 D 上至少可取得最大值上至少可取得最大值 M 及最小值及最小值 m 一次一次;(3) 对任意对任意(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上上取得两个不同的函数值，则它在取得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这上取得介于这两值之间的任何值至少一次两值之间的任何值至少一次37高等数学81多元函数微分法及其应用思考题思考题38高等数学81多元函数微分法及其应用思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取39高等数学81多元函数微分法及其应用 作业作业P11 5 (2), (4), (6); 6 (2), (3), (5), (6); 7.40高等数学81多元函数微分法及其应用
