《数值分析数值积分与数值微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析数值积分与数值微分（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、LOGO数值分析数值分析主讲主讲 侯晓慧侯晓慧第四章第四章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 其中其中F(x)是是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。而在的原函数之一，可用不定积分求得。而在实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出。实际问题中，大量函数的原函数不容易或根本无法求出。例如，概率统计中常用的概率积分例如，概率统计中常用的概率积分 , ,及积分及积分 等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也无法精确等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。计算其定积分，只能运用数值积分。计算定积分可用牛顿莱布尼兹公式计算计算定积分可用牛顿莱布
2、尼兹公式计算Company name1 1 数值积分和代数精确度数值积分和代数精确度一、数值积分公式一、数值积分公式 在区间在区间a, ba, b上的定积分上的定积分 其某个数值积分公其某个数值积分公式就是在区间式就是在区间a, ba, b内取内取n+1n+1个点个点x x0 0,x,x1 1,x xn n。利用被。利用被积函数积函数f(xf(x) )在这在这n+1n+1个点的函数值的某一种线性组合来个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待定求定积分的值，即近似作为待定求定积分的值，即 右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其中中x xk k为积
3、分节点，为积分节点，A Ak k为相应的求积系数。因此，一个数为相应的求积系数。因此，一个数值积分公式关键在于积分节点值积分公式关键在于积分节点x xk k的选取和积分系数的选取和积分系数A Ak k的的决定，其中决定，其中A Ak k与被积函数与被积函数f(xf(x) )无关。无关。Company name1 1 数值积分和代数精确度数值积分和代数精确度二、积分公式的代数精确度二、积分公式的代数精确度 定义：若积分定义：若积分 的数值积分公式的数值积分公式对于任意一个次数不高于对于任意一个次数不高于m m次的多项式都精确成立，而次的多项式都精确成立，而存在一个存在一个m+1m+1次多项式使之
4、不精确成立，则称该数值积次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为分公式的代数精确度为m m。 对于代数精确度为对于代数精确度为m m的求积公式，若的求积公式，若f(xf(x) )是不超过是不超过m m次的代数多项式，求积公式是精确成立的。次的代数多项式，求积公式是精确成立的。Company name这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积，近似这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积，近似地用两个梯形面积来代替。地用两个梯形面积来代替。解：解：代入代入 P0 = 1： 而数值积分而数值积分1/21+2+1=2 两端相等两端相等代入代入 P1 = x ： 数值积分数值积分1/2-1+
5、2*0+1=0 两端相等两端相等代入代入 P2 = x2 ： 数值积分数值积分1/2(-1)2+2*0+12=1 两端不等两端不等代数精确度代数精确度 = 1例如，有积分公式例如，有积分公式 求其代数精确度求其代数精确度Company name例：在如下求积公式中，求积分节点例：在如下求积公式中，求积分节点x1,x2x1,x2和相应的和相应的求积系数求积系数A1,A2A1,A2使其代数精确度尽可能高。使其代数精确度尽可能高。Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式一、一、Newton-CotesNewton-Cotes公式的推导公式的推导将区间将区间 a,bna,b
6、n等分，记等分，记这这n n1 1个节点上的函数值为个节点上的函数值为f(xf(xk k) )从而区间从而区间 a,ba,b 上的拉格朗日插值多项式为上的拉格朗日插值多项式为其中其中l lk k(x(x) )为插值基本多项式，与为插值基本多项式，与f(xf(x) )无关。无关。 Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式 因为因为 故故 因为因为 作积分变量代换作积分变量代换 由于插值节点是等距节点，故可进一步化简：由于插值节点是等距节点，故可进一步化简：Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式 当当x=ax=a时，时，t=0, t=0,
7、当当x=nx=n时，时，t=n; t=n; 故故记记 k=0,1,nk=0,1,n 我们称我们称 为柯特斯系数，其不仅与函数为柯特斯系数，其不仅与函数f(xf(x) )无关，而无关，而且与积分区间且与积分区间 a,ba,b 无关。无关。 Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式可以得到系数表可以得到系数表于是我们得到于是我们得到N N阶阶Newton-CotesNewton-Cotes公式：公式： Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式这是一类数值积分公式：这是一类数值积分公式：1.建立在等距积分节点上建立在等距积分节点上;2.是封闭型
8、的，即两个端点是封闭型的，即两个端点a,b也是积分节点也是积分节点;3.是由拉格朗日插值公式推导而得到的。是由拉格朗日插值公式推导而得到的。Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式二、二、Cotes系数系数 的性质的性质 引理：引理：n阶阶N-C公式的代数精确度至少是公式的代数精确度至少是n。证明：如果证明：如果f(x)是一个次数不超过是一个次数不超过n次的多项式，则次的多项式，则 其拉格朗日插值公式的差值余项为：其拉格朗日插值公式的差值余项为：故故Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式这是对一切这是对一切x x均相等，精确成立。所以：
9、均相等，精确成立。所以： 即数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故即数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故N-CN-C公公式的代数精确度至少是式的代数精确度至少是n n。结论：当结论：当n n为奇数时，为奇数时，n n阶阶N-CN-C公式的代数精确度为公式的代数精确度为n;n; 当当n n为偶数时，为偶数时，n n阶阶N-CN-C公式的代数精确度为公式的代数精确度为n+1n+1。Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式性质性质1 1：归一公式：归一公式 证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为n n，故对，故对于于f(xf
10、(x)=1,)=1,数值积分公式是精确成立的数值积分公式是精确成立的而而由上述两式相等得到：由上述两式相等得到：从课本上的系数表可以看出表中每行和等于从课本上的系数表可以看出表中每行和等于1. 1. Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式性质性质2 2：对称性：对称性 证明：从柯特斯系数公式中证明：从柯特斯系数公式中作变量代换作变量代换令令t=t=n-sn-s, ,则则dtdt=-=-dsds当当t=0t=0时，时，s=n; s=n; 当当t=nt=n时，时，s=0s=0；T-j=T-j=n-s-jn-s-j=-(=-(s-(n-js-(n-j)在对在对j j求积
11、的求积的中，中，j j从从0 0到到n n，且，且jn-kjn-k，令令n-jn-j=i=i，则在对，则在对i i求积的求积的中，中，i i从从0 0到到n n，且，且ikik。Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式 求求中共有中共有n n个因子，每个因子有个负号，个因子，每个因子有个负号，dtdt中有个负号。中有个负号。积分上下限交换时要用个负号。则积分上下限交换时要用个负号。则式中，因式中，因n+kn+k和和n-kn-k的奇偶性相同（差的奇偶性相同（差2k2k）有）有(-1)(-1)n+kn+k=(-1)=(-1)n-k.n-k. 在课本中的柯特斯系数表中：在
12、课本中的柯特斯系数表中：1.1.第第n n行表示行表示n n阶阶N-CN-C公式的系数，共有公式的系数，共有n+1n+1个。个。2.2.从表中可以看到各行和等于从表中可以看到各行和等于1 1，且各系数与积分区间无关。，且各系数与积分区间无关。3.3.当当n8n8时，柯特斯系数出现负数，这意味着时，柯特斯系数出现负数，这意味着 这就会产生数值不稳定性，因此高阶这就会产生数值不稳定性，因此高阶N-CN-C公式的效果并不理公式的效果并不理想，尽管其代数精确度也更高。想，尽管其代数精确度也更高。Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式三、常用的三、常用的N-CN-C公式公式
13、1.1.梯形公式梯形公式n=1n=1时，积分节点为时，积分节点为x x0 0=a,x=a,x1 1=b,=b,则数值积分公式为：则数值积分公式为：2.2.抛物线（辛普森）公式抛物线（辛普森）公式n=2n=2时，积分节点为时，积分节点为x x0 0=a,x=a,x1 1=(a+b)/2,x=(a+b)/2,x2 2=b,=b,柯特斯系数为柯特斯系数为数值积分公式为数值积分公式为Company name2 2 等距节点的求积公式等距节点的求积公式1.1.柯特斯公式柯特斯公式n=4n=4时，积分节点为时，积分节点为x x0 0=a,x=a,x4 4= =b,xb,xk k= =a+kh,ha+kh,
14、h=(b-a)/4,=(b-a)/4,柯特斯系数为柯特斯系数为则数值积分公式为：则数值积分公式为：Company name 复化求积公式复化求积公式随着随着n的增加可以减少积分误差，但高次插值会造成数值的增加可以减少积分误差，但高次插值会造成数值不稳定，故采用分段低次插值不稳定，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复合复合求积公式。求积公式。 复合梯形公式：复合梯形公式：在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：Company name复化复化 Simpson 公式：公式：将区间将区间a,b等分等分n等份，等份，n为偶数为偶数(n=2m)= SCompa
15、ny name1.1.梯形公式的截断误差梯形公式的截断误差梯形公式的代数精确度为梯形公式的代数精确度为1 1。2.2.抛物线（辛浦生）公式的截断误差抛物线（辛浦生）公式的截断误差抛物线公式的代数精确度为抛物线公式的代数精确度为3 3。NewtonNewtonCotesCotes公式的截断误差公式的截断误差Company name3 3 龙贝格算法龙贝格算法 在在实实际际计计算算中中为为了了保保证证计计算算的的精精度度，往往往往首首先先用用分分点点x xk k= =a a+ +khkh, , ( (k k=0,1,=0,1,n n) )将将区区间间a a, ,b b分分成成n n个个相相等等的的
16、子子区区间间，而而后后对对每每个个子子区区间间再再应应用用梯梯形形公公式或式或SimpsonSimpson公式，分别得到：公式，分别得到： Company name3 3 龙贝格算法龙贝格算法容易验证：容易验证： 递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特点。和便于在计算机上实现的特点。 Company name3 3 龙贝格算法龙贝格算法 例：用例：用RombergRomberg公式计算积分公式计算积分 解：按解：按RombergRomberg公式的求积步骤进行计算，结果如下：公式的求积步骤进行计算，结果如下：这里这里计算
17、计算Company name3 3 龙贝格算法龙贝格算法计算计算Company name3 3 龙贝格算法龙贝格算法计算计算Company name3 3 龙贝格算法龙贝格算法 把把区区间间再再分分半半，重重复复步步骤骤(4)(4)，可可算算出出结结果果：T T1616=3.14094,=3.14094,S S8 8=3.14159,=3.14159,C C4 4=3.14159,=3.14159,R R2 2=3.14159=3.14159 至至此此得得| |R R1 1- -R R2 2|0.00001|0.00001，因因为为计计算算只只用用小小数数点点后后五五位，故精确度只要求到位，故
18、精确度只要求到0.000010.00001。因此积分。因此积分 Company name 例：例： 其其中中，x x0 0,x,x1 1固固定定在在-1,1-1,1，A A0 0,A,A1 1可可调调节节，只只有有两两个个自自由由度度，得得到到的的是是梯梯形形公公式式，其其代代数数精精确确度度只只有有1 1。如如果果对对求求积积节节点点x x0 0,x,x1 1也也进进行行适适当当选选取取，将将有有四四个个自自由由度度，得到如下公式得到如下公式 这这个个积积分分公公式式的的代代数数精精确确度度为为3.3.这这就就是是高高斯斯型型求求积积公式，上面的求积节点公式，上面的求积节点 称为高斯点。称为
19、高斯点。4 Gauss4 Gauss型求积公式型求积公式Company name 一、一、GaussGauss型求积公式和型求积公式和GaussGauss点点4 4 高斯型求积公式高斯型求积公式构造具有构造具有2n+1次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都都作为待定系数。作为待定系数。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式具有具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点点，公式称为公式称为Gauss 型求积公式型求积公式。定义：定义：如
20、果如果n n+1+1个求积节点的求积公式的代数精确个求积节点的求积公式的代数精确度为度为2 2n n1 1，则这，则这n n+1+1个求积节点称为个求积节点称为Gauss点点。Company name证明：证明： “” x0 xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次的次数数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立精确成立：0= 0 “” 要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意点，即要证公式对任意次数次数不大于不
21、大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：精确成立，即证明：设设0 x0 xn 为为 Gauss 点点 与与任任意意次次数数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x) （带权）正交带权）正交。定理定理求求 Gauss 点点 求求w(x)Company name 例：例： + + 101100)()()(xfAxfAdxxfxStep 1：构造正交多项式构造正交多项式 2设设cbxxxaxxx+ + += =+ += = =2210)(,)(, 1)( 53- -= =a0)(10= =+ + dxaxx0),(10= = = =+ + +- -= = =+ + += =10
22、21102200)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910= =- -= =cb即：即：Company nameStep 2：求求 2 = 0 的的 2 个根，即为个根，即为 Gauss 点点 x0 ，x1Step 3：代入代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1解解线性线性方程组，方程组，简单。简单。结果与前一方法相同：结果与前一方法相同： 利用此公式计算利用此公式计算 的的值值Company name 二、二、Gauss-Legendre求积公式求积公式4 4 高斯型求积公式高斯型求积公式1.Legendre多项式多项式 其具有前面提到的
23、正交的性质，即对于任意次数不其具有前面提到的正交的性质，即对于任意次数不超过超过n n的多项式的多项式q(xq(x) )，成立，成立 因此，多项式因此，多项式P Pn+1n+1(x)(x)的零点就是相应的的零点就是相应的Gauss-Legendre公式的高斯点。公式的高斯点。Company nameLegendre多项式的前几项如下：多项式的前几项如下：4 4 高斯型求积公式高斯型求积公式Company nameLegendre多项式的性质多项式的性质性质性质1 1： Legendre多项式的首项系数为多项式的首项系数为性性质质2 2：当当n n为为奇奇数数时时，P Pn n(x(x) )为为
24、奇奇函函数数，当当n n为为偶偶数数时时， P Pn n(x(x) )为偶函数。为偶函数。性质性质3 3：对一切次数不高于：对一切次数不高于n-1n-1次的多项式次的多项式q(xq(x),),有有4 4 高斯型求积公式高斯型求积公式Company name4 4 高斯型求积公式高斯型求积公式 2.2.Gauss-Legendre求积公式求积公式（1 1）当）当n=0n=0时，时，P P1 1(x)=x(x)=x，其零点为，其零点为x x0 0=0=0，易得，易得A A0 0=2=2 的高斯勒让德求积公式是的高斯勒让德求积公式是2f(0)2f(0) 其代数精确度为其代数精确度为1 1。（2 2）
25、当当n=1n=1时时， ，其其零零点点为为 ，此时此时A A0 0=1=1，A A1 1=1=1， 的高斯勒让德求积公式是的高斯勒让德求积公式是 其代数精确度为其代数精确度为1 1。 以以此此类类推推，可可得得到到n=2,3n=2,3时时的的高高斯斯勒勒让让德德求求积积公公式式。课课本本中中表表4.54.5列列出出了了高高斯斯勒勒让让德德求求积积公公式式的的节节点和系数。点和系数。Company name4 4 高斯型求积公式高斯型求积公式三、高斯公式的余项三、高斯公式的余项Company name5 5 数值微分数值微分 导导数数是是用用极极限限来来定定义义的的，如如果果一一个个函函数数是是
26、初初等等函函数数，我我们们可可以以用用求求导导法法则则来来求求得得其其导导函函数数或或在在某某点点的的导导数数值值。如如果果我我们们只只知知道道一一个个函函数数在在若若干干已已知知离离散散点点上上的的函函数数值值，则则我我们们必必须须利利用用数数值值方方法法来来求求解解函函数数的的导导数数，这就是这就是数值微分数值微分。 一、插值型求导公式一、插值型求导公式 已已知知f(x)在在n+1个个点点上上的的函函数数值值，我我们们可可以以构构造造插插值值多多项项式式Pn(x)来来近近似似代代替替原原函函数数f(x)，从从而而可可以以利利用用Pn(x)来代替来代替f (x)，这就称为插值型求导公式。，这
27、就称为插值型求导公式。Company name5 5 数值微分数值微分插值型求导公式的截断误差：插值型求导公式的截断误差：因为因为所以所以数值微分的截断误差为数值微分的截断误差为由于我们只讨论在节点上的数值微分，而由于我们只讨论在节点上的数值微分，而 0于是于是一般地一般地Company name5 5 数值微分数值微分二、两点公式二、两点公式1.数值微分公式数值微分公式 设设y=f(x)在在点点xk，xk+1上上的的函函数数值值为为yk，yk+1，则则区区间间xk，xk+1上的线性插值函数为上的线性插值函数为 将将x分别用分别用xk，xk+1代入，得代入，得Company name5 5 数
28、值微分数值微分2.截断误差截断误差结论：用前差或后差代替导数的截断误差是结论：用前差或后差代替导数的截断误差是h量级。量级。Company name5 5 数值微分数值微分三、三点公式三、三点公式1.数值微分公式数值微分公式 设设y=f(x)在在点点xk-1，xk，xk+1上上的的函函数数值值分分别别为为yk1， yk，yk+1，则过这三点的二次插值多项式为，则过这三点的二次插值多项式为 将将x分别用分别用xk1，xk，xk+1代入，得代入，得Company name5 5 数值微分数值微分2.截断误差截断误差结论：用中心差代替导数得到的截断误差是结论：用中心差代替导数得到的截断误差是h2量级。量级。Company name5 5 数值微分数值微分3.二阶导数（二阶导数（3个点）的数值微分公式个点）的数值微分公式 过过三三点点xk-1，xk，xk+1上上的的函函数数值值分分别别为为yk1， yk，yk+1，则过这三点的二次拉格朗日插值多项式为，则过这三点的二次拉格朗日插值多项式为 相当于二阶差分，所以带余项的二阶三点公式为相当于二阶差分，所以带余项的二阶三点公式为Company name
