《高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第八章 第一节 直线的斜率与直线方程课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第八章 第一节 直线的斜率与直线方程课件 文（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 平面解析几何第一节 直线的斜率与直线方程1.1.表示直线方向的两个量表示直线方向的两个量（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角定义：定义：范围：范围：0 0，）. .（2 2）直线的斜率）直线的斜率定义：若直线的倾斜角定义：若直线的倾斜角不是不是9090, ,则其斜率则其斜率k=_;k=_;计算公式：若由计算公式：若由A A（x x1 1,y,y1 1）,B(x,B(x2 2,y,y2 2) )确定的直线不垂直于确定的直线不垂直于x x轴，则斜率轴，则斜率k=_.k=_.tan tan 2.2.直线方程的五种形式直线方程的五种形式名称名称已知条件已知条件方程方程适用范围适用范围点斜式点斜
2、式斜率斜率k k与点与点(x(x0 0,y,y0 0) )_不含直线不含直线x=xx=x0 0斜截式斜截式斜率斜率k k与直线在与直线在y y轴上的截距轴上的截距b b_不含垂直于不含垂直于x x轴的轴的直线直线两点式两点式两点两点(x(x1 1,y,y1 1) )，(x(x2 2,y,y2 2) )_不含直线不含直线x=xx=x1 1(x(x1 1=x=x2 2) )和直和直线线y=yy=y1 1(y(y1 1=y=y2 2) )y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )y=kx+by=kx+b（x x1 1xx2 2,y,y1 1yy2 2）名称名称已知条件已知条件方程方程适用
3、范围适用范围截距式截距式直线在直线在x x轴、轴、y y轴上轴上的截距分别为的截距分别为a a，b b_不含垂直于坐标轴和不含垂直于坐标轴和过原点的直线过原点的直线一般式一般式_平面直角坐标系内的平面直角坐标系内的直线都适用直线都适用（a0,b0a0,b0）Ax+By+CAx+By+C=0=0（A A，B B不同时为不同时为0 0）判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .（1 1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( ).( )（2 2）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率）坐标平面内的任何一
4、条直线均有倾斜角与斜率.( ).( )（3 3）直线倾斜角）直线倾斜角的集合的集合|0|0180180 与直线集合建与直线集合建立了一一对应关系立了一一对应关系.( ).( )（4 4）过点）过点P P（1 1，1 1）的直线方程为）的直线方程为y-1=k(x-1)y-1=k(x-1)，kRkR.( ).( )（5 5）过点（）过点（a,0a,0）和（）和（0 0，b b）的直线方程为）的直线方程为 ( )( )（6 6）平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程）平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程.( ).( )【解析【解析】（1 1）正确）正确. .直线的倾斜角仅反映了直线相对于直线的
5、倾斜角仅反映了直线相对于x x轴的轴的倾斜程度，不能确定直线的位置倾斜程度，不能确定直线的位置. .（2 2）错误）错误. .当倾斜角当倾斜角=90=90时，其斜率不存在时，其斜率不存在. .（3 3）错误）错误. .倾斜角是倾斜角是0 0的直线有无数条的直线有无数条. .（4 4）错误）错误. .当斜率当斜率k k不存在时，直线方程为不存在时，直线方程为x=1.x=1.（5 5）错误）错误. .当当abab=0=0时，直线方程为时，直线方程为x=0x=0或或y=0.y=0.（6 6）错误）错误. .当直线与当直线与x x轴垂直时（没有斜率），不能用点斜式轴垂直时（没有斜率），不能用点斜式方程
6、表示方程表示. .答案：答案：（1 1） (2)(2) (3) (3) (4) (4) (5) (5) (6) (6)1.1.直线直线l经过原点和点（经过原点和点（-1-1，-1-1），则它的倾斜角），则它的倾斜角是是( )( )（A A）4545 （B B）135135（C C）135135或或225225 （D D）0 0【解析【解析】选选A.A.斜率斜率 又又0 0180180, ,倾斜角倾斜角为为4545. .2.2.某直线某直线l的方程为的方程为9x-4y=369x-4y=36，则，则l在在y y轴上的截距为轴上的截距为( )( )（A A）9 9 （B B）-9 -9 （C C）-
7、4 -4 （D D）【解析【解析】选选B.B.l的方程的方程9x-4y=369x-4y=36化为斜截式为化为斜截式为y= x-9y= x-9，其截距，其截距为为-9.-9.3.3.过点过点M M（-2,m-2,m），），N(m,4)N(m,4)的直线的斜率为的直线的斜率为1 1，则，则m m的值为的值为_._.【解析【解析】由斜率公式得：由斜率公式得： 解得解得m=1.m=1.答案：答案：1 14.4.已知直线已知直线l经过点经过点P(-2,5),P(-2,5),且斜率为且斜率为 则直线则直线l的方程的方程为为_._.【解析【解析】由直线的点斜式方程得，直线由直线的点斜式方程得，直线l的方程为
8、：的方程为：y-5= (x+2)y-5= (x+2)，即，即3x+4y-14=0.3x+4y-14=0.答案：答案：3x+4y-14=03x+4y-14=05.5.经过两点经过两点M(1,-2)M(1,-2)，N(-3,4)N(-3,4)的直线方程为的直线方程为_._.【解析【解析】经过两点经过两点M(1,-2)M(1,-2)，N(-3,4)N(-3,4)的直线方程为的直线方程为 即即3x+2y+1=0.3x+2y+1=0.答案：答案：3x+2y+1=03x+2y+1=06.6.过点过点M M（3 3，-4-4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为
9、程为_._.【解析【解析】当在两坐标轴上截距均为当在两坐标轴上截距均为0 0时，设方程为时，设方程为y=kxy=kx，又过又过M(3,-4)M(3,-4)，有有-4=3k,-4=3k,得得直线的方程为直线的方程为当在两坐标轴上的截距均不为当在两坐标轴上的截距均不为0 0时，时，设直线的方程为设直线的方程为由过点由过点M M（3 3，-4-4）得）得3+4=a,3+4=a,得得a=7,a=7,方程为方程为x-y-7=0.x-y-7=0.综上可知直线方程为综上可知直线方程为 或或x-y-7=0.x-y-7=0.答案：答案： 或或x-y-7=0x-y-7=0考向考向 1 1 直线的倾斜角与斜率直线的
10、倾斜角与斜率【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013西安模拟）点西安模拟）点A A（2 2，0 0）在直线）在直线l：xcos +ysinxcos +ysin +1=0(0 +1=0(0)上，则直线上，则直线l的倾斜角为的倾斜角为 ( )( )(A)30(A)30 (B)60 (B)60 (C)120 (C)120 (D)150 (D)150（2 2）（）（20132013宜春模拟）直线宜春模拟）直线xcosxcos y+2=0 y+2=0的倾斜角的的倾斜角的范围是范围是( )( )（3 3）已知点）已知点A(2,-3)A(2,-3)，B(-3,-2)B(-3,-2)，直线，直线l
11、过点过点P(1,1)P(1,1)且与线段且与线段ABAB有交点，则直线有交点，则直线l的斜率的斜率k k的取值范围为的取值范围为_._.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)由已知先求出角由已知先求出角的值，再求斜率，进而求的值，再求斜率，进而求倾斜角大小倾斜角大小. .（2 2）根据直线方程求出直线的斜率，由斜率的取值范围求直）根据直线方程求出直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围线倾斜角的取值范围. .（3 3）先确定直线）先确定直线PAPA，PBPB的斜率，再数形结合求解，或先写出的斜率，再数形结合求解，或先写出直线直线l的方程，再由点的方程，再由点A A，B B在直线在直线l的
12、异侧（或的异侧（或A A，B B之一在直线之一在直线l上）求解上）求解. .【规范解答【规范解答】（1 1）选）选A.A.因为点因为点A A（2 2，0 0）在直线）在直线l:xcos:xcos +ysin+ysin +1=0 +1=0上，所以，有上，所以，有2cos +1=02cos +1=0，即即又又0 0,而直线而直线l的斜率的斜率又直线的倾斜角又直线的倾斜角的范围是的范围是0 0180180，=30=30. .（2 2）选）选B.B.由由xcosxcos + y+2=0 + y+2=0得直线斜率得直线斜率设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为,则则结合正切函数在结合正切函数在 上的图像（如图
13、所示）可知，上的图像（如图所示）可知，（3 3）方法一：因为）方法一：因为A(2,-3)A(2,-3)，B(-3,-2)B(-3,-2)，P(1,1)P(1,1)，所以所以如图所示：如图所示：因此，直线因此，直线l的斜率的斜率k k的取值范围为的取值范围为k-4k-4或或方法二：依题设知，直线方法二：依题设知，直线l的方程为：的方程为：y-1=k(x-1)y-1=k(x-1)，即即kx-y+1-k=0,kx-y+1-k=0,若直线若直线l与线段与线段ABAB有交点，则有交点，则A A，B B两点在直线两点在直线l的异侧的异侧（或（或A A，B B之一在直线之一在直线l上），上），故故(2k+4
14、-k)(2k+4-k)(-3k+3-k)0(-3k+3-k)0，即即(k+4)(4k-3)0,(k+4)(4k-3)0,解得：解得：k-4k-4或或答案：答案：k-4k-4或或【互动探究【互动探究】本例题（本例题（3 3）变为：直线）变为：直线l： 与直线与直线2x+3y-6=02x+3y-6=0的交点位于第一象限，则的交点位于第一象限，则k k的取值范围如何？的取值范围如何？【解析【解析】直线直线l： 过定点过定点 作出两直线如图作出两直线如图所示，要使两者交点位于第一象限，从图中可以看出直线所示，要使两者交点位于第一象限，从图中可以看出直线l的的斜率的取值范围为斜率的取值范围为【拓展提升【
15、拓展提升】1.1.直线的斜率直线的斜率k k与倾斜角与倾斜角之间的关系之间的关系0 00 0909090909090180180k k0 0k k0 0不存在不存在k k0 02.2.斜率取值范围的两种求法斜率取值范围的两种求法（1 1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定借助图形，结合正切函数的单调性确定. .（2 2）构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的）构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率性质，抓住斜率k k满足的不等关系，构造不等式求解满足的不等关系
16、，构造不等式求解. .3.3.求倾斜角范围的两个关键点求倾斜角范围的两个关键点（1 1）求：求出斜率）求：求出斜率k=tan k=tan 的取值范围的取值范围. .（2 2）看：借助正切函数图像数形结合得到倾斜角的取值范围）看：借助正切函数图像数形结合得到倾斜角的取值范围. .【变式备选【变式备选】已知实数已知实数x,yx,y满足满足2x+y=8,2x+y=8,当当2x32x3时时, ,求求 的取值范围的取值范围. .【解析【解析】由由 的几何意义知的几何意义知, ,它表示点它表示点A(1,-1)A(1,-1)与线段与线段CDCD上上任一点任一点P(x,yP(x,y) )连线的斜率连线的斜率,
17、 ,如图如图. .线段的端点为线段的端点为C(2,4),D(3,2),C(2,4),D(3,2), 的取值范围是的取值范围是考向考向 2 2 直线的方程直线的方程【典例【典例2 2】（1 1）若直线）若直线l：（：（a+1a+1）x+y+2-a=0(aR)x+y+2-a=0(aR)在两坐标轴在两坐标轴上截距相等，则上截距相等，则a a的值为的值为_._.（2 2）已知直线）已知直线l过点过点P P（3,23,2）, ,且与且与x x轴、轴、y y轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于A,BA,B两点两点, ,如图所示如图所示, ,求求ABOABO的面积的最小值及此时直线的面积的最小值及此时直线l
18、的方程的方程. .【思路点拨【思路点拨】（1 1）要分截距均为）要分截距均为0 0，均不为，均不为0 0两种情况讨论两种情况讨论. .（2 2）先设出）先设出ABAB所在的直线方程，再求所在的直线方程，再求A A，B B两点的坐标或得到两点的坐标或得到系数满足的关系，将系数满足的关系，将ABOABO的面积用引入系数表示，最后利用的面积用引入系数表示，最后利用相关的数学知识求出最值相关的数学知识求出最值. .【规范解答【规范解答】（1 1）当直线过原点时，该直线在）当直线过原点时，该直线在x x轴和轴和y y轴上的轴上的截距均为截距均为0 0，a=2a=2；当直线不过原点时，当直线不过原点时，由
19、截距相等且均不为由截距相等且均不为0 0，得得 即即a+1=1a+1=1，a=0.a=0.综上可知，综上可知，a=0a=0或或a=2.a=2.答案：答案：0 0或或2 2(2)(2)方法一：由题可设直线方法一：由题可设直线l的方程为的方程为 (a(a0,b0,b0),0),则则A A（a,0a,0）,B(0,b).,B(0,b).l过点过点P P（3,23,2）, , 且且a3,b2.a3,b2.从而从而当且仅当当且仅当即即a=6a=6时时,(S,(SABOABO) )minmin=12,=12,此时此时此时直线此时直线l的方程为的方程为 即即2x+3y-12=0.2x+3y-12=0.方法二
20、：依题意知方法二：依题意知, ,直线直线l的斜率存在的斜率存在. .设直线设直线l的方程为的方程为y-2=k(x-3)(ky-2=k(x-3)(k0),0),则有则有A A（ 0 0）,B(0,2-3k),B(0,2-3k),当且仅当当且仅当 即即 时时, ,等号成立，等号成立，S SABOABO取最小值取最小值12.12.此时，直线此时，直线l的方程为的方程为2x+3y-12=0.2x+3y-12=0.方法三：由题可设直线方程为方法三：由题可设直线方程为 (a(a0,b0,b0),0),代入代入P P（3,23,2）, ,得得得得ab24,ab24,从而从而S SABOABO= ab12,=
21、 ab12,当且仅当当且仅当 时时, ,等号成立等号成立,S,SABOABO取最小值取最小值1212，此时此时此时直线此时直线l的方程为的方程为2x+3y-12=0.2x+3y-12=0.【互动探究【互动探究】在本例题（在本例题（2 2）的条件下，求）的条件下，求l在两坐标轴上的截在两坐标轴上的截距之和最小时直线距之和最小时直线l的方程的方程. .【解析【解析】设设l的斜率为的斜率为k(kk(k0)0)，则，则l的方程为的方程为y=k(x-3)+2,y=k(x-3)+2,令令x=0x=0得得B(0,2-3k),B(0,2-3k),令令y=0y=0得得A( 0),A( 0),l在两坐标轴上的截距
22、之和为在两坐标轴上的截距之和为( (当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立) )， 时，时，l在两坐标轴上截距之和最小，在两坐标轴上截距之和最小，此时此时l的方程为的方程为【拓展提升【拓展提升】1.1.利用待定系数法求直线方程的三个步骤利用待定系数法求直线方程的三个步骤【提醒【提醒】选方程时一定要注意方程的适用条件选方程时一定要注意方程的适用条件. .2.2.直线方程综合问题的两大类型及解法直线方程综合问题的两大类型及解法（1 1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中的）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中的x x，y y的的关系，将问题转化为关于关系，将问题转化为关于x x（或（
23、或y y）的函数，借助函数的性质解）的函数，借助函数的性质解决决. .（2 2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等质、基本不等式等) )来解决来解决. .【变式备选【变式备选】ABCABC的三个顶点为的三个顶点为A A（-3-3，0 0），），B B（2 2，1 1），），C C（-2-2，3 3），求：（），求：（1 1）BCBC所在直线的方程所在直线的方程. .（2 2）BCBC边上中线边上中线ADAD所
24、在直线的方程所在直线的方程. .（3 3）BCBC边的垂直平分线边的垂直平分线DEDE的方程的方程. .【解析【解析】（1 1）因为直线）因为直线BCBC经过经过B B（2 2，1 1）和）和C C（-2-2，3 3）两点，）两点，由两点式得由两点式得BCBC所在直线的方程：所在直线的方程：即即x+2y-4=0.x+2y-4=0.（2 2）设）设BCBC中点中点D D的坐标为（的坐标为（x,yx,y），），则则BCBC边的中线边的中线ADAD过过A A（-3-3，0 0），），D D（0 0，2 2）两点，）两点，由截距式得由截距式得ADAD所在直线方程为所在直线方程为即即2x-3y+6=0.
25、2x-3y+6=0.（3 3）直线）直线BCBC的斜率的斜率 则则BCBC的垂直平分线的垂直平分线DEDE的斜率的斜率k k2 2=2=2，由点斜式得直线由点斜式得直线DEDE的方程为的方程为2x-y+2=0.2x-y+2=0.【易错误区【易错误区】直线的倾斜角与斜率关系不清致误直线的倾斜角与斜率关系不清致误【典例【典例】（20132013合肥模拟）已知直线合肥模拟）已知直线2xsin +2y-5=02xsin +2y-5=0，则该直线的倾斜角的变化范围是则该直线的倾斜角的变化范围是_._.【误区警示【误区警示】解答本题容易出现的错误：认为直线斜率解答本题容易出现的错误：认为直线斜率k=k=t
26、an tan 在在0 0，）上是单调函数，从而根据）上是单调函数，从而根据k=-sin k=-sin -1-1，1 1，得到倾斜角，得到倾斜角 的错误结论的错误结论. .【规范解答【规范解答】由题意，得直线由题意，得直线2xsin +2y-5=02xsin +2y-5=0的斜率为的斜率为k=-sin .k=-sin .又又-1sin 1-1sin 1，所以，所以-1k1.-1k1.当当-1k-1k0 0时，倾斜角的变化范围是时，倾斜角的变化范围是 ）；）；当当0k10k1时，倾斜角的变化范围是时，倾斜角的变化范围是 . .故直线的倾斜角的变化范围是故直线的倾斜角的变化范围是 ）. .答案：答案
27、： ）【思考点评【思考点评】1.1.根据直线斜率根据直线斜率k k的取值范围求其倾斜角取值范围的注意点的取值范围求其倾斜角取值范围的注意点当根据直线斜率当根据直线斜率k k的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正确利用正切函数的图像定要注意正确利用正切函数的图像. .正切函数正切函数k=tan k=tan 在在0 0，）上并不是单调函数，因此当）上并不是单调函数，因此当k k的取值连续时，直线倾斜角的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断开的，如本题就是的取值范围有时却是断开的，如本题就是. .2.2.根据直线的倾斜角的范围求其斜率范围的注意点
28、根据直线的倾斜角的范围求其斜率范围的注意点当根据直线的倾斜角的范围求其斜率范围时，除了注意正切函当根据直线的倾斜角的范围求其斜率范围时，除了注意正切函数在数在0 0，）上并不是单调函数外，还要特别注意，当直线）上并不是单调函数外，还要特别注意，当直线的倾斜角为的倾斜角为 时，直线斜率是不存在的时，直线斜率是不存在的. . 1.1.（20132013铜陵模拟）倾斜角为铜陵模拟）倾斜角为120120，在，在x x轴上的截距为轴上的截距为-1-1的直线方程是的直线方程是( )( )【解析解析】选选D.D.由于倾斜角为由于倾斜角为120120，故斜率，故斜率又直线过点（又直线过点（-1-1，0 0）,
29、 ,所以方程为所以方程为即即2.(20132.(2013咸阳模拟咸阳模拟) )经过两点经过两点A A（4 4，2y+12y+1）,B(2,-3),B(2,-3)的直线的的直线的倾斜角为倾斜角为 则则y=( )y=( )（A A）-1 -1 （B B）-3 -3 （C C）0 0 （D D）2 2【解析【解析】选选B.B.由由得得y+2=tan =-1y+2=tan =-1，y=-3.y=-3.3.3.（20132013安庆模拟）设直线安庆模拟）设直线ax+by+cax+by+c=0=0的倾斜角为的倾斜角为，且，且sin +cossin +cos =0 =0，则，则a,ba,b满足满足( )(
30、)(A)a+b=1 (B)a-b=1(A)a+b=1 (B)a-b=1(C)a+b=0 (D)a-b=0(C)a+b=0 (D)a-b=0【解析解析】选选D.D.由已知得由已知得即即 ，又又sin +cos =0sin +cos =0，所以，所以sin =-cos sin =-cos ，由由得，得， 即即a=b,a=b,a-b=0.a-b=0.4.4.（20132013南昌模拟）设直线南昌模拟）设直线l的方程为的方程为x+ycosx+ycos +3=0 +3=0 (R),(R),则直线则直线l的倾斜角的倾斜角的范围是的范围是( )( )【解析【解析】选选C.C.当当coscos =0 =0时，
31、方程变为时，方程变为x+3=0x+3=0，其倾斜角为，其倾斜角为当当coscos 0 0时，由直线方程可得斜率时，由直线方程可得斜率coscos -1-1，1 1且且coscos 0, 0,k(-,-1k(-,-11,+)1,+)，tan (-,-1tan (-,-11,+).1,+).又又0,),0,),综上知，倾斜角综上知，倾斜角的范围是的范围是5.5.（20132013汉中模拟）过点汉中模拟）过点P P（2 2，1 1）的直线）的直线l交交x x轴、轴、y y轴正轴正半轴于半轴于A A，B B两点，求使两点，求使|PA|PA|PB|PB|最小时最小时l的方程的方程. .【解析【解析】设直
32、线的方程为设直线的方程为 (a(a2,b2,b1)1)，则则A(a,0),B(0,b).A(a,0),B(0,b).又又P P（2,12,1），），又又当且仅当当且仅当 即即a=b=3a=b=3时，取得最小值时，取得最小值. .此时直线此时直线l的方程为的方程为x+y-3=0.x+y-3=0.1.1.在平面直角坐标系中，矩形在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC，O O（0 0，0 0），），A A（2 2，0 0），），C C（0 0，1 1），将矩形折叠，使），将矩形折叠，使O O点落在线段点落在线段BCBC上，则折痕所在直上，则折痕所在直线斜率的范围为线斜率的范围为( )( )(A)(
33、A)0 0，1 1 (B)(B)0 0，2 2(C)(C)-1-1，0 0 (D)(D)-2-2，0 0【解析【解析】选选D.OD.O点落在线段点落在线段BCBC上，上，OO点与点与BCBC上的点关于折痕对称，上的点关于折痕对称，两点的连线与折痕垂直，两点的连线与折痕垂直，而而k kOCOC的斜率不存在，的斜率不存在，kk的取值范围为的取值范围为-2-2，0 0，故选故选D.D.2.2.如图所示，点如图所示，点A A，B B在函数在函数 的图像上，则直线的图像上，则直线ABAB的方程为的方程为_._.【解析【解析】如图所示，当如图所示，当 时，由正切函数图像时，由正切函数图像和性质得，和性质得， 得得x=2,x=2,故故A A点坐标为点坐标为(2,0).(2,0).同理得同理得B B点坐点坐标为标为(3,1)(3,1)，直线直线ABAB的方程为的方程为y=x-2y=x-2，即，即x-y-2=0.x-y-2=0.答案：答案：x-y-2=0x-y-2=0
