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1、第 2 篇工程结构可靠度设计原理7/23/2024本本课程研究的主要内容是什么？课程研究的主要内容是什么？R SR S讲：建筑结构可靠度原理讲：建筑结构可靠度原理教教 ：建筑结构可靠度评价方法：建筑结构可靠度评价方法学：处理实际工程问题的能力学：处理实际工程问题的能力7/23/2024开设结构可靠度理论的意义开设结构可靠度理论的意义- 建立工程设计不确定概念建立工程设计不确定概念- 理解结构设计规范编制原则基础理解结构设计规范编制原则基础- 掌握结构安全分析评估的基本方法掌握结构安全分析评估的基本方法如何学好本课程如何学好本课程一定的概率与统计数学基础一定的概率与统计数学基础不不追求数学逻辑的
2、严密性追求数学逻辑的严密性基本的结构专业知识基本的结构专业知识7/23/2024结构可靠度分析的几个基本概念结构可靠度分析的几个基本概念建筑结构建筑结构 -由基本构件按照一定规律组成由基本构件按照一定规律组成,能能够够 承受一定作用的房屋骨架承受一定作用的房屋骨架. 作作 用用 - 使结构产生内力与变形的所有因素使结构产生内力与变形的所有因素.直接作用直接作用 - 具体作用在结构上的力具体作用在结构上的力,荷载荷载. 间接作用间接作用 - 由于结构反应而产生效应的作用由于结构反应而产生效应的作用.荷载效应荷载效应 - S 构件抗力构件抗力 - R7/23/2024事物发展过程中的若干特性事物发
3、展过程中的若干特性确定性确定性随机性随机性模糊性模糊性- 事件的发生存在必然明确的因果关系事件的发生存在必然明确的因果关系- 个别事件发生具有不确定性个别事件发生具有不确定性,大量事大量事件件 的发生具有内在的规律性的发生具有内在的规律性- 事件自身的界限不事件自身的界限不清清不不完善性完善性 - 对事物认知程度的不完善性对事物认知程度的不完善性7/23/2024第第 7 章章 荷载的统计分析荷载的统计分析荷载的分类荷载的分类 (随时间变异随时间变异)永久荷载永久荷载 如如:结构自重结构自重 水压力水压力 预应力预应力 可变荷载可变荷载 如如:楼面活载楼面活载 风荷载风荷载 车辆载荷车辆载荷偶
4、然作用偶然作用 如如:爆炸爆炸 地震地震 荷载的分类荷载的分类 (按结构反应分类按结构反应分类)静荷载静荷载 如如:楼面活载楼面活载 结构自重结构自重动荷载动荷载 如如:地震地震 车辆车辆7/23/20247/23/2024永久作用与时间因素无关,可以用随机变量概率模型描述;可变作用与时间因素有关,必须用随机过程概率模型描述;7.1 荷载的概率模型荷载的概率模型建筑设计可靠度统一标准将常用的楼面活荷载、风荷载、雪荷载等可变荷载统一模型化为平稳二项随机过程：即假定：(1)建筑结构设计基准期T=50年(2)荷载一次持续作用时间长度 t ,在设计基准期 T 内可以分为 g个相等的时段 g = T/t
5、 . 7/23/2024（3）每个时段上,荷载出现 的概率为 p,荷载不出现的概率q=1-p .（）在每一时段上，当荷载出现时，其幅值是非负随机变量，且 在不同的时段上其概率分布函数相同。这种概率分布称为 任意时点概率分布。任意时点概率分布。（5）不同时段上的幅值随机变量是相互独立的，且与时段上的 荷载是否出现也相互独立。7/23/20247/23/2024任一时段最大荷载概率分布 一个区间（r个时段）最大荷载概率分布7/23/2024采用平稳二项随机过程模型确定设计基准期最大荷采用平稳二项随机过程模型确定设计基准期最大荷载概率分布载概率分布 FT (x) 需要已知三个量：需要已知三个量：荷载
6、在设计基准期的变动次数荷载在设计基准期的变动次数荷载任意时点的概率分布荷载任意时点的概率分布每一时段荷载出现的概率每一时段荷载出现的概率7/23/2024准备知识: 概率与统计数学基础常用统计参数计算与参数估计常用分布函数： 正态分布 对数正态分布 极值I型分布分布函数的假设检验7/23/2024平均值标准差变异系数参数估计抽样观测值抽样观测值的统计参数的统计参数估计实际母体估计实际母体的分布参数的分布参数 推定实际母体推定实际母体的分布函数的分布函数 假设检验7/23/2024正态分布（Gauss,K.F)标准正态分布正态分布的密度函数利用标准正态分布表，求正态分布。7/23/20247/2
7、3/2024对数正态分布的密度函数-对数均值-对数标准差参数 与 的关系7/23/20247/23/2024同样方法可以得到即：由统计学公式7/23/2024极值 I 型分布极值 I 型密度其中参数换算公式7/23/2024如何利用任意时点分布确定 T 时段的分布？1.正态分布 统计参数 推算公式2.极值 I 型分布7/23/2024因此可得： T 时段极值 I 型分布函数的统计参数为：分布假设检验X2 2检验检验若满足上式，则在置信限度内不拒绝服从假设的理论分布。- 实测频数与理论频数之差- 检验标准- 置信度一般取95%见例题7-17/23/2024例题7-1 写出某地基本风压的分布函数计
8、算年最大风压平均值计算年最大风压标准差假设服从极值 I 型分布，其分布参数7/23/2024设计基准期50年的标准差设计基准期50年的平均值设计基准期50 年的最大风压也服从极值 I 型分布，其分布参数则分布函数：7/23/20247.2 荷载的各种代表值荷载的各种代表值标准值准永久值组合值结构设计基准期具有一定保证率的载荷值针对可变荷载，其持续时间占设计基准期 0.5的载荷值考虑多种荷载组合效应的荷载代表值7/23/2024确定荷载代表值的概率意义示意7/23/2024利用重现期定义荷载标准值7/23/2024荷载组合JCSS原则Joint Committees Structures Saf
9、ety 7/23/2024准备知识随机变量函数统计参数的计算方法设：随机变量Y 为 随机变量 x i 函数函数Y 的平均值：函数Y 的方差：函数Y 的变异系数：7/23/2024第 8 章 结构抗力的统计分析结构抗力承载能力抗变形能力结构体系构件概率论中心极限定理证明，多个独立随机变量乘积构成的随机变量，一般服从对数正态分布。因此，认为抗力服从对数正态分布。7/23/20248.2 结构构件材料性能的不定性因此得:例题8-17/23/20248.3 结构构件几何参数的不定性因此得:例题8-27/23/20248.4 结构构件计算模式的不定性各种常用构件计算模式不定性的统计参数见表8-37/23
10、/20248.5 结构构件抗力的统计特征结构构件抗力是由材料强度、几何尺寸、计算模式等因素构成的随机变量，表达为：7/23/20247/23/20247/23/2024第第 9 章章 结构可靠度分析结构可靠度分析9.1结构的功能要求结构的功能要求 承载能力要求承载能力要求 偶然事件发生时稳定性要求偶然事件发生时稳定性要求 满足正常使用要求满足正常使用要求 结构耐久性要求结构耐久性要求 安全性安全性适用性与耐久性适用性与耐久性定义：定义： 结构的功能函数结构的功能函数 Z=R-S Z 0 结构安全结构安全 Z 0)失效概率失效概率 Pf = P (z 0)结构安全概率或失效概率的理论分析结构安全
11、概率或失效概率的理论分析f(s)f(r)ds定义定义:在规定的时间在规定的时间,规定条件下规定条件下,结构完成预定功结构完成预定功能的概率能的概率,称为结构可靠度称为结构可靠度7/23/2024载荷效应落在载荷效应落在ds区间的概率为区间的概率为抗力大于载荷效应的概率抗力大于载荷效应的概率:R S 相互独立相互独立,因此两事件同时发生的概率为因此两事件同时发生的概率为:对于整个区间而言对于整个区间而言,安全概率为安全概率为:则相应失效概率为则相应失效概率为:7/23/2024同理可得同理可得: 安全概率安全概率相应的失效概率相应的失效概率对于对于R S两随机变量两随机变量,若已知其中一个密度和
12、另外一个分布若已知其中一个密度和另外一个分布,则可计算其可靠概率或失效概率则可计算其可靠概率或失效概率.7/23/2024例题例题:求算钢结构构件的安全概率求算钢结构构件的安全概率钢结构件材料强度服从正态分布钢结构件材料强度服从正态分布载荷效应服从指数分布，其密度函数为：载荷效应服从指数分布，其密度函数为：则，分布函数为：则，分布函数为：7/23/2024均值二阶矩法计算可靠指标均值二阶矩法计算可靠指标设：设：R、S 服从正态分布，则其功效函数服从正态分布，则其功效函数相应地均值与标准差分别为：相应地均值与标准差分别为：其失效概率为：其失效概率为：标准正态化处理标准正态化处理7/23/2024
13、bsbs0fz(x)mmZZ失效失效概率概率可靠指标与失效概率之间的关系可靠指标与失效概率之间的关系x7/23/20249.2 结构可靠度分析实用方法结构可靠度分析实用方法9.2.1 中心点法中心点法功效函数为线性函数功效函数为线性函数,R,S均为正态分布均为正态分布功效函数为线性函数功效函数为线性函数,R,S均为对数正态分布均为对数正态分布7/23/2024功效函数为非线性函数功效函数为非线性函数一般情况下，设结构功能函数为：一般情况下，设结构功能函数为：其均值为：其均值为：标准差为：标准差为：可靠指标可靠指标7/23/2024可靠指标可靠指标 b b 的的几何意几何意义义* 线性极限状态方
14、程线性极限状态方程 R S =0 对对 R、S 进行标准正态化处理进行标准正态化处理 极限状态方程为：极限状态方程为：两边同除以两边同除以7/23/2024令：令：则（则（2）改写为（）改写为（3）：）：（3）为直线方程的法线式，其中）为直线方程的法线式，其中 b b 为原点到直线的距离；为原点到直线的距离； cos uu 为法线与坐标夹角的方向余弦。为法线与坐标夹角的方向余弦。7/23/2024* 多正态变量情况下，可靠指标多正态变量情况下，可靠指标 b b 的计算的计算 则，极限状态方程可写为：则，极限状态方程可写为：引入标准正态化变量：引入标准正态化变量：由由N个相互独立的正态变量组成的
15、极限状态方程：个相互独立的正态变量组成的极限状态方程：利用泰勒级数将利用泰勒级数将Z在在验算点验算点P*处展开处展开,取其线性项：取其线性项：7/23/2024将将极限状态方程改写为：极限状态方程改写为：两边同除以法线化因子两边同除以法线化因子因为因为P*在极限状态曲面上，故：在极限状态曲面上，故：7/23/2024因此得：因此得：若若定义法线定义法线OP*对坐标向量的方向余弦：对坐标向量的方向余弦：7/23/2024因为：因为：所以：所以：因此方向余弦改写为：因此方向余弦改写为：法线垂足法线垂足P*的坐标为：的坐标为：7/23/2024转化成原坐标转化成原坐标 将（将（*）式代入极限状态方程
16、）式代入极限状态方程 则可则可求得可靠指标求得可靠指标 bb 以及验算点坐标以及验算点坐标对于非线性极限状态方程，首先假定对于非线性极限状态方程，首先假定 X i *= m m xi ,然后进行迭代计算。然后进行迭代计算。该方法称为验算点法；或该方法称为验算点法；或 JC 法法 （ Joint Committee of Structure Safety) 7/23/2024可靠指标可靠指标 b b 计算步计算步骤骤 首先假定验算点坐标首先假定验算点坐标计算方向余弦：计算方向余弦：写出验算点的表达式写出验算点的表达式 代入极限状态方程代入极限状态方程 则可则可求得可靠指标求得可靠指标 bb 以及
17、验算点坐标以及验算点坐标7/23/2024*非正态变量情况，如何计算可靠度？非正态变量情况，如何计算可靠度？首先进行当量正态化处理。首先进行当量正态化处理。 原则是：原则是： 验算点验算点 X * 的概率分布值与当量正态该点的分布值相等；的概率分布值与当量正态该点的分布值相等； 验算点验算点 X * 的密度函数值与当量正态该点的密度函数值相等；的密度函数值与当量正态该点的密度函数值相等； * *7/23/2024当量正态化的具体做法当量正态化的具体做法 X*点点处，与正态分布相等处，与正态分布相等 X*点点处，与正态密度相等处，与正态密度相等 其中：其中：7/23/2024对数正态的当量正态化
18、对数正态的当量正态化 由式（由式（6）（）（9）得）得 由式（由式（8）得）得 7/23/2024JC法法求算可靠指标求算可靠指标 b b 的迭代过程的迭代过程 R- 对数正态对数正态 G 正态分布正态分布L 极值极值I型分布型分布计算各分布函数参数计算各分布函数参数 验算点赋初值验算点赋初值 写出活载写出活载L的分布与密度的分布与密度7/23/2024验算点表达式验算点表达式 计算方向余弦计算方向余弦 求当量正态的统计参数求当量正态的统计参数抗力用式（抗力用式（9）（）（10）活载用式（活载用式（6）（）（8） 7/23/2024例题：求算钢筋混凝土梁的可靠指标例题：求算钢筋混凝土梁的可靠指
19、标 7/23/2024X*假定值假定值 当量均值当量均值 当量标准差当量标准差方向余弦方向余弦可靠指标可靠指标相应的相应的X*7/23/2024补充说明：补充说明：若非线性方程，需双重迭代，或进行适当处理。若非线性方程，需双重迭代，或进行适当处理。 例如：例如： W f - MM= 0= 0 令：令： R = W f R 极值极值 I 型分布型分布 极限状态方程极限状态方程 R-M = 0 7/23/2024其他实用计算方法简介其他实用计算方法简介实用验算点法实用验算点法- 赵国藩赵国藩当量正态化的原则：当量正态化的原则：1、验算点处有相同的失效概率、验算点处有相同的失效概率2、当量正态与原分
20、布函数均值相等、当量正态与原分布函数均值相等优化法优化法- 李继华李继华极限状态曲面极限状态曲面 目标函数目标函数取得极值的必要条件：取得极值的必要条件：7/23/2024蒙特卡罗蒙特卡罗法法 (Monte Carlo) 模拟试验模拟试验例题: 计算圆周率 (蒲丰问题)两平行直线,间距 2a针长 2L任意投针,假设针与直线相交,针中点到最近直线的距离为 x, 针与直线夹角为 qx 是( 0, a) 上均匀分布的随机变量,密度为 1/ a ;q 是(0, p) 上均匀分布的随机变量,密度为 1/ p 针与直线相交的充分必要条件针与直线相交的概率为:7/23/2024计算机模拟试验计算机模拟试验产
21、生（0，1）均匀分布的随机数 r1, r2.则 xi = a r1 qi = p r2则表示针与直线相交。重复上述试验，则可得到相交的概率P。7/23/2024利用蒙利用蒙特卡罗特卡罗法求算结构可靠度的两个关键问题法求算结构可靠度的两个关键问题如何确定结构失效状态？如何确定结构失效状态？如何产生符合要求的随机数？如何产生符合要求的随机数？1、反函数法：、反函数法：设随机变量设随机变量X有分布函数有分布函数 F(x),给定的分布函数值：给定的分布函数值：则，则，x为求得的服从为求得的服从 F(x)随机变量随机变量7/23/20242、产生正态分布随机数、产生正态分布随机数已知已知 r 在（在（0
22、，1）区间均匀分布随机变量区间均匀分布随机变量 均值均值 E(r)=1/2 方差方差 D(r)= 1/12根据中心极限定理根据中心极限定理渐近为渐近为N(0,1)标准正态分布标准正态分布7/23/2024算例：利用蒙算例：利用蒙特卡罗特卡罗法求算钢结构可靠度法求算钢结构可靠度7/23/20247/23/2024相关正态变量可靠度计算相关正态变量可靠度计算 xx为相关正态变量为相关正态变量其协方差矩阵其协方差矩阵对对x标准正态化标准正态化则则x为彼此相关的标准正态随机变量为彼此相关的标准正态随机变量7/23/2024根据协方差定义：根据协方差定义：该式说明，经标准正态化处理后，该式说明，经标准正
23、态化处理后，x的协方差矩阵的协方差矩阵即为即为x的相关系数矩阵。记为：的相关系数矩阵。记为：7/23/2024假如存在矩阵假如存在矩阵 T T 为为c特征值矩阵的转换阵特征值矩阵的转换阵 设列向量设列向量 Y 向量向量 Y 的的协方差矩阵协方差矩阵7/23/2024 TT是正交矩阵是正交矩阵 TT-1-1=T=TT T YY是相互独立的正态变量，均值为零，方差矩阵为是相互独立的正态变量，均值为零，方差矩阵为 l 原变量原变量 xx用用 YY表示为：表示为：其中：其中：将上式代入极限状态方程，即可求得可靠指标将上式代入极限状态方程，即可求得可靠指标 b b7/23/2024算例，计算混凝土梁可靠
24、指标算例，计算混凝土梁可靠指标极限状态方程极限状态方程 R-G-L=0R-G-L=07/23/20247/23/20247/23/2024第第 10章章 结构概率可靠度设计结构概率可靠度设计目标可靠指标目标可靠指标 研究表明，对于工程结构而言，年失效概率研究表明，对于工程结构而言，年失效概率1 x 10-6 1 x 10-4 是安全的，相应的可靠指标在是安全的，相应的可靠指标在 2.5 4 之间。之间。 7/23/2024 简单地说，如果已经掌握了载荷效应的统计参数，以及结构抗力的简单地说，如果已经掌握了载荷效应的统计参数，以及结构抗力的统计参数（抗力不定性与抗力变异系数），根据目标可靠指标的设计统计参数（抗力不定性与抗力变异系数），根据目标可靠指标的设计可以按照以下程序进行：可以按照以下程序进行： 但实际工程中，抗力与载荷效应不完全服从正态分布，因此，应采但实际工程中，抗力与载荷效应不完全服从正态分布，因此，应采用验算点法，进行求解。用验算点法，进行求解。7/23/20247/23/20247/23/20247/23/2024标准正态分布反函数几何示意图7/23/2024
