分式方程及其解法

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1、分式方程及其解法分式方程及其解法平谷区山东庄中学平谷区山东庄中学 龚顺军龚顺军学习目标：学习目标： 了解分式方程定义，理解了解分式方程定义，理解解分式方程的一般解法和分式解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。握解分式方程验根的方法。 一艘轮船在静水中的最大航速为一艘轮船在静水中的最大航速为20千米千米/时时,它沿江以最大航速顺流航行它沿江以最大航速顺流航行120千米所用时间千米所用时间,与与以最大航速逆流航行以最大航速逆流航行80千米所用时间相等千米所用时间相等,江水江水的流速为多少的流速为多少?分析：设江水的流速为分析：设江水的

2、流速为x千米时，填空：千米时，填空：轮船顺流航行速度为千米时，逆流航行轮船顺流航行速度为千米时，逆流航行速度为千米时，顺流航行速度为千米时，顺流航行120千米所用千米所用的时间为小时，逆流航行的时间为小时，逆流航行80千米所用时间千米所用时间为小时。为小时。20+x20-x像这样，像这样，分母里含有未知数的方程叫做分母里含有未知数的方程叫做分式方程分式方程。以前学过的以前学过的分母里不含有未知数的方程分母里不含有未知数的方程叫做叫做整式方程整式方程。【分式方程的定义分式方程的定义】分母中含未知数的方程叫做分母中含未知数的方程叫做 分式方程分式方程. .整式方程的未知数不在分母中整式方程的未知数

3、不在分母中分式方程的分母中含有未知数分式方程的分母中含有未知数判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：（）（）（ ）（ ） 下列方程中，哪些是下列方程中，哪些是分式方程分式方程？哪些？哪些整式方程整式方程.整式方程整式方程分式方程分式方程解：解：在方程两边都乘以最简公分母在方程两边都乘以最简公分母（20+x）（）（20-x）得，得，解这个整式方程，得解这个整式方程，得x=4x=4120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x)检验检验: :把把x x= 4 = 4 代入原方程中，左边右边代入原方程中，左边右边因此因此x x4 4是原方程的解是原方程的解分式方程分式方

4、程解分式分式方程的一般思路解分式分式方程的一般思路整式方程整式方程去分母去分母两边都乘以最简公分母两边都乘以最简公分母下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：【解分式方程解分式方程】解分式方程解分式方程1 1x-51010= =x2-25解：解：在方程两边都乘以最简公分母在方程两边都乘以最简公分母(x+5)(x-5)(x+5)(x-5)得，得，解这个整式方程，得解这个整式方程，得x=5x=5x+5=10x+5=10检验检验: :把把x x = 5 = 5 代入原方程中，发现代入原方程中，发现x-5和和x x2 2-25-25的的值都为，相应的分式无意义，因此

5、值都为，相应的分式无意义，因此x=5x=5虽是方虽是方程程x+5=10x+5=10的解，但不是原分式方程的解，但不是原分式方程的解实际上，的解实际上，这个分式方程无解这个分式方程无解1 1x-51010= =x2-25例例2解方程解方程1、当分式方程含有若干个分式时，通常、当分式方程含有若干个分式时，通常可用各个分式的最简公分母同乘方程两边可用各个分式的最简公分母同乘方程两边进行去分母。进行去分母。2、解方程时一定要验根。、解方程时一定要验根。【分式方程的解分式方程的解】上面两个分式方程中，为什么上面两个分式方程中，为什么12012020+x20+x80802020-x x= =去分母后得到的

6、整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解却不去分母后得到的整式方程的解却不1 1x-51010= =x2-25是原分式方程的解呢？是原分式方程的解呢？1 1x-51010= =x2-25我们来观察去分母的过程我们来观察去分母的过程12012020+x20+x80802020-x x= =120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x)x+5=10x+5=10两边同乘两边同乘(20+x)(20-x)(20+x)(20-x)当当x=4x=4时时,(20+x)(20-x),(20+x)(20-x)0两边同乘两边同乘(x+5)

7、(x-5)当当x=5x=5时时, , (x+5)(x-5)=0分式两边同乘了不为分式两边同乘了不为0的式子的式子,所得整式方程的解与所得整式方程的解与分式方程的解相同分式方程的解相同.分式两边同乘了等于分式两边同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的解使所得整式方程的解使分母为分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解这个整式方程的解就不是原分式方程的解【分式方程解的检验分式方程解的检验】1 1x-51010= =x2-2512012020+x20+x80802020-x x= =120(20-x)=80(20+x)120(20-x)=80(20+x)x+5=10x+5=10两边同乘两边同

8、乘(20+x)(20-x)(20+x)(20-x)当当x=4x=4时时,(20+x)(20-x),(20+x)(20-x)0两边同乘两边同乘(x+5)(x-5)当当x=5x=5时时, , (x+5)(x-5)=0分式两边同乘了不为分式两边同乘了不为0的式子的式子,所得整式方程的解与所得整式方程的解与分式方程的解相同分式方程的解相同.分式两边同乘了等于分式两边同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的解使所得整式方程的解使分母为分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解这个整式方程的解就不是原分式方程的解解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使

9、原方程的分母为，所以使原方程的分母为，所以分式方程的解必须检验分式方程的解必须检验怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？将整式方程的解代入最简公分母，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则如果最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解，整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的否则这个解就不是原分式方程的解解解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 1 1、 在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母，化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解这个整式方程、解这个整式方程.

10、 . 3 3、 把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简，如果最简公分母的值公分母的值不为不为0 0，则整式方程的解是原分式方程的，则整式方程的解是原分式方程的解；解；否则否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. . 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. .解分式方程的思路是：解分式方程的思路是：分式分式方程方程整式整式方程方程去分母去分母一化二解三检验一化二解三检验【例题例题】解分式方程解分式方程x-1= =(x-1)(x+2)3 3x-1解解 ：方程两边同乘以：方程两边同乘以最简公分母最简公分母最简公分母最简公分母(x(x

11、1) 1) ( (x x2)2), ,得得X(x+2)-(x-1)(x+2)=3解解整式方程整式方程, ,得得 x x = = 1 1 检验检验：当：当x =x = 1 1 时，时，(x(x1) 1) ( (x x2)2)，不，不是原分式方程的解，原分式方程无解是原分式方程的解，原分式方程无解解分式方程解分式方程2 2x-14 4= =x2-1(1)1 1x2-x5 5= =X2+x(2) 通过例题的讲解和练习的操作通过例题的讲解和练习的操作, ,你能总结出解分式你能总结出解分式方程的一般步骤吗方程的一般步骤吗? ?【小结小结】解分式方程的一般步骤的框架图：解分式方程的一般步骤的框架图：分式方程分式方程整式方程整式方程a a是分式是分式方程的解方程的解X=a aa a不是分式不是分式方程的解方程的解去分母去分母解整式方程解整式方程检验检验目标目标最简公分最简公分母不为母不为最简公分最简公分母为母为解方程分式方程解方程分式方程（1 1）（2 2）（3 3）拓展延伸1、求分式方程、求分式方程 产生增根时产生增根时m的值的值。2 2、当、当K K为何值时，方程为何值时，方程无解？无解？小结小结 本节课你有什么收获v1、解分式方程的一般步骤？、解分式方程的一般步骤？v2、解分式方程最后应注意什么？、解分式方程最后应注意什么？作业作业