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1、2.3 等差数列的前n项和第1课时 等差数列的前n项和1 1高斯高斯(17771855(17771855） 德国著名数学家德国著名数学家1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010岁时曾很快算出这一结岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？果，如何算的呢？我们先看下面的问题我们先看下面的问题.2 21+2+3+100=?带着这个问题，我们进入本节课的学习！带着这个问题，我们进入本节课的学习！3 31. 掌握等差数列前掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；项和公式及其获取思路； ( (重重点）点）2. 会用等差数列的前会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与
2、项和公式解决一些简单的与前前n项和有关的问题项和有关的问题（难点）（难点）4 4下面再来看下面再来看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. .设设S S100100=1 + 2 + 3 +98+99+100=1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+ 3+ 2 + 1=100+99+98+ 3+ 2 + 1+ + + + + + +作作加加法法+ + + + + + +作作加加法法多少个多少个101 ?101 ?100100个个1011012S100=101+101+101+101+101+101/ /
3、 / / / + + + + + + +作作加加法法探究点探究点1 1 等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式5 5所以所以S S100100= =(1+100)100(1+100)100？首首项项尾尾项项？总总和和？项项数数这就是等差这就是等差数列前数列前n n项和项和的公式！的公式！=5 050=5 0506 6+ +得：得：2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(+(a an n+a+a1 1). ). 以下证明以下证明aan n 是等差数列，是等差数列，S Sn n是其前是其前n
4、 n项和，则项和，则证：证：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a+ a3 3 + + +a +an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,即即S Sn n= =a a1 1, ,an+ a+ a2 2 + +a+an-1n-1+ +a a3 3a an-2n-2+ + +7 72S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少个(a1+an) ?共有共有n n个个(a1+an) 由等差数列的性质：由等差数列的性质：当当m+n=p+qm+n=p+q时，时，a am m+a+an
5、n=a=ap p+a+aq q 知：知：a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= = =a an n+a+a1 1，所以所以 式可化为：式可化为：= n n(a(a1 1+a+an n).).这种求和的这种求和的方法叫倒序方法叫倒序相加法！相加法！因此，因此，8 8【即时练习即时练习】9 9探究点探究点2 2 等差数列的前等差数列的前n n项和公式的其他形式项和公式的其他形式1010【即时练习即时练习】1111例例1(P431(P43例例1)20001)2000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中关于在中小学实施小
6、学实施 “ “校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市据此提出了某市据此提出了实施实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. .据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万元万元. .为为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加一年增加5050万元万元. .那么从那么从20012001年起的未来年起的未来1010年内，该市年内，该市在在“校
7、校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？1212【解析解析】根据题意，从根据题意，从2001200120102010年，该市每年投入年，该市每年投入“校校通校校通” 工程的经费都比上一年增加工程的经费都比上一年增加5050万元万元. .所以，可所以，可以建立一个等差数列以建立一个等差数列aan n ，表示从，表示从20012001年起各年投入的年起各年投入的资金，其中资金，其中 1313【变式练习变式练习1】C C1414例例2(P442(P44例例2)2)已知一个等差数列已知一个等差数列 前前1010项的和是项的和是310310，前前2020项的和是项的和是1220.1220
8、.由这些条件能确定这个等差数列的由这些条件能确定这个等差数列的前前n n项和的公式吗？项和的公式吗？【解题关键解题关键】将已知条件代入等差数列前将已知条件代入等差数列前n n项和的公式项和的公式后，可得到两个关于后，可得到两个关于 与与d d的二元一次方程，由此可以的二元一次方程，由此可以求得求得 与与d d，从而得到所求前，从而得到所求前n n项和的公式项和的公式. .1515【规律总结规律总结】此例题的目的是建立等差数列前此例题的目的是建立等差数列前n n项和与方程组之间的联系项和与方程组之间的联系. .已知几已知几个量，通过解方程组，得出其余的个量，通过解方程组，得出其余的未知量未知量.
9、 .让我们归让我们归纳一下！纳一下！1616【变式练习变式练习2】C C1717181819192020【变式练习变式练习3】21212222等差数列前n项和公式的性质思考思考如果如果an是等差数列，那么是等差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？是等差数列吗？答案答案梳理梳理(1)Sm，S2m，S3m分分别别为为等等差差数数列列an的的前前m项项，前前2m项项，前前3m项项的的和和，则则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为也成等差数列，公差为m2d.(2)若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n(nN*)，则，则S2n ，且，且S偶偶S奇
10、奇 ，(3)若等差数列的项数为若等差数列的项数为2n1(nN*)，则则S2n1 ，且，且S奇奇S偶偶an，S奇奇nan，S偶偶(n1)an， n(anan1)nd(2n1)an说明：两个求和公式的使用说明：两个求和公式的使用知三求一知三求一. .2626 青年之文明，奋斗之文明也，与境遇奋斗，与时代奋斗，与经验奋斗。故青年者，人生之王，人生之春，人生之华也。 李大钊2727B B282829292.(20152.(2015全国卷全国卷) )设设S Sn n是等差数列是等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则则S S5 5= =( () )A.5 B.7 A.5 B.7 C.9 C.9 D.11 D.11【解析】【解析】选选A.aA.a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=3=3a a3 3=1,S=1,S5 5= =5a=5a3 3=5.=5.A A30306 63131A A32323333
