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1、18.1.2 18.1.2 三角形中位线定理三角形中位线定理第十八章第十八章 平行四边形平行四边形义务教育课程标准实验教科书人教版八年级下册从角考虑从角考虑从边考虑从边考虑从对角线考虑从对角线考虑两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角相等两组对角相等的四的四边形边形是平是平行四行四边形边形对角线互相平分对角线互相平分 到现在为止我们学习了几种判定平行到现在为止我们学习了几种判定平行四边形的方法？四边形的方法？一组对边平行且相等一组对边平行且相等 A A、B B两点被池塘隔开，现在要测量出两点被池塘隔开，现在要测量出A A、B B两点间的距离两点间的距离 ，但又
2、无法直接去测量，怎么办，但又无法直接去测量，怎么办？ 如图，在池塘外选一点如图，在池塘外选一点C C，连结，连结ABAB、ACAC、BCBC连结连结ABAB、ACAC、BCBC，分别找出，分别找出ACAC和和BCBC的中点的中点D D、E E，并且连结，如果测量出，并且连结，如果测量出DEDE的长度为的长度为1010米，也米，也就能知道就能知道ABAB的距离了。同学们知道的距离了。同学们知道ABAB是多少米是多少米吗？为什么？吗？为什么？。BC 。DE。BBAC 例例4 4、如图，点如图，点D D、E E分别是分别是ABCABC的边的边ABAB、ACAC的中点，求证的中点，求证DEBCDEBC
3、且且DE= BCDE= BC。ABCDEBCADEFBCADEF证明：延长证明：延长DEDE到到F,F,使使EF=DE,EF=DE,连接连接FCFC、DCDC、AFAF四边形四边形ADCFADCF是平行四边形是平行四边形四边形四边形DBCFDBCF是平行四边形是平行四边形AE=ECAE=ECCFCFDADA，CF=DACF=DACFCFBDBD，CF=BDCF=BDDFDFBCBC，DF=BCDF=BC又又DE= DFDE= DFDEDEBCBC且且DE= BCDE= BC还有另外的证法吗？还有另外的证法吗？ 注意：注意：通过三角形全等，把要证明的通过三角形全等，把要证明的内容转化到一个平行四
4、边形中，利用平行内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的性质使问题得到解决。四边形的性质使问题得到解决。 连结三角形任意两边中点的线段叫连结三角形任意两边中点的线段叫三三角形的中位线角形的中位线. 如图：如图： D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC边的中边的中点，点，DEDE就是就是ABCABC的中位线。的中位线。 一个三角形共有几条一个三角形共有几条中位线？中位线和三角形中位线？中位线和三角形的中线一样吗？的中线一样吗？F答：三条答：三条 三角形的中位线与三角形的中三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？线有什么区别？ 中位线是中位线是两个中点两个中点的连线，而中线是的连线，而中
5、线是一个顶点一个顶点和对边和对边中点中点的连线。的连线。数学语言数学语言DEDE是是ABCABC的中位线的中位线DEBCDEBC三角形中位线定理：三角形中位线定理： 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于三角形的第于三角形的第三边，且等于第三边的三边，且等于第三边的一半一半。 A A、B B两点被池塘隔开，现在要测量出两点被池塘隔开，现在要测量出A A、B B两点间的距离两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办，但又无法直接去测量，怎么办？ 如图，在池塘外选一点如图，在池塘外选一点C C，连结，连结ABAB、ACAC、BCBC连结连结ABAB、ACAC、BCBC，分别找出，分别找出ACAC和
6、和BCBC的中点的中点D D、E E，并且连结，如果测量出，并且连结，如果测量出DEDE的长度为的长度为1010米，也米，也就能知道就能知道ABAB的距离了。同学们知道的距离了。同学们知道ABAB是多少米是多少米吗？为什么？吗？为什么？。BC 。DE。BBAC方法点拨：方法点拨：在处理问题时在处理问题时, ,要求同时出现三角形及中位线要求同时出现三角形及中位线有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形, ,要作辅助线产生三角形要作辅助线产生三角形有三角形而无中位线有三角形而无中位线, ,要连结两边中点得中位线要连结两边中点得中位线定理应用：定理应用：定理为证明平行关系提供了新的工具；定理为证明平
7、行关系提供了新的工具；定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2 2倍倍或或 1/21/2提供了一个新的途径。提供了一个新的途径。 例例5 5 求证：顺次连结四边形四条边的求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。中点，所得的四边形是平行四边形。 已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形。是平行四边形。1.ABC1.ABC中中,D,D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点，的中
8、点， BC=10cmBC=10cm，则，则DE=_.DE=_.AEDCB2. ABC2. ABC中中,D,D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点，的中点， A=50, B=70,A=50, B=70,则则AED=_.AED=_.AEDBC 3.3.如图，点如图，点D D、E E、F F分别是分别是ABCABC的的边边ABAB、BCBC、CACA的中点，以这些点为顶的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边点，你能在图中画出多少个平行四边形？形？BAFEDC 三条中位线把原三条中位线把原三角形分成了几个小三角形分成了几个小三角形？这些三角形三角形？这些三角形有什么关系？有什么关
9、系？ 4 4、已知、已知 ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、OBOB、CDCD、ODOD的中的中点。求证：点。求证：HEFHEFFGHFGH。 5 5、已知、已知:E:E为平行四边形为平行四边形ABCDABCD中中DCDC边的边的延长线上一点延长线上一点, ,且且CE=DC,CE=DC,连结连结AE,AE,分别交分别交BCBC、BDBD于点于点F F、G G，连接连接ACAC交交BDBD于于O O，连结连结OF.OF.求证求证: AB=2OF: AB=2OFADBCEGFO 提示提示: :证明证明ABFECF,
10、ABFECF,得得BF=CF,BF=CF,再证再证OFOF是是ABCABC的中位线的中位线. . 6 6、ABCABC中，中，D D是是ABAB中点，中点，E E是是ACAC上上的点，且的点，且3 3AEAE=2=2ACAC，CDCD、BEBE交于交于O O点点. . 求证：求证：OE OE = = BEBE. . 7.7.已知如图已知如图2 2，BDBD、CECE分别是分别是ABCABC的外的外角平分线，过点角平分线，过点A A作作AFBDAFBD，AGCEAGCE，垂足，垂足分别是分别是F F、G G，连结连结FGFG，延长延长AFAF、AGAG，与直线与直线BCBC相交。相交。 求证求证
11、:FG= :FG= （AB+BC+ACAB+BC+AC）ABCDEFGHK数学语言数学语言DEDE是是ABCABC的中位线的中位线DEBCDEBC三角形中位线定理：三角形中位线定理： 三角形的中位线三角形的中位线平行平行于三角形的第于三角形的第三边，且等于第三边的三边，且等于第三边的一半一半。1.1.三角形中位线定理为证明三角形中位线定理为证明平行关系平行关系提供提供了新的依据；并了新的依据；并为证明一条线段是另一条为证明一条线段是另一条线段的线段的2 2倍或倍或1/21/2提供了一个新的途径。提供了一个新的途径。2.2.在处理问题时在处理问题时, ,要求同时出现三角形及中要求同时出现三角形及中位线：位线：有中点连线而无三角形有中点连线而无三角形, ,要作辅助要作辅助线产生三角形；线产生三角形；有三角形而无中位线有三角形而无中位线, ,要要连结两边中点得中位线。连结两边中点得中位线。3.3.我们通过构造平行四边形，利用平行四我们通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质得出三角形的中位线定理。而边形的性质得出三角形的中位线定理。而前面我们又通过连结对角线，由全等三角前面我们又通过连结对角线，由全等三角形的性质得出平行四边形的性质。形的性质得出平行四边形的性质。BCADEFABCD
