《幂级数及其收敛性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂级数及其收敛性.ppt（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、power series幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性11.1.定义定义如下形式的函数项级数如下形式的函数项级数称为称为的的幂级数幂级数,的的幂级数幂级数. .定义定义称为称为幂幂 级级 数数22. .收敛半径和收敛域收敛半径和收敛域级数级数幂幂 级级 数数级数的级数的收敛域收敛域3证证阿贝尔阿贝尔 (Abel)(挪挪威威) 18021829定理定理1 1 （阿贝尔第一定理）（阿贝尔第一定理）则它在则它在满足满足不等式不等式绝对收敛绝对收敛;发散发散.收敛收敛,发散发散,如果级数如果级数则它在满足不等式则它在满足不等式的一切的一切 x 处处如果级数如果级数的一切的一切 x 处处从而数列从而数
2、列有界有界,即有常数即有常数 M 0,使得使得4幂幂 级级 数数由由 (1) 结论结论,这与所设矛盾这与所设矛盾.使级数收敛使级数收敛,则级数则级数时应收敛时应收敛,但有一点但有一点 x1 适合适合5推论推论也也不是在整个数轴上都收敛不是在整个数轴上都收敛,则则必有一个完全确必有一个完全确幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛;幂级数幂级数 发散发散.幂级数幂级数可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散. .幂幂 级级 数数几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如果幂级数如果幂级数不是仅在不是仅在 x = 0 一点收敛一点收敛,定的正数定的正数 R 存在存在, 它具有下列性质它具
3、有下列性质:6正数正数 R 称为幂级数的称为幂级数的规定规定问问: :如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?定义定义收敛半径收敛半径. .收敛区间收敛区间. .幂幂 级级 数数(1) 幂级数只幂级数只在在 x = 0 处收敛处收敛,收敛区间收敛区间(2) 幂级数对一切幂级数对一切 x 都都收敛收敛,收敛区间收敛区间收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛区间连同收敛端点称为幂级数的收敛域收敛域.7证证且且定理定理2 2 设幂级数设幂级数的所有系数的所有系数幂幂 级级 数数由正项级数的由正项级数的比值判别法比值判别法,8收敛半径收敛半径幂幂 级级 数数绝对收敛绝对收敛;发散发散,从而从而发散
4、发散. 比比值值判判别别法法则则9幂幂 级级 数数收敛收敛,从而级数从而级数绝对收敛绝对收敛. 收敛半径收敛半径发散发散. 收敛半径收敛半径则则10例例 求下列幂级数的求下列幂级数的收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域:解解幂幂 级级 数数11收敛收敛. 调和调和级数级数, 发散发散.收敛域为收敛域为解解幂幂 级级 数数收敛域收敛域收敛半径收敛半径12解解幂幂 级级 数数13级数为正项级数级数为正项级数因为因为所以所以对应的数项级数也对应的数项级数也发散发散.当当 x = 4 时时,故收敛域为故收敛域为幂幂 级级 数数14发散发散;收敛收敛.故收敛域为故收敛域为解解还有别的方法吗还有别的方法吗(0
5、,1.即即亦即亦即时原级数时原级数收敛收敛.幂幂 级级 数数15解解是是缺偶次幂缺偶次幂的幂级数的幂级数.例例 求函数项级数求函数项级数 的收敛域的收敛域.去掉第一项去掉第一项,所以所以,去掉第一项去掉第一项, 级数处处收敛级数处处收敛.定义域为定义域为因为第一项因为第一项 lnx 的的所以所以, 原级数的原级数的收敛域收敛域是是幂幂 级级 数数比比值值判判别别法法16讨论幂级数讨论幂级数 的收敛域的收敛域.解解 此级数是缺项的幂级数此级数是缺项的幂级数,作变换作变换,令令级数变为级数变为它的收敛半径它的收敛半径当当 y = 3时时, 级数为级数为发散发散.不满足定理不满足定理 2 的条件的条
6、件.幂幂 级级 数数18故故 y(0) 的幂级数收敛域为的幂级数收敛域为因此因此, 原幂级数收敛域为原幂级数收敛域为收敛半径收敛半径即即幂幂 级级 数数191. 代数运算性质代数运算性质(1) 加减法加减法幂幂 级级 数数幂级数的性质幂级数的性质的收敛半径各为的收敛半径各为R1和和R2 ,23(2) 乘法乘法(其中其中(3) 除法除法(相除后的收敛区间可能比原相除后的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多来两级数的收敛区间小得多)幂幂 级级 数数242. .和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质幂幂 级级 数数定理定理3（阿贝尔第二定理）（阿贝尔第二定理）内闭一致收敛内闭一致收敛证证25则
7、则其和函数其和函数的端点处收敛的端点处收敛, 则其和函数在该端点单侧连续则其和函数在该端点单侧连续.幂幂 级级 数数如果幂级数在收敛区间如果幂级数在收敛区间证证26则则其和函数其和函数幂幂 级级 数数27幂幂 级级 数数则则其和函数其和函数28解解 (1) 求收敛域求收敛域发散发散;收敛收敛.故级数的求收敛域为故级数的求收敛域为例例幂幂 级级 数数收敛半径收敛半径29(2) 求求和函数和函数幂幂 级级 数数30或者或者幂幂 级级 数数31例例 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数.解解 容易知道级数的容易知道级数的收敛域收敛域幂幂 级级 数数设和函数为设和函数为 s(x), 即即则有则有32因此
8、因此,此外此外, 显然有显然有综上综上,幂幂 级级 数数33解解容易知道容易知道,例例幂幂 级级 数数37 小结小结再对和函数积分再对和函数积分(求导求导),求出原级数的和函数求出原级数的和函数.求和函数的一般过程是求和函数的一般过程是:首先找收敛半径首先找收敛半径,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可逐项求导逐项求导(积分积分),求得新的幂级数和函数求得新的幂级数和函数; 最后最后幂幂 级级 数数40幂幂 级级 数数常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数41幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性收敛半径收敛半径R幂级数的运算幂级数的运算代数、分析运算性
9、质代数、分析运算性质 函数项级数的概念函数项级数的概念幂幂 级级 数数四、小结四、小结收敛点、收敛域、和函数收敛点、收敛域、和函数 一般求三种类型幂级数的收敛半径一般求三种类型幂级数的收敛半径,注意注意它们求法它们求法掌握幂级数的和函数的规律掌握幂级数的和函数的规律42思考题思考题幂幂 级级 数数都是幂级数都是幂级数.是非题是非题非非幂级数的形式为幂级数的形式为含有负幂项含有负幂项的级数不是幂级数的级数不是幂级数.43作作 业业习题习题10-5(27310-5(273页页) ) (A) 1.(1) 2.(2)(4)(6)(8)(9) 3.(3)(4) 4.(1)(2) (B) 3. 4.幂幂 级级 数数44
