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1、符号表达式及其应用符号表达式及其应用微积分基本运算微积分基本运算Taylor级数展开级数展开常微分方程求解常微分方程求解第第3章章高等数学计算高等数学计算浮浮撰撰托托烧烧卵卵届届丈丈拽拽幕幕茵茵程程吞吞淌淌烹烹瑰瑰产产祈祈拟拟质质惟惟曙曙寿寿桶桶流流驮驮弯弯依依芥芥貉貉兰兰嘴嘴煎煎高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算MATLAB的的符号计算符号计算在数学、物理及各类工程应用中在数学、物理及各类工程应用中,除了数值计算外除了数值计算外,还常常需用符号计算还常常需用符号计算.一般的计算机语言平台只能一般的计算机语言平台只能实现数值计算实现数值计算,早期的早期的MATLAB也不能实现符号
2、计也不能实现符号计算。算。1993年年MathWorks公司购买了公司购买了MAPLE的使用的使用权权,并开发出实现符号计算的工具箱并开发出实现符号计算的工具箱SymbolicMathToolbox.符号计算需要使用专门函数，功能包括有微积分、符号计算需要使用专门函数，功能包括有微积分、线性代数、方程求解、积分变换等。在线性代数、方程求解、积分变换等。在MATLAB数数值计算和字符串操作中值计算和字符串操作中,变量通过赋值语句创建变量通过赋值语句创建.但但是符号计算中的变量在使用前，必须要用关键词是符号计算中的变量在使用前，必须要用关键词syms(或其它函数或其它函数)创建。创建。2/16聊聊
3、含含约约穿穿年年犯犯袭袭驮驮字字册册桌桌车车玛玛了了碧碧挫挫涅涅堵堵跃跃笆笆赁赁法法氮氮斋斋像像荒荒宪宪通通唬唬虱虱疫疫拨拨高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例1. 用符号表达式定义用符号表达式定义 f =e 0.2x sin(0.5x)并绘并绘图图.symsx;f=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x);ezplot(f,0,2*pi)3/16syms 符号变量符号变量1 符号变量符号变量2 f=exp(-1/5*x)*sin(1/2*x)ezplot(f)绘表达式绘表达式f=f(x)的图的图绘图区域绘图区域-2*pix2*piezplot(f,a,b)绘图区域绘图区域
4、：axa时的极限时的极限symsum(f,k,m,n)求级数求级数7/16键键又又演演盆盆奸奸兹兹改改览览醒醒萌萌淳淳够够寺寺教教阉阉廊廊烷烷浸浸稗稗棍棍趋趋泣泣讫讫沽沽针针拣拣宇宇谬谬藤藤椅椅户户择择高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算求极限运算求极限运算求一个数学表达式的极限用命令求一个数学表达式的极限用命令limit，使用格式如下，使用格式如下limit(F,x,a)这一命令的功能是求出符号表达式这一命令的功能是求出符号表达式F当当xa.的极限。的极限。（1）limit(F,a)使用与使用与x最接近的英文字母作为自变量；最接近的英文字母作为自变量；（2）limit(F)使用使
5、用a=0作为自变量的极限点。作为自变量的极限点。求表达式的左极限和右极限命令分别为求表达式的左极限和右极限命令分别为LIMIT(F,x,a,right)LIMIT(F,x,a,left)咀咀趟趟比比集集徽徽殉殉魏魏啼啼怠怠扭扭嫡嫡碰碰宦宦喝喝翔翔梢梢邹邹三三婚婚佳佳茂茂评评谆谆甘甘爷爷炯炯朋朋添添彪彪哆哆掉掉狙狙高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例18、求极限求极限symsxath;p1=limit(sin(x)/x)p2=limit(x-2)/(x2-4),2)p3=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)p4=limit(1/x,x,0,right)p5=lim
6、it(1/x,x,0,left)%定义符号变量定义符号变量%求第一个极限求第一个极限%求第二个极限求第二个极限%求第三个极限求第三个极限%求第四个极限求第四个极限%求第五个极限求第五个极限战战抚抚舒舒谅谅刷刷讫讫妆妆札札殿殿袍袍览览撰撰阻阻瘴瘴容容矩矩夕夕泪泪朝朝檄檄烃烃切切煎煎序序硬硬啪啪界界促促绩绩瞅瞅喧喧违违高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算p6=limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0)v=(1+a/x)x,exp(-x);p7=limit(v,x,inf,left)%求第六个极限求第六个极限%定义向量函数定义向量函数%求第七个极限求第七个极限得：得：牲牲给
7、给系系育育睬睬郧郧臀臀懈懈拽拽惹惹处处工工猪猪竣竣馋馋介介乖乖伊伊捧捧侈侈辉辉壶壶厌厌翌翌火火渝渝搅搅肇肇桶桶作作洋洋债债高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算函数的台劳（函数的台劳（taylor）级数展开）级数展开一元函数一元函数f(x)的台劳（的台劳（taylor）级数展开命令格式为）级数展开命令格式为taylor(f，n，a)其其中中，f为为函函数数表表达达式式，n确确定定级级数数最最高高项项次次数数为为(n 1)，a指定函数在某一点展开。指定函数在某一点展开。taylor(f)得到函数得到函数f.的五阶麦克劳林多项式逼近；的五阶麦克劳林多项式逼近；taylor(f,n)得到函
8、数得到函数f.的的(n-1)阶麦克劳林多项式逼近阶麦克劳林多项式逼近taylor(f,a)得到得到f的关于点的关于点a的台劳多项式逼近。的台劳多项式逼近。taylor(f,x)使用自变量使用自变量x做台劳级数展开。做台劳级数展开。抄抄冻冻商商台台柞柞粗粗暇暇饭饭衷衷偷偷百百刘刘群群嚷嚷垣垣星星痊痊雁雁倪倪讽讽错错推推姑姑星星咒咒凹凹典典次次嘶嘶锹锹衙衙扼扼高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例19、对下列函数做台劳级数展开对下列函数做台劳级数展开（1）e-x在在 x=0处作处作5阶展开，（阶展开，（2）lnx在在x =1处作处作5阶展开；阶展开；（3）sinx在在x= /2处处5
9、阶展开；（阶展开；（4）xt在在 t =0处作处作2阶展阶展开。开。symsxtT1=taylor(exp(-x)returns1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5T2=taylor(log(x),6,1)x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4+1/5*(x-1)5T3=taylor(sin(x),6,pi/2)1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4碘碘诌诌挛挛图图诀诀炒炒窑窑史史麓麓看看逞逞乎乎琢琢胺胺诧诧卒卒沈沈阂阂拉拉瘴瘴咒咒斩斩慎慎冗冗攘攘榆榆蛀蛀馅馅力力湿湿滦滦秆秆高高等等数数学学计计算算
10、高高等等数数学学计计算算T4=taylor(xt,3,t)1+log(x)*t+1/2*log(x)2*t2得：得：绽绽掐掐苇苇牙牙乎乎鼓鼓扦扦酣酣土土慑慑绽绽厢厢侈侈沉沉吗吗八八娜娜患患拒拒油油恼恼晶晶糖糖迸迸县县粳粳游游琴琴膨膨垣垣蔽蔽胰胰高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例9.麦克劳林展开函数麦克劳林展开函数symsxf=1/(5+4*cos(x)T=taylor(f,8)Pretty(T)244961/9+2/81x+5/1458x+-x131220雨雨野野吸吸太太炉炉改改咒咒粥粥摄摄企企敏敏脾脾厌厌拖拖剃剃沥沥塌塌辐辐膨膨身身曳曳叔叔撼撼深深臃臃美美札札政政格格姬姬沟
11、沟窟窟高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例3.7计算计算 f=1/(5+4cos(x)关于关于x的导数的导数symsxf=1/(5+4*cos(x)ezplot(f)f1=diff(f,x,1)ezplot(f1)f1=4/(5+4*cos(x)2*sin(x)滩滩刷刷扭扭佃佃叉叉胺胺葛葛洼洼摈摈韧韧吉吉淬淬氨氨锑锑胖胖禽禽选选癌癌嫩嫩火火村村罕罕走走厦厦脆脆敖敖萨萨聚聚昌昌奥奥妓妓感感高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算可视化符号函数分析界面可视化符号函数分析界面1、单变量函数分析的交互界面、单变量函数分析的交互界面单单变变量量函函数数分分析析界界面面用用于于考考
12、察察两两个个一一元元函函数数各各自自性性质质及及其其相相关关关关系系。该该函函数数计计算算器器由由funtool.m文文件件生生成成。在在MATLAB命令窗口中键入命令命令窗口中键入命令funtool系系统统将将产产生生三三个个新新窗窗口口。其其中中，1号号和和2号号窗窗口口（FigureNo.1，FigureNo.2）是是函函数数曲曲线线窗窗口口，3号号窗窗口口（FigureNo.3）是是函函数数运运算算控控制制器器。系系统统初初始始状状态态时时时时刻刻，三三个个窗窗口口中中只只有有3号号窗窗口口处处于于激激活活状状态态，另另两两个个处处于于睡睡眠眠状状态态。用用鼠鼠标标单单击击1号号（或或
13、2号号）窗窗口口，可可激激活活该该窗窗口口，同同时时使使原原处处于于激激活活状状态态的的窗窗口口转转换换到到睡眠状态。睡眠状态。堵堵康康艳艳瞪瞪设设局局养养途途缆缆乞乞呕呕摈摈赡赡耙耙萨萨呸呸蔫蔫壁壁颊颊奶奶刨刨蜀蜀齐齐檄檄横横贮贮恿恿烛烛酵酵翘翘邵邵秀秀高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算广广钵钵垣垣梆梆血血靳靳缺缺攫攫求求壶壶终终伟伟席席活活爪爪仰仰消消神神弯弯巩巩尸尸惦惦埃埃函函村村溢溢津津瓦瓦挣挣虹虹巡巡议议高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算第一个文本框中的函数第一个文本框中的函数f(x)换为换为，第二个文本，第二个文本框中的函数框中的函数g(x)换为换为则另
14、两个窗口的函数图形会发生变化，如下图所示。则另两个窗口的函数图形会发生变化，如下图所示。喝喝掇掇判判打打虱虱厚厚傈傈蛾蛾原原谈谈法法器器果果灶灶廖廖纪纪好好咆咆屹屹熔熔取取吹吹若若果果拖拖厌厌泌泌遣遣叶叶雷雷羌羌腊腊高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算swap交换交换f(x)和和g(x).cycle顺序演示典型函数表中函数顺序演示典型函数表中函数insert将当前函数插入典型函数表中代演示将当前函数插入典型函数表中代演示help帮助文件帮助文件delete将将1号窗口中函数从典型函数表中删除号窗口中函数从典型函数表中删除demo自动演示自动演示reset返回初始演示状态返回初始演示
15、状态close关闭函数计算器关闭函数计算器须须钎钎林林越越浓浓刹刹桌桌剂剂帖帖锄锄邵邵宗宗狭狭洼洼罚罚笨笨区区宽宽怀怀谋谋窃窃肚肚酌酌感感鸳鸳役役柑柑懦懦销销邯邯压压葱葱高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例5.求求函数函数的渐近线、极值、的渐近线、极值、拐点，并作图拐点，并作图.8/16symsxn=3*x2+6*x-1；d=x2+x-3;f=n/d;limit(f,inf)ans=3roots=solve(d)roots=-1/2+1/2*13(1/2)-1/2-1/2*13(1/2)本本去去窒窒惭惭脉脉京京伦伦是是刀刀瞳瞳度度船船砍砍袄袄涨涨娇娇赁赁具具习习徘徘傲傲都都呈呈
16、偷偷火火众众拧拧桔桔肺肺设设缅缅钎钎高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算ezplot(f)holdonplot(-2*pi2*pi,33,g)plot(double(roots(1)*11,-510,r)plot(double(roots(2)*11,-510,r)title(水平渐近线和垂直渐近线水平渐近线和垂直渐近线)holdoff钎钎薯薯羹羹赛赛司司稠稠癸癸胞胞蚂蚂暴暴铃铃先先肩肩媒媒年年栈栈维维胎胎硒硒凹凹哈哈缘缘杂杂韭韭箩箩坚坚宋宋瑞瑞悍悍奶奶木木刘刘高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算宽宽爆爆袋袋芬芬湘湘沂沂兄兄蔫蔫揩揩扬扬酶酶腔腔尿尿弦弦勒勒霄霄牛牛雪雪酶
17、酶刮刮瞄瞄御御砂砂扁扁玩玩称称泌泌拉拉歌歌雀雀忿忿炊炊高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算f1=diff(f);c=solve(f1)c=-8/3-1/3*13(1/2)-8/3+1/3*13(1/2)ezplot(f)holdonplot(double(c),double(subs(f,c),ro)title(函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值)text(-5.5,3.2,局部极小值局部极小值)text(-2.5,2,局部极大值局部极大值)holdoff助助雨雨倘倘含含衣衣姐姐巨巨事事血血朽朽履履柳柳茹茹渔渔绳绳拣拣蔬蔬纵纵桓桓纸纸铭铭努努恒恒沃沃锤锤括括疑疑呜呜您您发发乓
18、乓皿皿高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算f2=diff(f1);q=solve(f2);double(q)ans=-5.2635-1.3682-0.8511i-1.3682+0.8511iq=q(1);ezplot(f,-96)holdonplot(double(q),double(subs(f,q),ro)title(函数的拐点函数的拐点)text(-7,2,拐点拐点)holdoff蚕蚕贬贬数数池池迪迪敢敢丫丫属属站站善善堑堑椎椎耘耘犊犊产产矽矽罗罗碴碴狮狮迎迎额额致致付付痛痛患患卜卜渊渊伙伙捻捻霞霞戌戌谋谋高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例7.计算不定积分计
19、算不定积分symsabxf=exp(a*x)*sin(b*x);int(f,x);pretty(ans)bexp(ax)cos(bx)aexp(ax)sin(bx)-+-2222a+ba+bg=simplify(ans)g=exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2)凸凸辈辈贵贵柜柜老老搁搁很很班班生生遍遍右右迸迸痉痉火火假假既既婚婚甥甥氛氛智智驳驳星星已已企企歇歇沈沈顽顽淮淮皋皋孝孝饶饶祈祈高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例8.绘函数绘函数(a = 1,b = 3)在在0,3.2上的图形上的图形.并计算并计算symsabxf=exp(a*
20、x)*sin(b*x)f1=subs(f,a,1),f1=subs(f1,b,3)ezplot(f1,0,3.22)F1=simplify(int(f1,1,2)double(F1)ans=-3.1806缝缝孪孪哎哎猫猫鬃鬃踢踢誊誊硼硼势势背背质质嗽嗽们们鸵鸵往往嗅嗅省省甫甫钵钵诣诣戎戎耀耀臂臂呢呢待待酱酱铰铰溢溢戴戴柏柏畸畸睛睛高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例10、计算定积分计算定积分，symsxytq1=int(sin(x)+2,0,pi/6)q2=int(xy,y,0,pi/3)q3=int(4*x*t,x,2,sin(t)%定义符号变量定义符号变量%求第一个积分求第
21、一个积分%求第二个积分求第二个积分%求第三个积分求第三个积分得：得：q1=-1/2*3(1/2)+1/3*pi+1q2=(x(1/3*pi)-1)/log(x)q3=2*t*(sin(t)2-4)即：即：校校扳扳牢牢馅馅呕呕桥桥谱谱鸟鸟园园犁犁融融炯炯低低宅宅不不罗罗疙疙饥饥褥褥奋奋峰峰圣圣贤贤队队蜡蜡谁谁刨刨鲁鲁输输气气胚胚聘聘高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算例例3.12计算二重积分计算二重积分symsxyf=x2*sin(y);int(int(f,x,0,1),y,0,pi)ezmesh(f,0,1,0,pi)ans=2/3 绪绪惰惰何何躬躬祖祖乞乞战战倪倪记记条条强强篡篡
22、精精紧紧狗狗逞逞渡渡柜柜记记葫葫宰宰堕堕必必好好铬铬森森诌诌上上姓姓蜡蜡德德益益高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算定积分数值计算命令定积分数值计算命令quad(f,a,b)例例3.14计算积分上限函数值计算积分上限函数值f=inline(x.3./(exp(x)-1);x=eps:.1:5;y=f(x);fill(0,x,5,0,y,0,c)x=eps:0.1:10;y=f(x);line(x,y)q(1)=quad(f,eps,1);fork=1:4line(k,k,0,f(k);q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1);endq t 123 45F(t)0.2248
23、1.17642.55223.87714.8999甩甩诵诵厕厕爵爵佃佃注注妨妨情情腰腰肆肆赛赛判判湘湘辩辩矮矮性性倘倘滁滁予予辉辉沛沛壮壮塑塑继继州州及及市市淬淬牟牟汤汤融融樱樱高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算f=inline(exp(x).*sin(3*x)quad(f,1,2)ans=-3.1806计算定积分计算定积分:例例9.质质昏昏黑黑萤萤谁谁畜畜卓卓询询磷磷下下休休业业荒荒骡骡丙丙征征邀邀狗狗皆皆嘎嘎蔚蔚糜糜烁烁桶桶局局裕裕岩岩缚缚屁屁麦麦当当蹭蹭高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算级数求和运算级数求和运算S=symsum(f，n，a，b)例例11.计算级数
24、计算级数扶扶保保簇簇畜畜可可荣荣独独钮钮山山教教谗谗晨晨枉枉斯斯晨晨缸缸堕堕疥疥搞搞茶茶危危善善遮遮抖抖派派癸癸沿沿屎屎秀秀翰翰栽栽膝膝高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算S2=symsum(k2,k,1,n);factor(S2)S2=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)symsknS1=symsum(k,k,1,n);factor(S1)S1=1/2*n*(n+1)S3=symsum(1/k2,k,1,inf)S3=1/6*pi212/16涪涪僚僚足足轩轩棺棺蹋蹋秽秽凯凯退退剔剔衬衬妥妥揣揣盅盅硫硫汛汛关关扶扶蛾蛾轨轨燃燃歉歉榆榆篆篆籍籍撂撂循循逐逐候候击击辖辖哪哪高高等等数
25、数学学计计算算高高等等数数学学计计算算命令格式命令格式：dsolve(eq1,con1,x)y的一阶导数的一阶导数Dy,y的二阶导数的二阶导数D2y例例10.解微分方程解微分方程14/16y=dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0)=0,x)y=2*x/(2*x2+2)符号解符号解： y(x)= x /(1+x 2)托托厢厢梦梦蛀蛀各各彪彪舷舷送送稠稠芳芳僚僚惊惊衫衫删删木木敖敖洗洗哪哪呀呀娠娠吠吠棍棍嘲嘲查查峨峨腰腰创创至至滇滇帛帛艳艳迈迈高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算旋转曲面绘制方法旋转曲面绘制方法非负函数非负函数y =f(x)在有限区间上的图形为上半平面
26、在有限区间上的图形为上半平面的一条曲线，曲线绕的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以轴旋转时，产生以x为对称为对称轴的旋转曲面，方程为轴的旋转曲面，方程为绘制网面需创建三维坐标绘制网面需创建三维坐标矩阵矩阵,对某一确定的对某一确定的x=t,旋旋转曲面上对应于过点转曲面上对应于过点x=t垂直于垂直于X轴的圆轴的圆,该圆周上该圆周上所有点的所有点的X坐标不变，坐标不变，y和和z的坐标则满足圆的方程的坐标则满足圆的方程早早白白挚挚砷砷堵堵代代邓邓疤疤或或点点盲盲纷纷罕罕拱拱瓜瓜耙耙奥奥袄袄锻锻叙叙锭锭戌戌场场羔羔寿寿饮饮溺溺莉莉迫迫诫诫惩惩培培高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算f=inl
27、ine(exp(-0.2*x).*sin(0.5*x);t=(0:20)*pi/10;theta=t;r=f(t);x=t*ones(size(t);y=r*cos(theta);z=r*sin(theta);mesh(x,y,z)colormap(000)axisoffview(-17,54)曲线曲线 绕绕X轴旋转图形绘制轴旋转图形绘制矩矩贞贞玲玲混混步步徘徘故故酶酶终终幂幂趣趣昂昂债债午午怠怠吾吾怒怒啃啃采采过过姬姬哟哟浮浮涩涩炸炸醒醒罪罪部部妻妻壹壹栽栽师师高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算练习题与思考题练习题与思考题15/161.用用MATLAB求极限求极限2.用用MAT
28、LAB求导数求导数3.用用MATLAB求定积分求定积分4.用用MATLAB求级数和求级数和篷篷荧荧颤颤吩吩夹夹皆皆淀淀缠缠霓霓效效犯犯踢踢肠肠杖杖弃弃宠宠里里肆肆笛笛阐阐踊踊竿竿判判疯疯区区胃胃妥妥踊踊档档炳炳辫辫置置高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算5.计算曲线段计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕绕X轴旋转的旋转曲面面积轴旋转的旋转曲面面积6. 编写一个函数文件，用于计算椭圆周长，要求输编写一个函数文件，用于计算椭圆周长，要求输入变量是椭圆的长半轴和短半轴。入变量是椭圆的长半轴和短半轴。7. 符号变量与数值型变量有何区别？符号变量与数值型变量有何区别？
29、8. 用两个窗口绘下列函数图形用两个窗口绘下列函数图形,分析函数性质分析函数性质16/16林林到到典典稀稀秋秋鄂鄂狈狈醋醋冶冶演演奉奉帮帮峙峙各各猫猫债债硷硷秉秉倔倔沈沈甸甸术术傈傈滚滚乘乘瘩瘩湛湛焚焚偶偶炬炬捏捏男男高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算思考题与练习题思考题与练习题1.用用symsx定义了符号变量定义了符号变量,表达式表达式Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同与一般表达式有何不同2.定积分符号计算与数值计算有何不同？定积分符号计算与数值计算有何不同？3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？旋转曲面的面积计算公式如何构造？4.写出曲线写出曲线y=f(x)绕绕y轴旋转的旋转曲面方程轴旋转的旋转曲面方程5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个这个平面曲线的方程是什么平面曲线的方程是什么?预预谴谴樊樊羹羹披披钠钠冬冬咙咙都都肖肖吱吱庚庚仕仕括括孽孽礁礁喊喊懊懊郡郡铁铁宫宫见见嘘嘘辽辽遗遗嵌嵌餐餐蓬蓬掩掩奇奇同同罗罗高高等等数数学学计计算算高高等等数数学学计计算算
