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1、第1讲万有引力定律与天体运动知识梳理知识梳理一、万有引力定律一、万有引力定律1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引相互吸引,引力的大小与物体的质量的乘积质量的乘积成正比,与它们的距离的平方距离的平方成反比。2.公式:F=G,其中G=6.6710-11Nm2/kg2,叫做引力常量。1.基本思路基本思路(1)万有引力提供向心力:即F万=F向G=m=mr2=mr=ma(2)星球表面附近的物体所受重力近似等于万有引力即mg=G,由此可得:GM=gR2。二、万有引力定律在天体运动中的应用二、万有引力定律在天体运动中的应用2.求中心天体的质量和密度求中心天体的质量和密度(1)通过观察卫星绕天体做匀速圆周
2、运动的周期T、轨道半径r,由万有引力等于向心力即G=mr,得出中心天体质量M=。(2)若天体的卫星环绕天体表面运动,其轨道半径r约等于天体半径R,则天体密度=。可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期周期,就可求得中心天体的密度。1.(多选)牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据,运用严密的逻辑推理,建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中,牛顿()A.接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想B.根据地球上一切物体都以相同的加速度下落的事实,得出物体受地球的引力与其质量成正比,即Fm的结论C.根据Fm和牛顿第三定律,分析了地、月间的引力关系,进而得出Fm1m2D.根据大
3、量实验数据得出了比例系数G的大小答案答案ABC比例系数G即引力常量最早是由卡文迪许测得的。ABC2.木星绕太阳的公转,以及卫星绕木星的公转,均可以看做匀速圆周运动。已知引力常量,并且已经观测到木星和卫星的公转周期。要求得木星的质量,还需要测量的物理量是()A.太阳的质量B.卫星的质量C.木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径D.卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径答案答案D由G=mr()2有M=,可见当已知运行天体的运行周期与轨道半径时,可求得中心天体的质量,故要求得木星的质量,还需测量卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径,D正确。D3.原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名
4、美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖。早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”。假设“高锟星”为质量分布均匀的球体,其质量为地球质量的,半径为地球半径的,则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的()A.B.C.D.答案答案C根据黄金代换式有g=,并利用题设条件,可求出=,C项正确。C深化拓展深化拓展考点一考点一解决天体圆周运动问题的两条思路解决天体圆周运动问题的两条思路考点二考点二重力与万有引力的关系重力与万有引力的关系考点三考点三天体质量、密度的计算天体质量、密度的计算考点四考点四双星问题双
5、星问题深化拓展深化拓展考点一解决天体圆周运动问题的两条思路考点一解决天体圆周运动问题的两条思路1.天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供,即F引=F向,一般有以下几种表达形式:G=mG=m2rG=mr2.在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F引=mg,即G=mg,整理得GM=gR2。1-1(2015北京理综,16)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么()A.地球公转周期大于火星的公转周期B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度答案答案D据太阳对
6、行星的引力提供行星运动所需的向心力得G=m=m2r=m()2r=ma向,解得v=,=,T=2,a向=,由题意知,r地v火,地火,T地a火,D项正确。D1-2将冥王星和土星绕太阳的运动都看做匀速圆周运动。已知冥王星绕太阳的公转周期约是土星绕太阳公转周期的8倍,那么冥王星和土星绕太阳运行的轨道半径之比约为()A.21B.41C.81D.161答案答案B根据万有引力提供向心力有G=mr,得r=,所以=(=(=4,故B正确。B考点二重力与万有引力的关系考点二重力与万有引力的关系一、重力与万有引力一、重力与万有引力在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心
7、力F,如图所示。其中F=G,而F=mr2。从图中可以看出:(1)当物体在赤道上时,F、G、F三力同向,此时F达到最大值Fmax=mR2,重力达到最小值Gmin=F-Fmax=G-mR2。(2)当物体在两极的极点时,F=0,F=G,此时重力等于万有引力,重力达到最大值,此最大值为Gmax=G。(3)当物体由赤道向两极移动的过程中,向心力减小,重力增大,在两极时物体所受的万有引力等于重力。(4)因地球自转角速度很小,故m2R,则一般认为地面上物体的重力等于其所受地球的万有引力,即mg=,忽略地球自转的影响。二、计算重力加速度1.任意星球表面的重力加速度:在星球表面处,G=mg,g=(R为星球半径,
8、M为星球质量)。2.星球上空某一高度h处的重力加速度:G=mg,g=随着高度的增加,重力加速度逐渐减小。2-1假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为()A.B.C.D.答案答案B在地球两极处,G=mg0,在赤道处,G-mg=mR,故R=,则=,B正确。B2-2假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A.1-B.1+C.D.答案答案A设地球密度为,地球质量M=R3,地面下d处内部地球质量M=(
9、R-d)3。地面处F=G=GmR,d处F=G=Gm(R-d),地面处g=GR,而d处g=G(R-d),故=,所以A选项正确。A2-3(2014北京理综,23,18分)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,自转周期为T,万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是F0。a.若在北极上空高出地面h处称量,弹簧秤读数为F1,求比值F1/F0的表达式,并就h=1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留
10、两位有效数字);b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为F2,求比值F2/F0的表达式。(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用,以现实地球的1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长?答案答案(1)a.=0.98b.=1-(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同解析解析(1)设小物体质量为ma.在北极地面有G=F0在北极上空高出地面h处有G=F1得=当h=1.0%R时=0.98b.在赤道地面,小物体随地球自转做匀速圆周运动,受到万有引力和弹簧秤的作用力,有G-F2=mR得
11、=1-(2)地球绕太阳做匀速圆周运动,受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS,地球质量为M,地球公转周期为TE,有G=Mr得TE=其中为太阳的密度。由上式可知,地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。考点三天体质量、密度的计算考点三天体质量、密度的计算1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R进行计算。由于G=mg,故天体质量M=,天体密度=。2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算。(1)由万有引力提供向心力,G=mr,得出中心天体质量M=;(2)若已知天体的半径R,则天体的密度=;(3)若天体
12、的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度=。可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度。3-1(2017北京理综,17,6分)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是()A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离D答案答案D已知地球半径R和重力加速度g,则mg=G,所以M地=,可求M地;近地卫星做圆周运动,G=m,T=,可解得M地=,已知v、T可求M地;对于月球:G=
13、mr,则M地=,已知r、T月可求M地;同理,对地球绕太阳的圆周运动,只可求出太阳质量M太,故符合题意的选项是D项。考点四双星问题考点四双星问题双星的特点双星的特点:1.两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动,故两星的角速度、周期相等;2.两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力,所以它们的向心力大小相等;3.两星的轨道半径之和等于两星之间的距离,即r1+r2=L。【情景素材情景素材教师备用教师备用】4-1冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统,质量比约为71,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知,冥王星绕O点运动的()A.轨道半径约为卡戎的B.角速度大小约为卡戎的C.线速
14、度大小约为卡戎的7倍D.向心力大小约为卡戎的7倍A答案答案A设冥王星的质量、轨道半径、线速度大小分别为m1、r1、v1,卡戎的质量、轨道半径、线速度大小分别为m2、r2、v2,由“双星系统”的规律可得,两星间的万有引力分别给两星提供做圆周运动的向心力,且两星的角速度相等,故B、D均错;由G=m12r1=m22r2(L为两星间的距离),因此=,=,故A对、C错。4-2宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不致因万有引力的作用吸引到一起,设两者的质量分别为m1和m2,二者相距L。(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。(2)试写出它们角速度的表达式。答案答案(1)见解析(2)=解析解析两天体做圆周运动的角速度一定相同,二者轨道的圆心为O,轨道圆半径分别为R1和R2,如图所示。(1)对两天体,由万有引力定律有=m1R12=m2R22所以=因为v=R,故vR所以=(2)由式得=R12由式得=R22式与式相加化简得=
