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1、定积分的应用习题课定积分的应用习题课例例1.求抛物线求抛物线在在(0,1) 内的一条切线内的一条切线, 使它与使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它与它与 x , y 轴的交点分别为轴的交点分别为所指面积所指面积2因此微功元素为因此微功元素为球从水中提出所做的功为球从水中提出所做的功为“偶倍奇零偶倍奇零”9例例6.设有半径为设有半径为R的半球形容器如图的半球形容器如图.(1) 以每秒以每秒 a 升的速度向空容器中注水升的速度向空容器中注水, 求水深为求水深为为为h (0 h
2、R ) 时水面上升的速度时水面上升的速度 .(2) 设容器中已注满水设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最求将其全部抽出所做的功最少应为多少少应为多少 ? 解解: 过球心的纵截面建立坐标系如图过球心的纵截面建立坐标系如图.则半圆方程为则半圆方程为设经过设经过 t 秒容器内水深为秒容器内水深为h ,10(1)求求由题设由题设, 经过经过 t 秒后容器内的水量为秒后容器内的水量为而高为而高为 h 的球缺的体积为的球缺的体积为半球可看作半圆半球可看作半圆绕绕 y 轴旋转而成轴旋转而成体积元素体积元素:故有故有两边对两边对 t 求导求导, 得得at (升升) ,11(2)将满池水全部抽出所做的最少功将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提为将全部水提对应于对应于微元体积微元体积:微元的重力微元的重力 :薄层所需的功元素薄层所需的功元素故所求功为故所求功为到池沿高度所需的功到池沿高度所需的功.12结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！13
