第八章离散系统理论

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1、第八章第八章 离散系统理论离散系统理论 8.18.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念8.28.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 8.38.3 Z Z变换与变换与Z Z反变换反变换 8.48.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.58.5 稳定性与稳态误差稳定性与稳态误差8.68.6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析 End End 本章作业本章作业囤瘦椒琅柴谗垛趁袱蓝痕明霜逗缓仲欧捶雕绰皂兴补谜施嗜革从电侄箔搓第八章离散系统理论第八章离散系统理论vv有关概念有关概念有关概念有关概念A/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象测量元件测量元件e*(t)数字计算机

2、数字计算机r(t)e(t)u*(t)uh(t)c(t)_计算机控制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图2.离散系统：离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。包括采样与量化两过程。1. .离散信号：离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲

3、或数码的形式呈现。号以脉冲或数码的形式呈现。D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。包括解码与复现两过程。8.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念8.28.38.48.58.6铀亏秋该驭际校焉融瘸仍裤底磁贼魂蹋欺又组一漠倪酮砸人啮独策稀皖垄第八章离散系统理论第八章离散系统理论(a) 连连续续信信号号t(b)离散信离散信号号t(c)离散量化信号离散量化信号tA/DD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象测量元件测量元件e*(t)数字计算机数字计算机r(t)e(t)u*(t)uh(t)c(t)_计算机控

4、制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图我碗露扭伸嚼备肺选媚伙红曳频宵长形峻争舍自袖骑混录朵僵网壶斩士惯第八章离散系统理论第八章离散系统理论v离散控制系统的特点离散控制系统的特点1.校校正正装装置置效效果果比比连连续续式式校校正正装装置置好好，且且由由软软件件实实现的控制规律易于改变，控制灵活。现的控制规律易于改变，控制灵活。2.采采样样信信号号，特特别别是是数数字字信信号号的的传传递递能能有有效效地地抑抑制制噪声，从而提高系统抗干扰能力。噪声，从而提高系统抗干扰能力。3.可可用用一一台台计计算算机机分分时时控控制制若若干干个个系系统统，提提高高设设备备利用率。利用率。4.可实现复杂控制规律，

5、且可以在运行中实时改变可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。响应参数。探恼哟砌眷裤罢梗砧拖忻隋褪威扒边集肮兼院透皆摔糟缩货歧依汝惺略欲第八章离散系统理论第八章离散系统理论e*(t)=e(t)T(t),其中其中 为理想单位脉冲序列。为理想单位脉冲序列。则则：8.2 信号的采样与保持信号的采样与保持 对上式取拉氏变换对上式取拉氏变换, ,得得例例8.18.1e(t)=eat,试写出试写出e*(t)表达式表达式。在图中在图中， T T( (t t) )为载波信为载波信号号；e e( (t t) )为调制信号为调制信号；e e* *( (t t) )为理想输出脉冲序列。为理想输出脉冲序列

6、。8.2.1采样过程与采样定理采样过程与采样定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S采样过程采样过程采样过程采样过程数学描述：数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。8.18.38.48.58.68.2.2五框劈坛淹握爱扁牛极喘持歼捎瘴铣九吸圣朵珐暴凹纪潍允闺演伸企桨好第八章离散系统理论第八章离散系统理论设计控制系统必须严格遵守的一条准则。设计控制系统必须严格遵守的一条准则。1.问题的提出问题的提出 连续信号连续信号e( (t) )经过采样后，只能给出采样点上的数

7、值，不能知经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e( (t) )所含所含的信息。的信息。采样定理采样定理采样定理采样定理(a)连连 续续 信信号号t(b)离散信离散信号号t 2.定性分析定性分析 如果连续信号如果连续信号e( (t) )变化缓慢（最大角频率变化缓慢（最大角频率 maxmax较低较低，而采样而采样角频率角频率 s s比比较高（即采样周期较高（即采样周期T=2T=2 / / s s较小较小，则则e*(t)基本上能基本上能反映反映e e( (t t) )的变化规律。的变化规律。3.

8、采样定理采样定理（香农定理香农定理）如果采样器的输入信号最高角频率为如果采样器的输入信号最高角频率为max，则只有当采样频率则只有当采样频率s2max,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。怎样才能使采样信号怎样才能使采样信号e*(t)大体上大体上反映反映e(t)的变化规律呢的变化规律呢？苏杠睛蔽易预楚脾景享锹罩怒今煤浚嗅朗赤粹橙七屿栖乖虐克峡溶撤瘫百第八章离散系统理论第八章离散系统理论8.2.2信号复现及零阶保持器信号复现及零阶保持器信号复现信号复现将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装

9、置称为保持器或复现滤波器。置称为保持器或复现滤波器。eh(t)e*(t)e*(t)t零阶保持器零阶保持器eh(t)t零零阶阶保保持持器器的的数数学学表表达达式式为为e(nT+t)=e(nT)；其其脉脉冲冲响响应应为为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为传递函数为零阶保持器零阶保持器零零阶阶保保持持器器是是最最简简单单也也是是工工程程中中使使用用最最广广泛泛的的保保持持器器。零零阶保持器的输入输出特性可用下图描述。阶保持器的输入输出特性可用下图描述。8.2.1肤概黔脏博童匣绥沏渗投擅冤阉求尊傈漫前勃绅醇誊爬樟盛屁饮桂梦继巢第八章离散系统理论第八章离散系统理论8.3 Z Z变换与变换与Z

10、 Z反变换反变换8.3.1Z变换变换1. Z1. Z变换的定义变换的定义 2. Z2. Z变换方法变换方法 (1)(1) 级数求和法级数求和法 将将Z变换的定义式展开变换的定义式展开：E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+e(nT)z-n+(2)(2) 部分分式法部分分式法对于常用函数对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。 先求出已知连续时间函数先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换的拉氏变换E(s)；将将E(s)展开成部分分式之和的形式展开成部分分式之和的形式；求拉氏反变换，再求求拉氏反变换，再求Z变换变换E(z)。即即为为

11、Z变换的定义式变换的定义式。称称E(z)为为e*(t)的的Z变换变换,记作记作Ze*(t)=E(z),或或Ze(t)=E(z)8.18.48.58.68.28.3.2性质性质动画演示动画演示令令z=eTs,则则=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+答晚锈镀梢减德屎葡母耕嚼囱捂酥习西夫渝姆泛荆消阳返侦诊桩们私秩台第八章离散系统理论第八章离散系统理论对比对比(2)中结果，有中结果，有(4) 单位单位斜坡斜坡信号信号 e(t)=t，则则3 3. 典型信号的典型信号的Z Z变换变换两边同乘两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的得单位斜坡信号的z变换变换两端对两端对z求导数，得求导数，得 (3)

12、单位理想单位理想脉冲序列脉冲序列 e(t)=T(t)(1) 单位单位脉冲脉冲函数函数 e(t)=(t)(2) 单位单位阶跃阶跃函数函数 e(t)=1(t)彤荡冯宽缀缠瓤瓢笋盘绳给眨就钡昏萍惠眼糖鞋堰违疟乙醛庸铃源函厉舞第八章离散系统理论第八章离散系统理论(5)(5) 指数指数函数函数 e(t)=e-at(a为实常数为实常数，则则这是一个公比为这是一个公比为(e-aT z-1)的的等比级数，当等比级数，当|e-aT z-1|1时，级数时，级数收敛收敛,则则可写成闭合形式可写成闭合形式所以所以利用利用(*)、(*)式，有式，有(6)(6) 正弦正弦信号信号 e(t)=sin t,因为因为准烤蚌溅淡

13、裳对遏贸妊浅蛹阎疼菊遵溅侍朔儿氛真洒颇迸识脊鹅哩绿蜂特第八章离散系统理论第八章离散系统理论进行部分分式展开，有进行部分分式展开，有再取拉氏反变换再取拉氏反变换参照参照(2)和和(5),得得舵藩逾阜边迹寒锁卓躯隅迁域辟吴臀衣囚吞昧渡份债偶坑埋垫似旦涪授铝第八章离散系统理论第八章离散系统理论4 4 4 4. . Z Z Z Z变换的性质变换的性质变换的性质变换的性质 (1) 线性线性定理定理若若E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a为常数为常数，则则Ze1(t)+e2(t)=E1(z)+E2(z)，Zae(t)=a E(z) 例例8.28.2 已知已知e( (t)=1()=1(t-

14、 -T),),求求Z变换变换E( (z) )。 (3) 复数位移复数位移定理定理 已知已知e(t)的的Z Z变换为变换为E(z)，则有则有根据复数位移定理，有根据复数位移定理，有例例8.38.3 已知已知e( (t)=)=t e-at-at, ,求求Z Z变换变换E( (z) )。Ze(t) =E(z eaT)(2) 实数位移实数位移定理定理若若E(z)=Ze(t)，则则Ze(t-kT)=z-kE(z),Ze(t+kT)=解：解：解：解：已知单位斜坡信号的已知单位斜坡信号的z变换为变换为8.3.28.3.1责鄂齐酚逊咸弃电兼范刽将什娃雇收诛酮州唾诀磅辗巡痔索婪矗忙姑惨荒第八章离散系统理论第八章

15、离散系统理论(4) z域微分域微分定理定理若若 e(t)的的z变换为变换为E(z)，则则若若 e(t)的的z变换为变换为E(z)，则则Zan e(t)=E(z/a),a为常数为常数 例例8.48.4 试求试求 n ncoscos t t的的Z Z变换变换。(5) z z域尺度域尺度定理定理解：解：由变换表由变换表品逆弗相百医铀度菊屉午典题撒烂骑绍姐桐嘱耍灶卷丹宇跋严琼畴耙馏狠第八章离散系统理论第八章离散系统理论(6) 初值初值定理定理 若若e(t)的的z变换为变换为E(z)，函数序列函数序列e(nT)为有限值为有限值(n=0,1,2,)，且极限且极限存在，则存在，则设设x(nT)和和y(nT)

16、为两个采样函数，其离散卷积定义为为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT) y(nT)=，则卷积定理为：，则卷积定理为：Zx(nT) y(nT)=X(z)Y(z)若若e(t)的的z变换为变换为E(z)，并有极限并有极限存在存在，则则(7) 终值终值定理定理(8)卷积卷积定理定理堡矢刺斯请寸芽锦普白茎碍毖鳃呈蚂魏卫吊匀电预狂族莲煮裔箕庇岗焰樊第八章离散系统理论第八章离散系统理论8.3.2Z反变换反变换从从Z域函数域函数E(z)求时域函数求时域函数e*(t)，叫做叫做Z反变换反变换。记作记作Z-1E(z)=e*(t)。 例例8.58.5 已知已知z变换函数变换函数，试求其试求其z反变换反变换。 解

17、：解：首先将首先将E(z)/z展开成部分分式展开成部分分式所以所以e(nT)=(-1+2n) 10e*(t)=e(0)(0) ( (t) )+ +e( (T) ) ( (t- -T) )+ +e( (2T) ) ( (t- -2T) )+ =0+100+10 ( (t- -T)+)+3030 ( (t- -2T)+ )+ 7070 ( (t-3-3T)+)+ 1 1.部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法是将部分分式展开法是将E(z)展成若干分式和的形式，对每部展成若干分式和的形式，对每部分分式查分分式查Z变换表找出相应的变换表找出相应的e*(t)。因因Z变换表中变换表中Z变换函数分变换函

18、数分子普遍有因子子普遍有因子Z，所以应将所以应将E(z)/z展开成部分分式展开成部分分式。性质性质8.3.1骄滓泞无少临迭筒棚柠米乍祖悔私瞧崎台疑股揪构贯咬希场苟淑诀崎摊掷第八章离散系统理论第八章离散系统理论 例例8.68.6 已知已知z z变换函数变换函数试求其试求其z反变换反变换。 解解：因为因为所以所以 e*(*(t)=)=e(0)(0) ( (t) )+ +e( (T) ) ( (t- -T) )+ +e(2T) ) ( (t t-2-2T) )+ =0+(1- =0+(1-e- -aTaT) ) ( (t- -T)+)+(1-(1-e-2-2aTaT) ) ( (t-2-2T)+)+

19、(1-(1-e-3-3aTaT) ) ( (t- -3 3T)+)+2 2.幂级数法（综合除法幂级数法（综合除法) )查表得查表得e(t)=1(t)-e-at则则 e(nT)=1-e-anT由由Z变换的定义变换的定义而而则则c0,c1,c2,就是脉冲序列就是脉冲序列e*(t)各采样点的值各采样点的值e(nT),所以所以哎蹦亨吉颧劝结丫斩羞钢读锄铁姨坛锦共释汐烃堪刃类掣盐郊此俞痪帜汞第八章离散系统理论第八章离散系统理论8.4离散系统的数学模型离散系统的数学模型 8.4.1线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法J工程中常用迭代法和工程中常用迭代法和Z Z变换法来求解差分方程变换法来求

20、解差分方程：1 1.迭代法迭代法根根据据给给定定差差分分方方程程和和输输出出序序列列的的初初值值，则则可可以以利利用用递递推推关关系系，一步一步算出输出序列。一步一步算出输出序列。2.Z2.Z变换法变换法用用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并变换，并利用利用Z变换的位移性质，得到以变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数为变量的代数方程，然后对代数方程的解方程的解C(z)取取Z反变换即求得输出序列。反变换即求得输出序列。式中式中：k第第k个采样时刻个采样时刻；n系统的阶次系统的阶次。一般一般n阶线性定常离散系统的输出和输

21、入之间的关系，可用阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用n阶常系数差分方程描述。阶常系数差分方程描述。8.18.38.58.68.2厩惺螺仕龄侄二拓牛亿确谣祥键肝悼畏写他干桥槽锦霍轴硒嫩奴盆梳结国第八章离散系统理论第八章离散系统理论8.4.2脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数的定义和意义脉冲传递函数的定义和意义 零初始条件下，系统输出零初始条件下，系统输出C(t)的的z变换变换C(z)与输入与输入r(t)的的z变换变换R(z)之比，称为脉冲传递函数，即之比，称为脉冲传递函数，即G(z)=C(z)/R(z)。若输入若输入r(t)=(t),则则C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(

22、t)=Z-1G(z)。即即连续系统的脉冲响应采样后的连续系统的脉冲响应采样后的Z变换即为脉冲传递函数变换即为脉冲传递函数。开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数1.串联环节串联环节戚瞒费幼惺胺犯腆们把檀协题束加出氮扁撩躺铣揣燃战标辐叔姑锌肝饮汉第八章离散系统理论第八章离散系统理论2.有零阶保持器的情况有零阶保持器的情况3.连续信号进入连续环节连续信号进入连续环节惊畅福连套托崇湃蚊友疆骨厌要兜穷责绦佛尝涧龚租户想滔茶沾意寡读治第八章离散系统理论第八章离散系统理论-闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数动画演示动画演示蚌嵌保各呼泛园阔漓悸末伟孕尚茸隐存敞顶遍齐覆寝烩画绰壁左度加夸坚第八章离散系统理论第八章离散

23、系统理论 S域的虚轴映射成域的虚轴映射成Z域的圆周；左半域的圆周；左半S平面映射在圆周内，右平面映射在圆周内，右半半S平面映射在圆周外。平面映射在圆周外。8.5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差一、一、S S域到域到Z Z域的映射域的映射二、离散系统稳定的充要条件二、离散系统稳定的充要条件1.时域中：特征方程的根满足时域中：特征方程的根满足ai1(了解即可了解即可2.Z域中：特征方程域中：特征方程1+HG(z)=0的模的模zi1(牢固掌握牢固掌握)三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据双线性变换与劳氏判据：双线性变换与劳氏判据：1.双线性变换双线性变换2.劳氏判据

24、劳氏判据:形式同连续系统。形式同连续系统。8.18.38.48.68.28.5.2例例8.5.1稳定性判据稳定性判据动画演示动画演示动画动画北侗晨致斡香抑呛根竿滦窒委枣托狂糜镀毛鳃烽切谢藏靴际灭挂膏励赖群第八章离散系统理论第八章离散系统理论设系统的结构图如下图所示，采样周期设系统的结构图如下图所示，采样周期T=1s。设设K=10，试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。例例8.7解：解：由图得由图得由此由此得系统得系统特征方程为特征方程为z2+2.31z+3=0求解得一对共轭复根求解得一对共轭复根 1=-1.156j1.29， 2=-1.156-

25、j1.29分布在单位圆外，因此系统是不稳定的分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。C(s)R(s)8.5.1 8.5.2而箍辣溪焦会运送晨遭幅拒价讽肃披犊紧插掇旱捶朴乳柞穴槛车秦彪胞擂第八章离散系统理论第八章离散系统理论由由1G(z)=0求得系统特征方程为求得系统特征方程为z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K)=0由系统开环脉冲传递函数由系统开环脉冲传递函数得到系统的临界放大系数为得到系统的临界放大系数为:Kc=2.4列劳氏表计算列劳氏表计算w22.736-0.104K0.632Kw11.264-0.528K0w00.632K为使系统稳定，须有为使系统稳定，须有进行进

26、行w变换得变换得(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0动画演示动画演示炭咆措烂陡聋熏茶扒墟淹识弓继棠式刑姆埃蚀磐鸳矛刻殴县多懈示军铭赎第八章离散系统理论第八章离散系统理论1.终值定理法终值定理法8.5.2稳态误差的计算稳态误差的计算2.误差系数法误差系数法(1)单位阶跃输入时单位阶跃输入时r(t)=1(t)(2)单位斜坡输入时单位斜坡输入时r(t)=t(3)单位加速度输入时单位加速度输入时r(t)=t2/28.5.1例例动画演示动画演示黔睹秋锡挖访抛瞳惋帐铅淡珊漆梳特挟妹郑意撵延滤台欠罐暗芬注炭骇讥第八章离散系统理论第八章离散系统理论设系统的结构图如

27、下图所示，设系统的结构图如下图所示，K=1, =1, T=0.1=0.1s , ,r( (t)=1()=1(t)+)+t, , 求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。例例8.8系统的稳态误差为系统的稳态误差为 解：解：系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为把把T=0.1代入化简得代入化简得C(s)R(s)于徘疵躲锥贞纲食莆慈搂瀑柱岿加辽秒沈蛹值骋书磺寄狙伍瞩阮冰掳壮朗第八章离散系统理论第八章离散系统理论一般假定外作用为单位阶跃函数一般假定外作用为单位阶跃函数r(t)=1(t)，此时，此时R(z)=z/(z-1)，则系统输出量的则系统输出量的Z变换函数为变换函数为8.6 离散系统的动态性能分析离

28、散系统的动态性能分析一、一、时间响应时间响应然后用长除法，将然后用长除法，将C(z)展成无穷幂级数：展成无穷幂级数：C(z)=C0+C1z-1+C2z-2+Cnz-n在在C*(t)t坐标中描出点坐标中描出点(kT,Ck),k=0,1,2,n，则得阶跃，则得阶跃响应脉冲序列。响应脉冲序列。则得单位阶跃作用下的输出序列为则得单位阶跃作用下的输出序列为C(kT)=Ck,k=0,1,2,n将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。8.18.38.48.58.2行既蛛己孽谨快荚取顷线米奉漾鸯贵炊珠歹乐肝骇凄炼撒披邵十变腑至零第八章离散系统理论第八章离散系统理论闭环复极点与动态响应的关系闭环复极点与动态响应的关系二、二、闭环极点与动态响应的关系闭环极点与动态响应的关系仕邪言龄洽萍狼把抠进汉合祁团思润闭阔液咖骂口裁挖算兔靶聊妇洽笑奔第八章离散系统理论第八章离散系统理论闭环实极点与动态响应的关系闭环实极点与动态响应的关系泪桂蚌涩腹滤榆脸抄它欧矣搐哉四呵熄改呆入槽惰炳弥悠锗晶桶雁望癌令第八章离散系统理论第八章离散系统理论本本 章章 作作 业业(P333)8-1(1)8-2(1,3)8-3(1)8-5(1)8-88-128-10(思考思考)爪薯力巢孽曾唱默爬嘶临变饯徘遁消房锡监殿兼锻殿充岗肋腊颗柄缕倪彬第八章离散系统理论第八章离散系统理论