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1、第五章第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分 第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质 第五五章 教学目的与要求教学目的与要求：理解定积分的概念理解定积分的概念了解定积分的几何意义了解定积分的几何意义重点：重点： 定积分的概念定积分的概念一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .矩形面积梯形面积a ab bx xy yo oa ab bx xy yo o用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小
2、矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为解决步骤小结 :1) 分割分割( (大化小大化小)： 在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 以直代曲以直代曲： (常代变常代变)在第i 个窄曲边梯形上任取作以
3、为底 ,为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3) 求和求和(近似和)：.4) 取极限取极限. 令则曲边梯形面积元素法元素法1 1 分割分割( (化整为零化整为零) )2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 求和求和( (积零为整积零为整) )yxoy=f (x)ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f ( i).元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 分割分割( (化整为零化整为零) )2 2 以直代曲以直代
4、曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 求和求和( (积零为整积零为整) ) 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f ( i)元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1分割分割( (化整为零化整为零) )2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 求和求和( (积零为整积零为整) ) 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f ( i)Sab.S =.2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.已知速度思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上思路：把整段时间分割成若干
5、小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值解决步骤解决步骤:1)分割(大化小大化小).将它分成在每个小段上物体经2)以直代曲(常代变常代变).得n 个小段过的路程为3)求和(近似和).4) 取极限取极限 . .上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割(大化小) , 以直代曲(常代变) , 求和(近似和) , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限二、定积分的定义二、定积分的定义1. 定义
6、定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：定理定理1 1定理定理2 22. 可积的充分条件:曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值3、定积分的几何意义、定积分的几何意义各部分面积的代数和几何意义：几何意义：例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解注 利用利用得两端分别相加, 得即例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解例3. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:解解:说明:根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: (左矩形公式)(
7、右矩形公式)( (梯形公式梯形公式) )为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故对定积分的对定积分的补充规定补充规定: :说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小1 1、基本内容、基本内容三、定积分的性质证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证证性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置
8、如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立. .例例若若性质性质3 3（定积分对于积分区间具有可加性）定积分对于积分区间具有可加性）则则证证性质性质4 4性质性质5 5解解令令于是于是性质性质5 5的推论：的推论：证证（1 1）证证说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的. .性质性质5 5的推论：的推论：（2 2）证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6解解解解例4. 试证试证:证证: 设则在上 , 有即故即证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中
9、值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为故所求平均速度解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使五、小结五、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限3 3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）注意估值性质、积分中值定理的应用）4 4典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小思考题思考题 1 1将和式极限：将和式极限：表示成定积分表示成定积分. .思考题思考题1解答解答原式原式思考题思考题 2思考题思考题2解答解答例例3. P233 题题34. P233 题8 (2) , (4)题8(4) 解解: 设则即练练 习习 题题 1 1练习题练习题1答案答案练练 习习 题题 2练习题练习题2 2答案答案
