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1、第第3章章 正正 弦弦 电 流流 电 路路3.1 3.1 3.1 3.1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念3.2 3.2 3.2 3.2 电容元件和电感元件电容元件和电感元件电容元件和电感元件电容元件和电感元件3.3 3.3 3.3 3.3 复复复复 数数数数3.4 3.4 3.4 3.4 正正正正弦弦弦弦交交交交流流流流电电电电的的的的相相相相量量量量表表表表示示示示法法法法3.5 3.5 3.5 3.5 正正正正弦弦弦弦电电电电流流流流电电电电路路路路中中中中的的的的电电电电阻阻阻阻、电感和电容电感和电容电感和电容电感和电容3.6 3.6 3
2、.6 3.6 基基基基尔尔尔尔霍霍霍霍夫夫夫夫定定定定律律律律的的的的相相相相量量量量形形形形式式式式3.7 3.7 3.7 3.7 电电电电阻阻阻阻、电电电电感感感感、电电电电容容容容的的的的串串串串联及阻抗联及阻抗联及阻抗联及阻抗3.8 3.8 3.8 3.8 电电电电阻阻阻阻、电电电电感感感感、电电电电容容容容的的的的并并并并联联联联及导纳及导纳及导纳及导纳3.9 3.9 3.9 3.9 负负负负载载载载及及及及实实实实际际际际元元元元件件件件的的的的电电电电路路路路模模模模型型型型3.10 3.10 3.10 3.10 阻抗的串联和并联阻抗的串联和并联阻抗的串联和并联阻抗的串联和并联3
3、.11 3.11 3.11 3.11 正弦电流电路中的功率正弦电流电路中的功率正弦电流电路中的功率正弦电流电路中的功率3.12 3.12 3.12 3.12 功率因数的提高功率因数的提高功率因数的提高功率因数的提高3.13 3.13 3.13 3.13 复复复复杂杂杂杂正正正正弦弦弦弦电电电电流流流流电电电电路路路路的的的的分分分分析析析析3.1 正弦交流电的基本概念交流交流电电相比于直流相比于直流电电有如下有如下优优点。点。 (1)(1)正弦交流电易于产生、转换和传输。交流发电正弦交流电易于产生、转换和传输。交流发电机的结构简单，造价便宜，运行可靠。交流电利用变机的结构简单，造价便宜，运行可
4、靠。交流电利用变压器改变电压，用高压输电，可以实现远距离输电，压器改变电压，用高压输电，可以实现远距离输电，而且损耗小，又能保证安全用电。而且损耗小，又能保证安全用电。 (2)(2)利用电子整流设备可以方便地将交流电转换成利用电子整流设备可以方便地将交流电转换成直流电。直流电。 (3)(3)从分析计算的角度出发，电工技术中遇到的非从分析计算的角度出发，电工技术中遇到的非正弦周期的电量利用傅立叶级数都可以分解为直流分正弦周期的电量利用傅立叶级数都可以分解为直流分量和系列不同频率的正弦分量。因此只要掌握了正量和系列不同频率的正弦分量。因此只要掌握了正弦电路的分析方法，就可以用叠加定理去分析线性非弦
5、电路的分析方法，就可以用叠加定理去分析线性非正弦周期电路。正弦周期电路。 交流电路中，电流的大小和方向，电压的大小和极性都随时间的变化而变动，在任瞬时，时变的电流或电压的数值，称为它的瞬时值，并用小写字母表示，例如瞬时电流记作i(t)，瞬时电压记作u(t)，也可简写为i和u，这同样表示时间的函数。由于在不同的瞬时，瞬时值不仅大小不同，正负也不同。因此我们仍规定，电流的实际方向与参考方向或电压的实际极性与参考极性致时取正，否则取负。 当时变的电流(或电压)经过相等的时间间隔，瞬时值以同样的次序重复出现，这种时变电流(或电压)称为周期电流(或电压)，如图3.l所示。其解析表达式为式中k为任意正整数
6、，T为周期。它表示电流(或电压)的波形重复出现时，所经过的最短时间间隔。在SI中，主单位为秒(s)。 图图3.1 3.1 几种周期性交流几种周期性交流电电流波形流波形 周期电流(或电压)在个周期内的平均数值称为它的平均值，其数学表达式为 。平均值等于零的周期电流(或电压)称为交流电流(或电压)。如果交流电流(或电压)按正弦规律作周期性变化，称为正弦交流，如图3.1(a)3.1(a)所示就是个正弦电流的波形。通常所说的交流电就是指正弦交流。 3.1.13.1.1正弦交流正弦交流电电量的三要素量的三要素 如图3.2(a)所示电路表示段正弦电路，当正弦电流在指定参考方向下通过该电路时，其解析表达式为
7、该式称为正弦电流的瞬时值表达式。式中三个量Im、 称为正弦量的三要素。 图图3.2 3.2 正弦交流的波形正弦交流的波形 Im称为正弦电流的振幅。它表示正弦电流变化过程中所能达到的最大值，如 时，i=Im。通常用下标“m”标注。 称为正弦电流的角频率。它表示正弦量的对应的角度随时间变化的速度，或者说，表示单位时间增加的角度，即 。它反映了正弦量变化的快慢。在SI中，主单位是弧度每秒(即rads)。正弦量变化的快慢还可以用周期(T)和频率(f)表示。周期是指正弦量变化个循环所需的时间，用T T表示，它的SISI主单位是秒(s)(s)。频率是指正弦量每单位时间内变化的循环次数，用f f表示，它的S
8、ISI主单位是赫兹(Hz)(Hz)。频率和周期的关系是互为倒数，即因为正弦量在个周期内对应的角度变化为2弧度，所以角频率和周期T及频率f的关系为 称为正弦电流的初相位或初相角，简称初相。它是正弦量在计时起点(t=0)时刻的相角，即 ，它又反映正弦量的初始值，即t=0时刻的值，如 ，即反映正弦量在t=0时的状态。而 这个电角是确定正弦量每瞬间状态的，决定了正弦量变化的进程，称之为相位角，简称相位。 相位角和初相角均为电角，故有相同单位弧度(rad)，工程中还习惯以度为单位，在计算时，t与 应为相同的单位。画正弦量的波形时，可以用时间t为横坐标，也可以用t为横坐标(见图3.2)。 3.1.23.1
9、.2相位差相位差正弦电流电路中，电流与电压都是同频率的正弦量，但是它们的相位并不定都相同，并且经常遇到频率相同的正弦量要比较相位差。设两个同频率正弦量分别为它们之间的相位之差 ，称为相位差，用字母表示，即两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差，它是个与时间无关的常数，且与计时起点无关。应当注意，对于两个不同频率的正弦量，相位差是个随时间变化的数，讨论已无意义。当时，称i1在相位上比i2超前角，即在时间上，i1比i2先由负值至正值经过零点，或先到达正的最大值。反过来也可以说i2在相位上比i1滞后角。如图3.4(a)所示。图3.4 同频率正弦量的相位差 当时 ，称i1与i2同相位（可简称同相
10、），这时i1与i2同时达到正的最大值，或同时通过零点，如图3.4(b)所示。 当时 ，称i1与i2反相，如图3.4(c)所示。当时 ，称i1与i2正交，如图3.4(d)所示。相位差的单位仍是弧度，习惯上也用度表示，其取值范围规定为3.1.33.1.3有效有效值值正弦量是一个随时间按正弦规律作周期性变化的物理量，可以用瞬时值和最大值来表示。但瞬时值描述较繁琐，最大值又只能反映瞬间情况，不能确切表达它的效果，为此工程上引入一个新概念，即有效值。下面从等效能量概念来定义有效值。假设有两个阻值相同的线性定常电阻R R，分别通以直流电流I I和正弦电流i i，在个周期T T内，直流电流I I和正弦电流i
11、 i所产生的热量分别为Q QI I和Q Qi i，则由能量概念得（式中K为系数）如果在周期T内，直流电流I和正弦电流i所产生的热量相等，即QI=Qi，则规定直流电流I的量值即为正弦电流i的有效值。即有周期量的有效值是瞬时值的平方在个周期内的平均值再开方。所以有效值又称方均根值。 将正弦电流 代入可得正弦电流的有效值为同样对正弦电压、正弦电动势的有效值为即正弦量的有效值等于其最大值的 倍。工程上凡是谈到周期电流、电压或电动势的量值时，若无特殊说明，都是指有效值而言。在交流测量仪表上指示的电流或电压也都是有效值。但在分析各种电子器件的击穿电压或电气设备的绝缘耐压时，要按最大值考虑。 当采用有效值时
12、，正弦电流、电压的瞬时值表达式可表示成3.2 电容元件和电感元件在交流电路中，除要考虑电阻外，还要考虑电感和电容的作用。由于电路中的电压和电流随时间变动，使得电路周围的电场和磁场也随时间变动。变动的磁场将在电感中产生感应电动势，变动的电场将在电容中产生位移电流，影响整个电路中电压与电流的分布。因此研究交流电路时必须引入电感元件和电容元件来建立电路模型。3.2.13.2.1电容元件电容元件在两块金属板之间充以不同的绝缘介质（如云母、绝缘纸、电介质等），就构成一个电容器。充云母介质的电容器称为云母电容器，充绝缘纸介质的电容器称为纸介电容器等。电容器的特点是能在两块金属板上储集等量而异性的电荷。其原
13、理模型如图3.5(a)3.5(a)所示。 由于电容器两极板间的绝缘介质不是理想的，因此当电压作用于电容器时，就会在两极板间出现传导电流，同时产生能量损耗，这种现象称为漏电现象。如果作用于电容器的电压为变动电压，在绝缘介质中还会产生介质极化能量损耗。忽略能量损耗的电容器称为理想电容元件，可用种理想电路元件电容元件作为它的电路模型。电容元件表征电容器的电场特性，用图3.5(b)3.5(b)所示的电路图形符号表示。图图3.5 3.5 电电容器的原理模型和容器的原理模型和电电容元件的符号容元件的符号图中+ +q q和- -q q是该元件正极板和负极板上的电荷（量）。若电容元件上电压的参考方向规定由正极
14、板指向负极板，则任何时刻极板上的电荷q q与电压u u有以下关系式中，C定义为电容元件的电容。即C取决于电容器极板的尺寸及其间介质的介电常数。 在国际（SISI）单位制中，电容的主单位是法拉（FaradFarad），记作法（F F）。常用的电容单位有微法、皮法等，其换算关系是1 1微法（FF）1010-6-6法（F F）1 1皮法（pFpF）1010-12-12法（F F）在直角坐标系中，若以电容元件的电荷q q为纵坐标(或横坐标)，电压u u为横坐标(或纵坐标)，对于系列的电荷和电压值可得到条代表电荷与电压之间的函数关系曲线，称做电容的库伏特性曲线，简称为库伏特性。线性电容的库伏特性曲线是条
15、通过坐标原点的直线，如图3.6(a)3.6(a)所示，它的电容值是个常数。非线性电容元件的库伏特性是通过坐标原点的条曲线，如图3.6(b)3.6(b)所示。图3.6 电容元件库伏特性 电容元件也简称为电容，所以电容这术语及其代表符号C，既表示电容元件，又表示电容元件的参数电容量。 当作用于电容器的电压变动时，电容器极板上的电荷也随之变动，联接电容的导线中就会有电流通过，若电压与电流取关联参考方向时，则 为电容元件上电压与电流的伏安关系式电容元件在任时刻的电流不是决定于该时刻电容的电压值，而是决定于此时电压的变化率，故称电容元件为动态元件。电压变化越快，电流越大；电压变化越慢，电流越小；当电压不
16、随时间变化时，电容电流等于零，这时电容元件相当于开路。故电容元件有隔断直流的作用。电容元件上的电压与电流的另种关系式为式中 体现了起始时刻t=0之前电流对电容电压的全部贡献，称为电容元件的初始电压或初始状态。而体现了从t=0到时间t电流的贡献。若，则 电容电流是指与电容极板相联接的导线中的传导电流，它是不能通过电容器极间的绝缘介质的，但这并不违背电流的连续性。因为根据电磁场理论，当电场变动时，在介质中要产生位移电流。可以证明：这个位移电流恰好等于联接导线中的传导电流，从而保证了电流的连续性。 由于我们只分析理想电容元件，不考虑电容器内部的漏电损耗和极化损耗，所以充电过程中电源所做的功全部储存在
17、电容器的电场之中。当电容器的电压与电流取关联参考方向，则电容C在某瞬间吸收的功率为 从t0到t电容吸收的能量为 如果u(t0)=0，即电容从零电压开始充电到u(t)，则在时刻t所储存的能量为上式说明，电容元件是种储能元件，某时刻t的储能只取决于电容C及这时刻的电容电压，并与其上电压的平方成正比。当电压的绝对值增加时，电容从外界吸收能量，储存于电场中；电压的绝对值减小时，电容向外界释放储存于其电场的能量，可见电容元件并不消耗能量。同时，电容元件在任何时刻不可能释放出多于它吸收的能量，因此，它是种无源元件。 使用实际的电容器，当电容量不够时，可将几个电容器并联使用。图3.8(a)所示是两个电容器并
18、联。两个并联的电容看成是个等效电容C，如图3.8(b)所示。当n个电容并联，则等效电容为（a） （b）图3.8 电容的并联 若单个电容耐压不够，可以将几个电容串联使用。图3.9(a)是两个电容器的串联，根据电荷守恒原理和KVL 有把两个串联的电容看成个等效电容C，如图3.9(b)所示当n个电容串联，则等效电容为（a） （b）图3.9 电容的串联3.2.23.2.2电电感元件感元件用导线绕制成线圈便构成电感器，也称为电感线圈，如图3.10(a)3.10(a)所示。当个匝数为N N的线圈通过电流i i时，在线圈中建立磁场形成自感磁通，与线圈每匝相交链的磁通总和形成自感磁链：图3.10 实际电感器及
19、电感元件的符号 式中 分别为与对应线匝相交链的磁通。如果线圈绕制得很紧密，穿过线圈各匝的磁通近似为相等的，即则磁链为电感线圈是种储存磁场能量的电路器件，如果线圈的电阻和匝间电容都很小，消耗的能量和电场储存的能量可以忽略不计，这时实际的电感线圈可用种理想电路元件电感元件作为它的电路模型，其电路图形符号如图3.10（b）所示。电感元件表征实际电感线圈的磁场特性。 如果规定电流i的参考方向和磁链 的参考方向之间符合右手螺旋定则，即i、 的参考方向相关联(图3.10(a)，则电感元件的磁链 与元件中的电流i有以下关系 式中L定义为电感元件的电感，亦称自感，即L取决于线圈的几何形状、尺寸、匝数以及附近的
20、介质的导磁性能。 在国际(SI)单位制中，电感的主单位是亨利，记作亨(H)。常用的单位有毫亨和微亨，其换算关系为1毫亨(m H)=103亨(H) 1微亨(H)=106亨(H)当线圈附近没有铁磁材料时，电感L为常量，这种电感称做线性电感。如果在线圈中放入铁磁材料，则磁链 与电流i的比值不等于常量，这种电感称做非线性电感。在直角坐标系中，以电感元件的自感磁链为纵坐标（或横坐标），电流i为横坐标（或纵坐标），对于系列的自感磁链和电流值可得到条代表自感磁链与电流之间的函数关系曲线，称做电感的韦安特性曲线，简称为韦安特性。线性电感的韦安特性是条通过坐标原点的直线，如图3.11(a)所示。非线性电感的韦安
21、特性是通过坐标原点的条曲线，如图3.11(b)所示。图图3.11 3.11 电电感元件感元件韦韦安特性安特性电感元件也简称为电感，所以电感这术语及其代表符号L，既表示电感元件，也表示电感元件的参数电感量。 在电感元件中电流i随时间变化时，磁通 、磁链也随时间变化，在元件中产生感应电动势（亦称自感电动势）。这种现象称为电磁感应。感应电动势e的大小与磁链的变化率成正比，感应电动势的方向由楞次定律判定（即感应电动势总是试图产生感应电流和磁通来阻碍（即反对）原磁通的变化）。 如果选定感应电动势e的参考方向与磁链 的参考方向符合右手螺旋定则，即e与 的参考方向相关联，如图3.10(a)所示，则根据法拉第
22、电磁感应定律得 由感应电动势而使电感元件两端具有的电压称为感应电压(亦称自感电压)，用u表示。如果选取电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，这时u、e和i参考方向相同，如图3.10(a)、(b)所示。如1、2节所述，u为电位降，e为电位升，u与e的参考方向相同时，u=-e，所以所以为电感元件上电压与电流的伏安关系式。它表明，电感元件任时刻的电压不是决定于此时刻的电流值，而是决定于这时刻电流的变化率，故称电感元件为动态元件。电流变化越快，电感电压越大；电流变化越慢，电感电压越小；当电流不随时间变化时，电感电压等于零，这时电感元件相当于短路。将上式两边积分，便可得出电感元件上的电压与电流
23、的另种关系式，即式中 体现了起始时刻t=0之前电压对电感电流的全部贡献，称为电感元件的初始电流或初始状态。而 体现了从t=0到时间t电压的贡献。若 ，则 当电感中的电流与两端电压取关联参考方向时，则电感在某瞬间吸收的功率为从t0到t电感吸收的能量为如果i(t0)=0，即电感从电流为零值开始充磁到i(t)，则在时刻t所储存的能量为 上式说明，电感元件也是种储能元件，某时刻t的储能只取决于电感L及这时刻的电感的电流值，并与其中电流的平方成正比。当电流的绝对值增加时，电感从外界吸收能量，储存于磁场中；电流的绝对值减小时，电感向外界释放储存于其磁场的能量。可见，电感元件并不消耗能量。同时，电感元件在任
24、何时刻不可能释放出多于它吸收的能量，因此，它也是种无源元件。3.3 复 数3.3.13.3.1复数的表示形式复数的表示形式复数一般是由实部和虚部所组成，则其代数形式可表示为 A=A=a+jba+jb式中A为复数。a、b为实数，a称为A的实部，b称为A的虚部，j= 称为虚数单位，数学上用i表示，电工中为了与电流i相区别而改用j来表示。复数的代数形式便于对复数进行加、减运算。复数A A在复平面上可用有向线段（矢量）OAOA表示，如图3.143.14所示。图中矢量的长度称为复数A A的模，矢量与实轴正方向的夹角称为复数A A的辐角，矢量在实轴上的投影就是A A的实部a a，在虚轴上的投影就是A A的
25、虚部b b。则可得关系式如下 图3.14 复数的矢量表示法 复数A又可用三角形式表示，即根据欧拉公式，复数又可表示为指数形式，即在电工中常把复数写成极坐标形式，即复数的指数形式或极坐标形式便于对复数进行乘、除运算。 应用以上各式可以对复数的代数形式和极坐标形式进行相互转换。要注意的是，在计算辐角时，必须根据复数的实部和虚部的正负符号，判断 角所在象限，并统取绝对值小于的辐角。两个复数相等时，其实部和实部，虚部和虚部应分别相等，或者说模和模、辐角和辐角分别相等。如果两个复数的实部相等而虚部等值异号，则这两个复数互为共轭复数。两个共轭复数的模相等，辐角互为相反数。3.3.23.3.2复数的四则运算
26、复数的四则运算1.1.加、减运算加、减运算几个复数相加或相减时，把它们的实部和实部相加或相减，虚部和虚部相加或相减，因此，复数的加、减运算必须用代数形式来进行。设 A1=a1+jb1 A2=a2+jb2则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)复数的加减运算也可用几何作图法平行四边形法和三角形法。图3.15(a)、(c)分别表示求A1+A2和A1-A2的平行四边形法，图3.15(b)、(d)分别表示求A1+A2和A1-A2的三角形法图3.15 复数的加减运算（a） （b） （c） （d） 设则即乘积之模等于复数模之积，而辐角等于复数的辐角之和。商之模等于复数模之商，而辐角则等于被除数的辐角减去
27、除数的辐角。2.乘、除运算用代数形式也可进行复数的乘除运算，例如A1A2=(a1+jb1)(a2+jb2)=(a1a2b1b2)+j(a1b2+a2b1)，这里利用了j2= 1的关系。有时我们还需用到j3= j、j4=1等关系。但在般情况下用指数形式较简便，因此在复数四则运算中，常需进行复数形式的转换。复数对应于具有单位长度的矢量，其模为1，辐角为。个复数乘以，就相当于把表示这个复数的矢量逆时针方向旋转角，因此复数称为旋转因子。例如当=90，即j为90的旋转因子，如图3.16所示。图3.16 j旋转因子3.4 正弦交流正弦交流电的相量表示法的相量表示法由于在正弦电流电路中，所有响应都是与激励同
28、频率的正弦量，所以在分析正弦电流电路时，只要计算电路各处响应的有效值（或振幅）和初相位就可以了。个复数可以同时表达个正弦量的有效值（或振幅）和初相位，相量表示法就是用复数表示正弦量的方法。3.4.13.4.1用相量来表示正弦量用相量来表示正弦量设有正弦电流它由角频率、振幅（有效值）和初相位三个要素决定，因此只要能表达它的三个要素，那么这个正弦量就被确定地表示出来了。为了便于说明相量法，这里构造个复指数函数 。根据欧拉公式，它可以写作。比较上两式可知，正弦电流i(t)恰好是复指数函数的虚部，可记为式中是Im取虚部的符号。上式表明，复指数函数与正弦电流具有对应的关系，可用以表示正弦电流。图3.17
29、可以清楚地看出该式的几何意义。图3.17旋转矢量与正弦波有对应关系由于正弦电流电路中各正弦量都具有相同的角频率，所以在每个表示正弦量的旋转矢量中均含有相同的旋转因子。因此，在中可以略去，即可以只用表示正弦电流(或者说，用t=0时的旋转矢量来表示正弦电流i)。是个能反映正弦量的振幅和初相位的复数，称为正弦电流的振幅相量，并用下列极坐标形式表示类似地，正弦电流的有效值相量为表示正弦量的相量用上面带小圆点的大写字母表示，如、等是为了与普通的复数相区别，这种记法的目的是强调它是正弦量的代表，但在运算过程中与普通的复数并无区别。正弦量和相量之间存在着一一对应关系，即正弦量可以用相量表示，而相量也一定有与
30、之对应的正弦量。应当强调，相量仅仅是正弦量的一个表示符号，相量与正弦量之间不是相等关系。3.4.23.4.2用相量求正弦量的和与差用相量求正弦量的和与差同频率的正弦量相加，其结果仍是一个频率相同的正弦量。同频率正弦量的相加（或相减）的运算等于对应相量相加（或相减）的运算。3.5 正弦电流电路中的电阻、电感和电容3.5.13.5.1电电阻元件伏安关系的相量形式阻元件伏安关系的相量形式在正弦电路中，电流、电压虽然都是随时间变化的，但在每一瞬间，欧姆定律仍然成立。若设通过电阻元件的正弦电流为则在电阻元件两端产生的电压降为u。当取电流i、电压u参考方向为关联参考方向，如图3.20(a)所示，则在任瞬间
31、由欧姆定律得图3.20电阻元件的交流电路、相量模型、电压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图其中电压u是与电流i同频率的正弦量，其最大值为RIm，而且，其相位也与电流相位相同，即电压、电流同时达到最大值或零值，如图3.20(c)所示。若用相量表示，则电阻中电压、电流的相量关系仍服从欧姆定律。其相量图如图3.20(d)。电阻元件在交流电路中消耗的功率，随着各瞬间电流、电压的变化而变化。电路在任一瞬间吸收或消耗的功率称为瞬时功率，当电压电流的参考方向相关联时，它等于电压、电流瞬时值的乘积，常用小写字母p p表示，即瞬时功率的单位仍是瓦特。 瞬时功率由两部分组成。前部分是常量UI，它与时间无关；后部
32、分是正弦量UIcos(2t+2 )，它的频率是正弦电流（或电压）频率的2倍，如图3.20(e)所示。由于电压和电流同相位，所以电压、电流同时为零，及同时达到最大值。电压、电流为零时，瞬时功率也为零；电压、电流达最大值时，瞬时功率也达最大值。而且，在电压、电流均为负值时，瞬时功率也是正，由于任何瞬间，恒有p0，所以，电阻是耗能元件。瞬时功率在周期内的平均值，称平均功率，用大写字母P表示，即3.5.23.5.2电电感元件伏安关系的相量形式感元件伏安关系的相量形式图3.21电感元件的交流电路图、相量模型、电压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图在时域中，当通过电感元件的正弦电流为 时，则在电感元件两
33、端感应出的电压为u。若设电流i、电压u的参考方向为关联参考方向，如图3.21(a)所示，则由电感元件的电压与电流关系得其中 由上式知，电感电压u是与电流i同频率的正弦量，其最大值为UmLIm，其相位则超前于电流 或90，也就是说，电压u到达最大值和通过零值都比电流i早 周期。这是因为决定电感电压u的不是电流i，而是电流i对时间t的导数，即 ，所以电压与电流之间才有相位差存在。其波形如图3.21(c)所示。 式中XL称为电感元件的感抗，具有阻止电流通过的性质。当L的单位为亨利，f的单位为赫兹时，XL的单位为欧姆。当L定时，XL随频率f增大而增大，所以在高频电流作用时，电感线圈有扼流作用。当f时，
34、感抗相当于开路；当f=0（即直流）时感抗相当于短路。因此，可以得出电感元件具有“阻交流、通直流”或“阻高频、通低频”的特性。电压与电流的最大值或有效值之比为感抗的倒数称为感纳，用BL表示，即单位为西门子（S）。值得指出，感抗只能代表电压与电流最大值或有效值之比，不代表它们的瞬时值之比。而且感抗只对正弦交流电才有意义。电感中电流与电压的关系表达成相量形式有其相量图如图3.21(d)所示。电感L吸收的瞬时功率为电感储存磁场能量为由上式知，瞬时功率是个正弦波，其最大值为UI，频率为电流或电压频率的两倍。而且在第个1/4周期内电流由零开始上升到最大值，由于此期间电流、电压的实际方向相同，瞬时功率p为正
35、值，表示电感在吸收能量，并把吸收的能量转化为磁场能量。所以磁场能量WL由零上升到最大值。当电流达到最大值时，由于电压为零，瞬时功率为零。在第二个1/4周期内，电流由最大值逐渐减小到零，由于电流、电压的实际方向相反，瞬时功率p为负值，表示电感在发出功率，原先储存在磁场中的能量逐渐释放直到全部放完。以后过程与前相似，如图3.21(e)所示。电感元件是储能元件，它并不消耗功率，即它的平均功率为零。但它的瞬时功率却不为零。工程上常把它的瞬时功率的最大值称为无功功率。即表示外部能量转换为磁场能量的最大速率。无功功率反映了储能元件与外部交换能量的规模。“无功”的含义是交换而不消耗，不应理解为“无用”。无功
36、功率具有与平均功率相同的量纲，但因无功功率并不是实际做功的平均功率，为了与平均功率相区别，在SISI制中单位为无功伏安，记作乏( (varvar) )，工程上常用的单位是千乏( (kvarkvar) )。相对于无功功率，平均功率也叫有功功率。3.5.33.5.3电电容元件伏安关系的相量形式容元件伏安关系的相量形式图3.23电容元件的交流电路图、相量模型、电压与电流波形图、相量图及瞬时功率波形图 在时域中，当作用于电容元件两端的正弦电压为时，则在电容中通过的电流为i。若设电流i、电压u的参考方向为关联参考方向，如图3.23(a)所示，则由电容元件的电压与电流关系得其中由上式可知，通过电容的电流i
37、是与电压u同频率的正弦量，其最大值为ImCUm。其相位超前于电压或90(或电压滞后于电流因为，决定电容电流i的不是电压u，u对时间t的导数，即，所以电流与电压之间)。这是而是电压才有相位差存在。其波形如图3.23(c)所示。电压与电流的最大值或有效值之比为式中XC称为电容元件的容抗，具有阻止电流通过的性质。当C的单位为法拉，f的单位为赫兹，XC的单位是欧姆。当C定时，XC随频率f的增大而减小。当f时，容抗相当于短路；当f=0（即直流）时，容抗相当于开路。因此，可以得出电容元件具有“通交流、阻直流”或“通高频、阻低频”的特性。容抗的倒数称为容纳，用BC表示，即单位是西门子（S）。值得指出，容抗只
38、能代表电压与电流最大值或有效值之比，不能代表瞬时值之比。而且，容抗只对正弦交流电才有意义。电容中电流与电压的关系表达成相量形式有其相量图如图3.23(d)所示。电容C吸收的瞬时功率为电容储存的电场能量为由上式知，瞬时功率是个正弦波，其最大值为UI，频率为电压或电流频率的两倍，而且在第个1/4周期内，电压由零开始上升到最大值，由于此期间电压、电流的实际方向相同，瞬时功率p为正值，表示电容在吸收能量，并把吸收的能量转化成电场能量。所以电场能量WC由零上升到最大值。当电压达到最大值时，由于电流为零，瞬时功率为零。在第二个1/4周期内，电压由最大值逐渐减小到零，由于电压、电流的实际方向相反，瞬时功率为
39、负值，表示电容在发出功率，原先储存在电场中的能量逐渐释放直到全部放完。以后过程与前面类似，如图3.23(e)所示。电容元件是储能元件，它并不消耗功率，即它的平均功率为零。电容瞬时功率的最大值称为无功功率，它代表外部能量转化为电场能量的最大速率。在SI制中其主单位为无功伏安，记作乏(var)。3.6 基尔霍夫定律的相量形式通过上节对正弦电路中的电阻、电感、电容元件上伏安关系的分析，可知，当用相量表示正弦量后，可使计算过程简化。而电路元件的伏安关系和KCLKCL、KVLKVL是分析各种电路的基本依据，为了系统的采用相量法，本节将导出KCLKCL、KVLKVL定律的相量形式。在集中参数电路的正弦稳态
40、电路中，流出（或流入）任一节点的各支路电流相量的代数和为零。应用KCL时，般对参考方向流出节点的电流相量取正号，反之取负号。 基尔霍夫电流定律(KCL)的相量表达式在集中参数正弦稳态电路中，沿任一回路各支路电压相量的代数和为零。应用KVLKVL时，先对回路选绕行方向，参考方向与绕行方向致的电压相量取正号，反之取负号。注意式中各项均是电压或电流的相量，而它们的有效值一般是不满足KCLKCL和KVLKVL定律的。基尔霍夫电压定律(KVL)的相量形式为3.7 电阻、电感、电容的串联及阻抗3.7.13.7.1RLCRLC串串联电联电路的路的电压电压与与电电流关系、阻抗流关系、阻抗 RLCRLC串联电路
41、如图3.28(a)3.28(a)所示。 图3.28 RLC串联交流电路 假设通过它的电流为各电压、电流取关联参考方向，由KVL和VCR得设Z= R+jX，则称为欧姆定律的相量形式，式中复数Z称为复阻抗，它等于电压相量除以对应端点的电流相量。复阻抗的实部就是电路的电阻R；复阻抗的虚部是电路中感抗与容抗之差，称电抗。感抗和容抗总是正的，而电抗为代数量，可正可负。电路可用阻抗Z来等效，如图3.28(c)所示。复阻抗也可以表达成指数形式、极坐标形式和三角形式，如式中是复阻抗的模，称为阻抗的辐角，称为阻抗角，可正可负，视的正负而定。显然和、的单位相同，都是。由上两式知，复阻抗的模与其实部和虚部构成个直角
42、三角形，称为阻抗阻抗模，总是正值。是复三角形，如图3.29所示。图3.29 RLC串联电路的阻抗三角形3.7.23.7.2电电路的性路的性质质由于电抗与频率有关，因此，在不同的频率下，RLC串联电路有不同的性质，下面分别进行说明。1.当时，X0，电压超前电流，电路中电感的作用大于电容的作用，这时电路呈现电感性。电路阻抗可以等效成电阻与电感串联的电路。2.当时，X=0， ，电压与电流同相，电路中电感的作用与电容的作用相互抵消，这时电路呈现电阻性。电路阻抗等效成电阻R。3.当时，XXC，ULUC时，电压等于三个电压相量之和，画出相量图，如图3.30(a)所示。由图可知，电压超前电流，超前的角度即。
43、2.当XL=XC，UL=UC时，电压的模等于电阻上电压的模，即U=UR，而且与电流同相。相量图如图3.30(b)所示。这种情况称为RLC串联电路发生串联谐振，亦称为电压谐振。3.当XLXC，UL0，电流超前电压，电路中电容的作用大于电感的作用，这时电路呈现电容性。电路导纳可以等效成电阻与电容并联的电路。2.当时，B=0，电流与电压同相，电路中电感的作用与电容的作用相互抵消，这时电路呈现电阻性。电路导纳可等效成电导G。3.当时，BBC时，ICIL，电流等于三个电流相量之和，画出相量图，如图3.35(a)所示。由图可知，电流超前电压，超前的角度即。2.当BL=BC时，IC=IL，电流的模等于电导上
44、电流的模，即I=IG，而且与电压同相。相量图如图3.35(b)所示。这种情况称为RLC并联电路发生并联谐振，亦称为电流谐振。3.当时，电流等于三个电流相量之和，画出相量图，如图3.35(c)所示。由图可见，此时电流滞后电压，滞后的角度即。在相量图中不难看出，电流相量、可以组成个直角三角形，称为电流三角形，如图3.35(d)所示。这说明并联电路端电流的有效值并不等于各并联元件上电流有效值直接相加。各电流有效值之间存在的关系为比较图3.34与图3.35(d)，可以看出，同电路的导纳三角形与电流三角形是相似的，因为将导纳三角形的每边乘以U，即得电流三角形。3.9 负载及实际元件的电路模型3.9.13
45、.9.1 负负载载的的等等效效阻阻抗抗与与等等效效导导纳纳、阻阻抗抗和和导导纳纳的等效的等效变换变换负载往往是由若干个电阻、电感及电容元件组成的，可以用个等效阻抗或等效导纳来表示它，亦即可以用个无源二端网络来表示个负载，如图3. 3.3 38(a)8(a)所示。图图3.38 3.38 无源二端网无源二端网络络的两种等效的两种等效电电路路如果将负载用个等效阻抗Z=Z=R+jXR+jX来表示，则此负载可看成是由电阻R R与电抗X X相串联组成的电路，称为负载的串联等效电路(图3 3.3 .38(b)8(b)；如果将负载用个等效导纳Y=Y=G+jBG+jB来表示，则此负载可看成是由电导G G与电纳B
46、 B相并联组成的电路，称为负载的并联等效电路(图3 3.3 .38(c)8(c)由于这两种等效电路有相同的伏安关系(VCR)，即和，显然有ZY=1，利用这关系可进行两种等效电路参数的互换。若已知负载的等效阻抗Z=R+jX,则它的等导纳为即同理，若已知负载的等效导纳Y=G+jB，则它的等效阻抗为即上两式就是负载串联电路与并联电路等效互换的条件从以上两式看出：等效电导G，并不等于电阻R的倒数，并且还与电抗及频率有关；等效电纳B，也不是电抗X的倒数，并且也与电阻R及频率有关。这就是说，按某频率由上两式算出的等效参数，只有在该频率电源作用下才是正确的。还应注意B与X的符号总是相反的。3.9.23.9.
47、2实际实际元件的元件的电电路模型路模型在前面所讨论的电路中，电阻、电感、电容等元件都是理想化的电路元件，它们与实际电路中实际元件之间是有差异的。实际电路中用到的实际元件，诸如实际电阻器、线圈和实际电容器等用理想电路元件来模拟只能是近似的。随着电路工作条件的变化，一个实际元件往往需两个或更多个电路元件来精确模拟。一般来说，实际元件都不可避免地会带有微小的附加参数，称为寄生参数。在某些情况下，这些寄生参数的作用及对电路的影响可能会上升到主要位置，以至达到不能不加以重视的程度。下面就一些实际元件的情况作一简单介绍。1.1.实际电实际电阻器阻器当一个实际电阻器中通入电流时，它的周围要形成磁场（虽然可以
48、采用双线绕法使磁场尽可能抵消），于是不可避免地会带有微小的电感参数。电阻器上有电压，也会有微量的电荷存在，又不可避免地带有微小的电容参数。因而一个实际电阻器可用图3.393.39所示电路模型来较精确地模拟。图3.39 实际电阻器的电路模型 2.2.实际电实际电感器感器实际电感器是线圈，通常可以看做是一个电阻和一个电感相串联组成。其中的电阻包括导线电阻和铁芯损耗等效电阻。另外，线圈匝间还有分布电容存在。所以实际电感线圈的电路模型应如图3.403.40所示。图3.40 实际电感器的电路模型 3.3.实际电实际电容器容器对于实际的电容器，由于极板间的介质不可能绝对绝缘，在电压作用下，会产生漏电流而引
49、起功率损耗及极化损耗，称为介质损耗。这样，一个实际电容器就可用一个电容元件与一个电阻相并联的电路模型来表示，如图3.41(a)3.41(a)所示。图3.41(b)3.41(b)是实际电容器的相量图。图3.41 实际电容器的电路模型及其相量图 3.10 阻抗的串联和并联工程实际中常把复阻抗或复导纳作为电路元件看待。在交流电路中，阻抗最简单和最常用的连接方式是串联与并联。阻抗的串联和并联计算规则和电阻电路中电阻的串联和并联计算规则相同。1.1.阻抗的串阻抗的串联联如图如图3.42(a)3.42(a)所示是两个阻抗串联的电路。其所示是两个阻抗串联的电路。其 等效等效电路如图电路如图3.42(b)3.
50、42(b)所示。所示。 图3.42 两阻抗串联及等效电路 根据基尔霍夫电压定律可以写出它的相量表示式两个串联阻抗可用个等效阻抗Z来代替，在同样电压的作用下，电路中电流的有效值和相位保持不变。即式中Z=Z1+Z2，称为串联电路的等效阻抗。等效电路如图3.42(b)所示。同理可得，对于n个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为阻抗的串联存在分压关系。当两个阻抗Z1和Z2串联时，两个阻抗的电压分配为式中 是总电压，、分别为Z1和Z2上的电压。2.2.阻抗的并阻抗的并联联如图3.45(a)3.45(a)所示是两个阻抗并联的电路。其等效电路如图3.45(b)3.45(b)所示。图3.45 两阻抗并联及等效电路
51、 根据基尔霍夫电流定律可以写出它的相量表示式两个并联阻抗可用个等效阻抗Z来代替，在同样电压的作用下，电路中电流的有效值和相位保持不变。即式中，即，Z称为并联电路的等效阻抗。等效电路如图3.45(b)所示。同理可得，对于n个阻抗并联而成的电路，其等效阻抗为或阻抗的并联存在分流关系。当两个阻抗Z1和Z2并联时，两个阻抗的电流分配为式中 是总电流，、分别为Z1和Z2上的电流。 例3.25 图3.48(a)示测量电感线圈的参数R和L的电路。若已知三个电压表的读数分别为U=149V，U1=50V，U2=121V，且R1=5 ，f1=50Hz。求线圈的参数。（a）（b）图3.48例3.25电路及相量图解：
52、由相量图应用余弦定理计算线圈的阻抗角电路中电流A电阻电感 （1）选择个参考相量。对于串联电路，选电流为参考相量；对于并联电路，选电压为参考相量；对于混联电路，可根据已知条件选定电路内部某并联部分电压或某串联部分电流为参考相量；对较复杂的混联电路，常选末端电压或电流为参考相量。用相量图求解正弦电流电路的方法大体归纳如下：（3）根据题给的条件，把所给的电气条件转化成相量图中的几何关系，准确地得出电路的相量图，最后根据相量图中的相量关系，利用三角函数定律及几何知识进行求解。（2）以参考相量为基准，根据电路的具体结构及参数，利用R、L、C元件VCR和KCL、KVL的相量形式定性地画出电路的电压、电流相
53、量图。要注意KCL和KVL的相量形式反映在相量图上应为闭合的三角形或多边形。3.11 正弦电流电路中的功率3.11.13.11.1瞬瞬时时功率功率由于在一个无源二端网络中，既含有电阻元件，又含有电容和电感元件，因此，二端网络中既有能量损耗，又有能量交换，它吸收的瞬时功率，等于它的输入端的瞬时电压与瞬时电流的乘积，即p=ui设二端网络的端电压和端口电流的参考方向如图3.50(a)所示。为简便起见，设电流为参考正弦量，即，电压超前于电流的相角为，即该无源二端网络的等效阻抗的阻抗角，则该网络吸收的瞬时功率为式中为恒定分量，它与时间无关为常量；为正弦分量，它的频率是电流或电压频率的两倍，其波形图如图3
54、.50(b)所示。图3.50 无源二端网络及p、 i、 u波形图 为了便于说明二端网络的有功功率和无功功率，由前式可得上式表明，瞬时功率可以看成由两个分量组成。第个分量表示它总不会为负值，因此，这个瞬时功率分量应该是代表二端网络耗能速率的有功分量，即应为二端网络等效电阻吸收的瞬时功率。第二个分量表示它是个交变正弦分量，其正、负半周面积相等，因此，这个瞬时功率应该是代表二端网络与外电路之间能量往返交换的速率，而在平均意义上不能作功的无功分量，即应为二端网络等效电抗部分的瞬时功率。3.11.23.11.2平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）正弦电路吸收的平均功率，也称有功功率，即，不仅与电压、
55、电流的有效值的乘积有关，而且与电压、电流的相位差有关。式中称为网络的功率因数。的值取决于电压与电流的相位差，即决定于网络阻抗的阻抗角。角也称功率因数角。3.11.33.11.3无功功率无功功率电感和电容虽然并不消耗能量，但却会在二端网络与外电路之间造成能量的往返交换现象。往返交换能量的规模显然与二端网络瞬时功率无功分量的最大值UIsinsin 有关。此值越大，则二端网络与外电路往返交换的能量也越多。只要知道瞬时功率无功分量的最大值，就能了解往返交换能量的大小，因此定义无源二端网络的无功功率为一般情况下，若电路是感性的，则 大于零，Q Q为正值，网络从外界“吸收”无功功率；若电路呈容性， 小于零
56、，Q Q为负值，网络向外“发出”无功功率。对于一般的无源二端网络，有上式说明无源二端网络的无功功率等于电流平方乘以该网络等效复阻抗中的电抗。如果电抗不等于零，则该无源二端网络所吸收的无功功率也将不等于零。从物理方面来讲，此时该无源二端网络与外界将有能量的交换。3.11.43.11.4视视在功率在功率正弦电路中的有功功率和无功功率都要在电压和电流有效值的乘积上打一小折扣。通常我们将电压和电流有效值的乘积称为视在功率，用大写字母S S表示，即S=UI视在功率的单位用伏安(VA)表示视在功率S通常用来表示电气设备的额定容量。额定容量说明了电气设备可能发出的最大功率，电气设备实际发出的功率只能用其有功
57、功率P来衡量，有功功率般小于视在功率，仅当时，二者才相等。有功功率P与视在功率S之比称为电路的功率因数。台电气设备在实际运行中，到底能发出多少功率与它所联接的外电路有关，即还决定于外电路的功率因数。所以功率因数表示了台电气设备实际使用时的效率，故电气设备的容量通常用视在功率来表示，而不用有功功率来表示。综上所述，有功功率P、无功功率Q、视在功率S之间存在如下关系：P、Q、S之间的关系可以用个直角三角形来表示，此直角三角形称为无源二端网络的功率三角形，如图3.51所示。图3.51功率三角形3.11.53.11.5复功率复功率在正弦电路中，为了能直接应用电压相量与电流相量来计算功率，工程上常把有功
58、功率P P作为实部，无功功率Q Q作为虚部构成的一个复数，称为复功率。为了区别相量和般复数，用来表示复功率，即式中，为电流相量 的共轭相量。当计算某阻抗Z吸收的复功率时当计算某导纳Y吸收的复功率时可以证明，对于任何复杂的正弦电路，其总的有功功率等于电路中各部分有功功率的代数和；总的无功功率等于各部分无功功率的代数和。在般情况下，总的视在功率不等于各部分视在功率的代数和，但总的复功率还是等于各部分复功率之和。3.12 功率因数的提高3.12.13.12.1提高功率因数的意提高功率因数的意义义电力系统中多数电气设备均为感性负载，它们工作时除去要从电源吸收有功功率外，还要从电源吸收无功功率。由于输电
59、线中电阻和电感存在，当电流通过时，在输电线上总要产生电能损耗和电压损耗。而且，当负载吸收的有功功率和电压一定时，电流大小和功率因数有关。功率因数越低，电流越大，线路上电能损耗和电压损耗也越大，则输电效率就越低。此外，功率因数越低，发电机、变压器等电气设备输出的有功功率就越低，其容量利用率就越低，为此供电单位要求用户采取必要的措施来提高功率因数。3.12.23.12.2提高功率因数的方法提高功率因数的方法在实际电路中，如三相异步电动机、日光灯等感性负载，通常是采用在负载两端并联电容器（或同步补偿器）的方法来提高电路的功率因数，如图3.56(a)3.56(a)所示。图3.56提高功率因数示例电路图
60、及相量图未并联电容C时，负载中的电流IL为并联了电容C后，负载中电流没有变化，仍为，但因电容中电流超前于电压，使相量与相量之和，即线路上的电流相量的有效值I反而比IL减小了，如图3.56(b)所示。也可以说，负载中滞后的无功电流被电容中超前的无功电流所补偿，从而使总电流的无功分量反而减小。未并联电容时，电流IL的无功分量为并联电容C后，其无功分量为所以,把感性负载功率因数从 提高到 所需并联电容为从能量角度看，负载中磁场能量增减与电容中电场能量增减，部分地相互补偿，从而降低了电源与负载间能量交换；或者说利用电容发出的无功功率QC去补偿负载所需的无功功率QL，从而减小总的无功功率，端口的功率因数
61、得到提高。应该注意的是，并联电容后，电路的功率因数得到了提高，但负载本身的工作状态并未改变，它的功率因数、有功功率、无功功率都没有改变。3.13 复杂正弦电流电路的分析在正弦电流电路中引入相量后，电路欧姆定律、基尔霍夫定律以及正弦电流电路中各元件的伏安关系也都可以用相量形式表示，并且在形式上与直流电路中所用的同公式完全相同。 因因此此，分分析析计计算算直直流流电电路路的的各各种种定定理理和和计计算算方方法法，如如电电阻阻的的串串并并联联等等效效简简化化、Y Y等等效效变变换换、电电压压源源和和电电流流源源的的等等效效变变换换、支支路路电电流流法法、网网孔孔分分析析法法、节节点点分分析析法法、叠叠加加定定理理、戴戴维维南南定定理理和和诺诺顿顿定定理理等等，完完全全适适用用于于线线性性正正弦弦电电流流电电路路的的分分析析计计算算，所所不不同同的的仅仅在在于于用用电电压压相相量量和和电电流流相相量量取取代代了了直直流流电电压压和和电电流流；以以复复阻阻抗抗和和复复导导纳纳取取代代了了直直流流电电阻阻和和电电导导。这这就就是是分分析正弦电流电路的相量法。析正弦电流电路的相量法。
