《同济大学微积分第三版)81多元函数的基本概念课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分第三版)81多元函数的基本概念课件（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、多元函数的概念、区域例例1 圆柱体的体积圆柱体的体积例例2 理想气体压强的计算公式理想气体压强的计算公式1. 多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义定义1例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为 二元函数二元函数 的图形的图形（如下图）（如下图）二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面通常是一张曲面. 设函数设函数),(yxfz = =的定义域为的定义域为D，对于任意取定的，对于任意取定的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz = =，这样，这样，以以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐标、为纵坐标、z为竖坐
2、标在空间就确为竖坐标在空间就确定一点定一点),(zyxM，当，当x取遍取遍D上一切点时，得一个上一切点时，得一个空间点集空间点集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx = =，这个，这个点集称为二元函数的图形点集称为二元函数的图形. (P67-68)例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:（1）邻域）邻域2. 区域 （2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集连通连通不连通不连通连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，二、多元函数的极限直观描述直观描述或或例如例
3、如, 设设设点设点 是函数是函数 的某个定义域的内点的某个定义域的内点或边界点，如果在或边界点，如果在 的过程中，的过程中，对应的函数值对应的函数值 无限地接近某一个常数无限地接近某一个常数A ，则，则称称A是函数是函数 当当 时的极时的极限，记作限，记作有有DADA说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立练习练习 求极限求极限 解解其中其中 若当点若当点趋于不同值或有的
4、极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,在点在点 (0, 0) 的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同 ! 在在 (0,0) 点极限不存点极限不存在在 .以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在 .例3. 讨论函数函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 P70-71 二元函数的极限在什么情况下不存在？二元函数的极限在什么情况下不存在？若若P(x,y)以不同的路线逼近以不同的路线逼近 时，时，f(x,y)有不同的有不同的极限，则可以断定极限，则可以断
5、定f(x,y)在点在点 处没有极限。处没有极限。思考思考 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在不存在不存在.观察观察播放播放确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：例例3 求求解：解：练习：P74 5.（1）（3）6.三、多元函数的连续性定义定义3 3如果函数如果函数f(x,y)在区域或闭区域在区域或闭区域D的每一点连续，那的每一点连续，那么就称函数么就称函数f(x,y)在在D上连续。上连续。例例 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在极限不存在故函数在故函数
6、在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多上的多元连续函数，在元连续函数，在D D上至少取上至少取得它的最大值和最小值各一得它的最大值和最小值各一次次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多上的多元连续函数，如果在元连续函数，如果在D D上取得上取得两个不同的函数值，则它在两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任上取得介于这两值之间的任何值至少一次何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次
7、的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例4 4解解多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取作业：P74 3. 4.（2）(4) 5. (2) (4) 6.
