数模之Eviews教程时间序列ARIMA模型

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1、数模之Eviews教程时间序列ARIMA模型随机随机时间时间序列的序列的计计量量经济经济学模型学模型时间时间序列的平序列的平稳稳性及其性及其检验检验随机随机时间时间序列分析模型序列分析模型协协整分析与整分析与误误差修正模型差修正模型9.1 9.1 时间时间序列的平序列的平稳稳性及其性及其检验检验一、一、问题问题的引出：的引出：非平非平稳变稳变量与量与经经典回典回归归模型模型二、二、时间时间序列数据的平序列数据的平稳稳性性三、三、平平稳稳性的性的图图示判断示判断四、四、平平稳稳性的性的单单位根位根检验检验五、五、单单整、整、趋势趋势平平稳稳与差分平与差分平稳稳随机随机过过程程一、一、问题问题的引

2、出：非平的引出：非平稳变稳变量与量与经经典典回回归归模型模型常常见见的数据的数据类类型型到目前到目前为为止，止，经经典典计计量量经济经济模型常用到的数据有：模型常用到的数据有：时间时间序列数据序列数据（time-series data)截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data) 时间时间序列数据是最常序列数据是最常见见，也是最常用到的数据，也是最常用到的数据经经典回典回归归模型与数据的平模型与数据的平稳稳性性经经典回典回归归分析暗含着一个重要假分析暗含着一个重要假设

3、设：数据是：数据是平平稳稳的。的。数据非平数据非平稳稳，大，大样样本下的本下的统计统计推断基推断基础础“一致性一致性”要求要求被破被破怀怀。经经典回典回归归分析的假分析的假设设之一：解之一：解释变释变量量X是非是非随机随机变变量量依概率收依概率收敛敛： (2) 放放宽该宽该假假设设：X是随机是随机变变量，量，则则需需进进一步要求：一步要求： (1)X与随机与随机扰动项扰动项 不相关不相关 Cov(X, )=0 第（第（2）条是）条是为为了了满满足足统计统计推断中大推断中大样样本下的本下的“一一致性致性”特性：特性：第（第（1）条是）条是OLS估估计计的需要的需要如果如果X是非平是非平稳稳数据（

4、如表数据（如表现现出向上的出向上的趋势趋势），），则则（2）不成立，回）不成立，回归归估估计计量不量不满满足足“一致性一致性”，基，基于大于大样样本的本的统计统计推断也就遇到麻推断也就遇到麻烦烦。因此因此：注意：在双注意：在双变变量模型中：量模型中： 表表现现在在:两个本来没有任何因果关系的两个本来没有任何因果关系的变变量，量，却有很高的相关性（有却有很高的相关性（有较较高的高的R2)。例如：如果。例如：如果有两列有两列时间时间序列数据表序列数据表现现出一致的出一致的变变化化趋势趋势（非（非平平稳稳的），即使它的），即使它们们没有任何有意没有任何有意义义的关系，但的关系，但进进行回行回归归也可

5、表也可表现现出出较较高的可决系数。高的可决系数。 数据非平数据非平稳稳，往往，往往导导致出致出现现“虚假回虚假回归归”问题问题 在在现实经济现实经济生活中，生活中，实际实际的的时间时间序列数据序列数据往往是非平往往是非平稳稳的的，而且主要的而且主要的经济变经济变量如消量如消费费、收入、价格往往表收入、价格往往表现为现为一致的上升或下降。一致的上升或下降。这这样样，仍然通仍然通过经过经典的因果关系模型典的因果关系模型进进行分析，行分析，一般不会得到有意一般不会得到有意义义的的结结果。果。 时间时间序列分析模型方法就是在序列分析模型方法就是在这样这样的情况的情况下，以通下，以通过过揭示揭示时间时间

6、序列自身的序列自身的变变化化规规律律为为主主线线而而发发展起来的全新的展起来的全新的计计量量经济经济学方法学方法论论。 时间时间序列分析已序列分析已组组成成现现代代计计量量经济经济学的重学的重要内容，并广泛要内容，并广泛应应用于用于经济经济分析与分析与预测预测当中。当中。二、二、时间时间序列数据的平序列数据的平稳稳性性定定义义： 假定某个假定某个时间时间序列是由某一随机序列是由某一随机过过程程（stochastic process）生成的，即假定）生成的，即假定时间时间序列序列Xt（t=1, 2, ）的每一个数）的每一个数值值都是从一个概率都是从一个概率分布中随机得到，如果分布中随机得到，如果

7、满满足下列条件：足下列条件： 1）均）均值值E(XE(Xt t)=)= 是与是与时间时间t 无关的常数；无关的常数； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是与是与时间时间t 无关的常数；无关的常数； 3）协协方差方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只与只与时时期期间间隔隔k有关，与有关，与时间时间t 无关的常数；无关的常数； 则则称称该该随机随机时间时间序列是平序列是平稳稳的（的（stationary)，而，而该该随机随机过过程是一平程是一平稳稳随机随机过过程程（stationary stochastic process）。）。 一一个个

8、最最简简单单的的随随机机时时间间序序列列是是一一具具有有零零均均值值同方差的独立分布序列：同方差的独立分布序列： E(Xt)= t ， tN(0, 2)该该序列常被称序列常被称为为是一个白噪声（是一个白噪声（white noise）。 由于由于XtXt具有相同的均具有相同的均值值与方差，且与方差，且协协方差方差为为零零, ,由定由定义义, ,一个白噪声序列是平一个白噪声序列是平稳稳的的。 另一个另一个简单简单的随机的随机时间时间列序被称列序被称为为随机游随机游走（走（random walk），该该序列由如下随机序列由如下随机过过程生程生成：成： X t=Xt-1+ t 这这里，里， t是一个白

9、噪声。是一个白噪声。 容易知道容易知道该该序列有相同的均序列有相同的均值值：E(Xt)=E(Xt-1) 为为了了检验该检验该序列是否具有相同的方差，可假序列是否具有相同的方差，可假设设Xt的初的初值为值为X0，则则易知易知: X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+t 由于由于X X0 0为为常数，常数， t t是一个白噪声，因此是一个白噪声，因此: : Var(Xt)=tVar(Xt)=t 2 2即即Xt的的方方差差与与时时间间t t有有关关而而非非常常数数，它它是是一一非非平平稳稳序列。序列。然而，然而，对对X X取一取一阶阶差分差分（firs

10、t difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于由于 t t是一个白噪声，是一个白噪声，则则序列序列Xt是平是平稳稳的。的。 后面将会看到后面将会看到: :如果一个如果一个时间时间序列是非平序列是非平稳稳的，它常常可通的，它常常可通过过取差分的方法而形成平取差分的方法而形成平稳稳序列。序列。事事实实上，随机游走上，随机游走过过程是下面我程是下面我们们称之称之为为1阶阶自回自回归归AR(1)过过程的特例程的特例: Xt= Xt-1+t 不不难验证难验证:1)| |1时时，该该随机随机过过程生成的程生成的时间时间序列是序列是发发散的，散的，表表现为现为持持续续上升上升( 1)或持或持续续

11、下降下降( -1)，因，因此是非平此是非平稳稳的；的； 2) =1时时，是一个随机游走，是一个随机游走过过程，也是非平程，也是非平稳稳的。的。9.2中将中将证证明明:只有当只有当-1-1 10，样样本本自自相相关关系系数数近近似似地地服服从从以以0为为均均值值，1/n 为为方方差差的的正正态态分分布布，其其中中n为样为样本数。本数。 也也可可检检验验对对所所有有k0，自自相相关关系系数数都都为为0的的联联合假合假设设，这这可通可通过过如下如下QLB统计统计量量进进行：行： 该统计该统计量近似地服从自由度量近似地服从自由度为为m m的的 2 2分布分布（m m为为滞后滞后长长度）。度）。 因此因

12、此:如果如果计计算的算的Q Q值值大于大于显显著性水平著性水平为为 的的临临界界值值，则则有有1-1- 的把握拒的把握拒绝绝所有所有 k k(k0)(k0)同同时为时为0 0的假的假设设。 例例9.1.3: 9.1.3: 表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通是通过过一一随机随机过过程（随机函数）生成的有程（随机函数）生成的有1919个个样样本的随本的随机机时间时间序列。序列。 容易验证：该样该样本序列的均本序列的均值为值为0 0，方差，方差为为0.07890.0789。 从图形看：它在其它在其样样本均本均值值0 0附近上下波附近上下波动动，且且样样本自相关系数迅速下

13、降到本自相关系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近附近波波动动且逐且逐渐渐收收敛敛于于0 0。 由于由于该该序列由一随机序列由一随机过过程生成，可以程生成，可以认为认为不不存在序列相关性，因此存在序列相关性，因此该该序列序列为为一白噪声。一白噪声。 根据根据BartlettBartlett的理的理论论： k kN(0,1/19)0,1/19)，因此因此任一任一r rk k(k0)(k0)的的95%95%的置信区的置信区间间都将是都将是: :可以看出可以看出:k0时时，rk的的值值确确实实落在了落在了该该区区间间内，内，因此可以接受因此可以接受 k(k0)为为0的假的假设设。同同样样地地

14、，从从QLB统计统计量的量的计计算算值值看，滞后看，滞后17期期的的计计算算值为值为26.38，未超，未超过过5%显显著性水平的著性水平的临临界界值值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数 k(k0)都都为为0的假的假设设。因此因此，该该随机随机过过程是一个平程是一个平稳过稳过程。程。 序列序列Random2Random2是由一随机游走是由一随机游走过过程程 X Xt t=X=Xt-1t-1+ + t t生成的一随机游走生成的一随机游走时间时间序列序列样样本。其中，第本。其中，第0 0项项取取值为值为0 0， t t是由是由Random1Random1表示的白

15、噪声。表示的白噪声。 图图形表示出：形表示出：该该序列具有相同的均序列具有相同的均值值，但从，但从样样本自相关本自相关图图看，看，虽虽然自相关系数然自相关系数缓缓慢下降到慢下降到0，但随着但随着时间时间的推移，的推移，则则在在0附近波附近波动动且呈且呈发发散散趋趋势势。 样样本自相关系数本自相关系数显显示示：r r1 1=0.48=0.48，落在了区，落在了区间间-0.4497, 0.44970.4497, 0.4497之外，因此在之外，因此在5%5%的的显显著性水平著性水平上拒上拒绝绝 1 1的真的真值为值为0 0的假的假设设。 该该随机游走序列是非平随机游走序列是非平稳稳的。的。例例9.1

16、.4 检验检验中国支出法中国支出法GDP时间时间序列的平序列的平稳稳性性。 表表9.1.2 19782000年中国支出法年中国支出法GDP（单单位：位：亿亿元）元） 图图形：表形：表现现出了一个持出了一个持续续上升的上升的过过程，可初程，可初步判断是非平步判断是非平稳稳的。的。 样样本自相关系数：本自相关系数：缓缓慢下降，再次表明它的慢下降，再次表明它的非平非平稳稳性。性。 从滞后从滞后18期的期的QLB统计统计量看：量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒拒绝绝：该时间该时间序列的自相关系数在滞后序列的自相关系数在滞后1期之后期之后的的值值全部全部为为0的假的假设设。 结

17、论结论:19782000年年间间中国中国GDP时间时间序列是非平序列是非平稳稳序列。序列。例例9.1.5 9.1.5 检验检验2.102.10中关于人均居民消中关于人均居民消费费与人均国与人均国内生内生产总值这产总值这两两时间时间序列的平序列的平稳稳性。性。 原图 样本自相关图 从从图图形上看：人均居民消形上看：人均居民消费费（CPCCPC）与人均）与人均国内生国内生产总值产总值（GDPPCGDPPC）是非平）是非平稳稳的的。 从滞后从滞后1414期的期的QLB统计统计量看：量看：CPCCPC与与GDPPCGDPPC序列的序列的统计统计量量计计算算值值均均为为57.1857.18，超，超过过了

18、了显显著性水平著性水平为为5%5%时时的的临临界界值值23.6823.68。再次。再次表明它表明它们们的非平的非平稳稳性。性。就此来就此来说说，运用，运用传统传统的回的回归归方法建立它方法建立它们们的的回回归归方程是无方程是无实际实际意意义义的。的。不不过过，9.39.3中将看到，如果两个非平中将看到，如果两个非平稳时稳时间间序列是序列是协协整的，整的，则传统则传统的回的回归结归结果却是有果却是有意意义义的，而的，而这这两两时间时间序列恰是序列恰是协协整的。整的。 四、平四、平稳稳性的性的单单位根位根检验检验 （unit root test） 1 1、DFDF检验检验 随机游走序列随机游走序列

19、: Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型: Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。 （* *）式可）式可变变形成差分形式：形成差分形式： Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)检验检验（*）式是否存在）式是否存在单单位根位根 =1，也可通，也可通过过（*）式判断是否有）式判断是否有 =0。对对式：式： Xt=Xt-1+t （*） 进进行回行回归归，如果确，如果确实发现实发现 =1，就，就说说随机随机变变量量Xt有一个有一个单单位根位根。一般地一般地: : 检验检验一个一个时间时间序列序列X Xt t的平的平稳稳性，可通性，可通过检验过检验带带有

20、截距有截距项项的一的一阶阶自回自回归归模型：模型： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。 或者：或者：检验检验其等价形式：其等价形式： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0 。 在第二在第二节节中将中将证证明，（明，（*）式中的参数）式中的参数 1或或 =1时时，时间时间序列是非平序列是非平稳稳的的;对应对应于（于（*）式，）式，则则是是 0或或 =0。 因此，因此，针对针对式：式： Xt= + Xt-1+ t 我我们们关心的关心的检验为检验为：

21、零假零假设设 H0： =0。 备择备择假假设设 H1： 0上述上述检验检验可通可通过过OLS法下的法下的t检验检验完成。完成。然而，在零假然而，在零假设设（序列非平（序列非平稳稳）下，即使在大）下，即使在大样样本下本下t统统计计量也是有偏量也是有偏误误的（向下偏倚），通常的的（向下偏倚），通常的t 检验检验无法使用。无法使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了年提出了这这一情形下一情形下t统计统计量服从的量服从的分布（分布（这时这时的的t统计统计量称量称为为 统计统计量量），即即DF分布（分布（见见表表9.1.3）。）。首先首先,用用OLS法估法估计计（*）式）式,并并计计算算t

22、统计统计量量,与与DF分布表分布表中中给给定定显显著性水平下的著性水平下的临临界界值值比比较较,如果如果t统计统计量的量的值值小于小于临临界界值值,这这意味着意味着 足足够够小小,拒拒绝绝原假原假设设,认为时间认为时间序列不存序列不存在在单单位根位根,是平是平稳稳的的. 因此，可通因此，可通过过OLS法估法估计计： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t 并并计计算算t统计统计量的量的值值，与，与DF分布表中分布表中给给定定显显著性水平下的著性水平下的临临界界值值比比较较： 问题问题的提出：的提出： 在在利利用用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t

23、t对对时时间间序序列列进进行行平平稳稳性性检检验验中中，实实际际上上假假定定了了时时间间序序列列是是由由具具有有白白噪噪声声随机随机误误差差项项的一的一阶阶自回自回归过归过程程AR(1)生成的。生成的。 但但在在实实际际检检验验中中，时时间间序序列列可可能能由由更更高高阶阶的的自自回回归归过过程程生生成成的的，或或者者随随机机误误差差项项并并非非是是白白噪噪声声，这这样样用用OLS法法进进行行估估计计均均会会表表现现出出随随机机误误差差项项出出现现自相关自相关（autocorrelation），导导致致DF检验检验无效。无效。 2 2、ADFADF检验检验 另另外外，如如果果时时间间序序列列包

24、包含含有有明明显显的的随随时时间间变变化化的的某某种种趋趋势势（如如上上升升或或下下降降），则则也也容容易易导导致致上上述述检检验验中中的的自自相相关关随随机机误误差差项项问问题题。 为为了了保保证证DF检检验验中中随随机机误误差差项项的的白白噪噪声声特特性性，Dicky和和Fuller对对DF检检验验进进行行了了扩扩充充，形成了形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验检验。 ADFADF检验检验是通是通过过下面三个模型完成的：下面三个模型完成的：模型模型3 中的中的t是是时间变时间变量量，代表了代表了时间时间序列随序列随时间变时间变化的某种化的某种趋势趋势（如果有的（

25、如果有的话话）。模型）。模型1与另两模型的差与另两模型的差别别在于是否包含有常数在于是否包含有常数项项和和趋趋势项势项。 检验检验的假的假设设都是：都是：针对针对H1: 临临界界值值，不能拒，不能拒绝绝存存在在单单位根的零假位根的零假设设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒不能拒绝绝不存在不存在趋势项趋势项的零假的零假设设。需需进进一步一步检验检验模型模型2 。 2）经试验经试验，模型，模型2中滞后中滞后项项取取2阶阶： LM检检验验表表明明模模型型残残差差不不存存在在自自相相关关性性，因此因此该该模型的模型的设设定是正确的。定是正确的。从从GDPt-1的参数的参数值值看

26、，其看，其t统计统计量量为为正正值值，大，大于于临临界界值值，不能拒不能拒绝绝存在存在单单位根的零假位根的零假设设。常数常数项项的的t统计统计量小于量小于AFD分布表中的分布表中的临临界界值值，不能拒不能拒绝绝不存常数不存常数项项的零假的零假设设。需。需进进一步一步检检验验模型模型1。 3) 3)经试验经试验，模型，模型1中滞后中滞后项项取取2阶阶： LM检验检验表明模型残差表明模型残差项项不存在自相关性，不存在自相关性，因此模型的因此模型的设设定是正确的。定是正确的。 从从GDPt-1的参数的参数值值看，其看，其t统计统计量量为为正正值值，大，大于于临临界界值值，不能拒，不能拒绝绝存在存在单

27、单位根的零假位根的零假设设。 可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间时间序列是非平序列是非平稳稳的。的。例例9.1.7 检验检验2.102.10中关于人均居民消中关于人均居民消费费与人均与人均国内生国内生产总值这产总值这两两时间时间序列的平序列的平稳稳性。性。 1) 对对中中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC来来说说，经过偿试经过偿试，三个模型的适当形式分，三个模型的适当形式分别为别为： 三三个个模模型型中中参参数数的的估估计计值值的的t统统计计量量均均大大于于各各自自的的临临界界值值，因因此此不不能能拒拒绝绝存存在在单单位位根根的的零假零假设设。 结结论论：人人均均国国内内生

28、生产产总总值值（GDPPC）是是非非平平稳稳的。的。 2 2）对对于人均居民消于人均居民消费费CPC时间时间序列来序列来说说，三，三个模型的适当形式个模型的适当形式为为 ： 三三个个模模型型中中参参数数CPCt-1的的t统统计计量量的的值值均均比比ADF临临界界值值表表中中各各自自的的临临界界值值大大，不不能能拒拒绝绝该时间该时间序列存在序列存在单单位根的假位根的假设设，因因此此,可可判判断断人人均均居居民民消消费费序序列列CPC是是非非平平稳稳的。的。五、五、单单整、整、趋势趋势平平稳稳与差分平与差分平稳稳随机随机过过程程 随随机机游游走走序序列列Xt=Xt-1+ t经经差差分分后后等等价价

29、地地变变形形为为 Xt= t， 由由于于 t是是一一个个白白噪噪声声，因因此此差分后的序列差分后的序列 Xt是平是平稳稳的。的。 如如果果一一个个时时间间序序列列经经过过一一次次差差分分变变成成平平稳稳的的，就就称称原原序序列列是是一一阶阶单单整整（integrated of 1）序序列，列，记为记为I(1)。单单整整一般地，如果一个一般地，如果一个时间时间序列序列经过经过d次差分后次差分后变变成平成平稳稳序列，序列，则则称原序列是称原序列是d 阶单阶单整整（integrated of d）序列，）序列，记为记为I(d)。 显然，I(0)代表一平代表一平稳时间稳时间序列。序列。现实经济现实经济

30、生活中生活中:1)只只有有少少数数经经济济指指标标的的时时间间序序列列表表现现为为平平稳稳的的，如利率等如利率等;2)大大多多数数指指标标的的时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，如如一一些些价价格格指指数数常常常常是是2阶阶单单整整的的，以以不不变变价价格格表表示示的的消消费额费额、收入等常表、收入等常表现为现为1阶单阶单整。整。 大大多多数数非非平平稳稳的的时时间间序序列列一一般般可可通通过过一一次次或或多次差分的形式多次差分的形式变为变为平平稳稳的。的。 但但也也有有一一些些时时间间序序列列，无无论论经经过过多多少少次次差差分分，都都不不能能变变为为平平稳稳的的。这这种种序序列列被被称称

31、为为非非单单整整的的（non-integrated）。例例9.1.8 中国支出法中国支出法GDP的的单单整性。整性。经经过过试试算算，发发现现中中国国支支出出法法GDP是是1阶阶单单整整的的，适当的适当的检验检验模型模型为为：例例9.1.9 中中国国人人均均居居民民消消费费与与人人均均国国内内生生产产总总值值的的单单整性。整性。 经经过过试试算算，发发现现中中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC是是2阶单阶单整的整的，适当的适当的检验检验模型模型为为： 同同样样地地，CPC也是也是2阶单阶单整的整的，适当适当的的检验检验模型模型为为： 趋势趋势平平稳稳与差分平与差分平稳稳随机随机过过

32、程程 前前文文已已指指出出，一一些些非非平平稳稳的的经经济济时时间间序序列列往往往往表表现现出出共共同同的的变变化化趋趋势势，而而这这些些序序列列间间本本身身不不一一定定有有直直接接的的关关联联关关系系，这这时时对对这这些些数数据据进进行行回回归归，尽尽管管有有较较高高的的R2，但但其其结结果果是是没没有有任任何何实实际际意意义义的的。这这种种现现象象我我们们称称之之为为虚虚假假回回归归或或伪伪回回归归（spurious regression）。 如如：用用中中国国的的劳劳动动力力时时间间序序列列数数据据与与美美国国GDP时时间间序序列列作作回回归归，会会得得到到较较高高的的R2 ，但但不不能

33、能认认为为两两者者有有直直接接的的关关联联关关系系，而而只只不不过过它它们们有有共共同同的的趋趋势势罢罢了了，这这种种回回归归结结果果我我们们认认为为是虚假的。是虚假的。 为为了了避避免免这这种种虚虚假假回回归归的的产产生生，通通常常的的做做法法是是引引入入作作为为趋趋势势变变量量的的时时间间，这这样样包包含含有有时时间间趋势变趋势变量的回量的回归归，可以消除，可以消除这这种种趋势趋势性的影响。性的影响。 然然而而这这种种做做法法，只只有有当当趋趋势势性性变变量量是是确确定定 性性 的的 （ deterministic） 而而 非非 随随 机机 性性 的的（stochastic），才会是有效的

34、。才会是有效的。 换换言言之之，如如果果一一个个包包含含有有某某种种确确定定性性趋趋势势的的非非平平稳稳时时间间序序列列，可可以以通通过过引引入入表表示示这这一一确确定定性性趋趋势势的的趋趋势势变变量量，而而将将确确定定性性趋趋势势分分离离出出来。来。 1)如如果果=1，=0，则则（*）式式成成为为一一带带位位移移的的随机游走随机游走过过程程： Xt=+Xt-1+t （*） 根根据据 的的正正负负，Xt表表现现出出明明显显的的上上升升或或下下降降趋趋势势。这这种种趋趋势势称称为为随随机机性性趋趋势势（stochastic trend）。考考虑虑如下的含有一如下的含有一阶阶自回自回归归的随机的随

35、机过过程：程： Xt= + t+ Xt-1+ t （*） 其中其中: t是一白噪声，是一白噪声，t为为一一时间趋势时间趋势。2)如如果果 =0，0，则（*）式式成成为为一一带带时时间间趋趋势势的随机的随机变变化化过过程：程： Xt=+t+t （*） 根根据据 的的正正负负，Xt表表现现出出明明显显的的上上升升或或下下降降趋趋势势 。 这这 种种 趋趋 势势 称称 为为 确确 定定 性性 趋趋 势势（deterministic trend）。 3) 如果如果 =1，0，则则XtXt包含有确定性与随机包含有确定性与随机性两种性两种趋势趋势。 判判断断一一个个非非平平稳稳的的时时间间序序列列，它它的

36、的趋趋势势是是随随机机性性的的还还是是确确定定性性的的，可可通通过过ADF检检验验中中所所用的第用的第3个模型个模型进进行。行。 该该模模型型中中已已引引入入了了表表示示确确定定性性趋趋势势的的时时间间变变量量t，即分离出了确定性，即分离出了确定性趋势趋势的影响。的影响。因此因此： (1)如果如果检验结检验结果表明所果表明所给时间给时间序列有序列有单单位位根，且根，且时间变时间变量前的参数量前的参数显显著著为为零，零，则该则该序序列列显显示出随机性示出随机性趋势趋势; (2)如果没有如果没有单单位根，且位根，且时间变时间变量前的参数量前的参数显显著地异于零，著地异于零，则该则该序列序列显显示出

37、确定性示出确定性趋势趋势。 随机性随机性趋势趋势可通可通过过差分的方法消除差分的方法消除例如：例如：对对式：式：Xt=+Xt-1+t 可通可通过过差分差分变换为变换为： Xt= +t 该时间该时间序列称序列称为为差分平差分平稳过稳过程（程（difference stationary process）；确定性确定性趋势趋势无法通无法通过过差分的方法消除，而只能差分的方法消除，而只能通通过过除去除去趋势项趋势项消除消除例如：例如：对对式：式：Xt=+t+t可通可通过过除去除去 t变换为变换为：Xt t =+t该时间该时间序列是平序列是平稳稳的，因此称的，因此称为趋势为趋势平平稳过稳过程程（tren

38、d stationary process）。）。 最后需要最后需要说说明的是，明的是，趋势趋势平平稳过稳过程代表了程代表了一个一个时间时间序列序列长长期期稳稳定的定的变变化化过过程，因而用于程，因而用于进进行行长长期期预测则预测则是更是更为为可靠的。可靠的。 9.2 9.2 随机随机时间时间序列分析模型序列分析模型一、一、时间时间序列模型的基本概念及其适用性序列模型的基本概念及其适用性二、二、随机随机时间时间序列模型的平序列模型的平稳稳性条件性条件三、三、随机随机时间时间序列模型的序列模型的识别识别四、四、随机随机时间时间序列模型的估序列模型的估计计五、五、随机随机时间时间序列模型的序列模型的

39、检验检验说说明明经经典典计计量量经济经济学模型与学模型与时间时间序列模型序列模型确定性确定性时间时间序列模型与随机性序列模型与随机性时间时间序列模型序列模型一、一、时间时间序列模型的基本概念及其序列模型的基本概念及其适用性适用性1 1、时间时间序列模型的基本概念序列模型的基本概念 随随机机时时间间序序列列模模型型（time series modeling）是是指指仅仅用用它它的的过过去去值值及及随随机机扰扰动动项项所所建建立立起起来的模型，其一般形式来的模型，其一般形式为为: Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建建立立具具体体的的时时间间序序列列模模型型，需需解解决决如如下下三三个个

40、问题问题： (1)模型的具体形式模型的具体形式 (2)时时序序变变量的滞后期量的滞后期 (3)随机随机扰动项扰动项的的结结构构 例例如如，取取线线性性方方程程、一一期期滞滞后后以以及及白白噪噪声声随随机机扰扰动动项项（ t = t），模模型型将将是是一一个个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)： Xt=Xt-1+ t，这这里里， t特特指一白噪声指一白噪声。 一般的p阶阶自回自回归过归过程程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如如 果果 随随 机机 扰扰 动动 项项 是是 一一 个个 白白 噪噪 声声( t= t)，则则称称(*)式式为为一一

41、纯纯AR(p)过过程程（pure AR(p) process），记为记为: Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果如果 t不是一个白噪声，通常不是一个白噪声，通常认为认为它是一个它是一个q阶阶的移的移动动平均（平均（moving average）过过程程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该该式式给给出了一个出了一个纯纯MA(q)过过程（程（pure MA(p) process）。 将将纯纯AR(p)AR(p)与与纯纯MA(q)MA(q)结结合，得到一个一般的自合，得到一个一般的自回回归归移移动动平均（平均（autoregressi

42、ve moving average）过过程程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该该式表明：式表明：（1）一一个个随随机机时时间间序序列列可可以以通通过过一一个个自自回回归归移移动动平平均均过过程程生生成成，即即该该序序列列可可以以由由其其自自身身的的过过去去或滞后或滞后值值以及随机以及随机扰动项扰动项来解来解释释。（2）如果）如果该该序列是平序列是平稳稳的的，即它的行即它的行为为并不会并不会随着随着时间时间的推移而的推移而变变化，那么我化，那么我们们就可以通就可以通过该过该序列序列过过去的行去的行为为

43、来来预测预测未来。未来。 这这也正是随机也正是随机时间时间序列分析模型的序列分析模型的优势优势所在。所在。经经典回典回归归模型的模型的问题问题： 迄迄今今为为止止，对对一一个个时时间间序序列列Xt的的变变动动进进行行解解释释或或预预测测，是是通通过过某某个个单单方方程程回回归归模模型型或或联联立立方方程程回回归归模模型型进进行行的的，由由于于它它们们以以因因果果关关系系为为基基础础，且且具具有有一一定定的的模模型型结结构构，因因此此也也常常称称为结为结构式模型（构式模型（structural model）。 2 2、时间时间序列分析模型的适用性序列分析模型的适用性 然然而而，如如果果Xt波波动

44、动的的主主要要原原因因可可能能是是我我们们无无法法解解释释的的因因素素，如如气气候候、消消费费者者偏偏好好的的变变化化等等，则则利利用用结结构构式式模模型型来来解解释释Xt的的变变动动就就比比较较困困难难或或不不可可能能，因因为为要要取取得得相相应应的的量量化化数数据据，并并建建立立令人令人满满意的回意的回归归模型是很困模型是很困难难的。的。 有有时时，即即使使能能估估计计出出一一个个较较为为满满意意的的因因果果关关系系回回归归方方程程，但但由由于于对对某某些些解解释释变变量量未未来来值值的的预预测测本本身身就就非非常常困困难难，甚甚至至比比预预测测被被解解释释变变量量的的未未来来值值更更困困

45、难难，这这时时因因果果关关系系的的回回归归模模型型及其及其预测预测技技术术就不适用了。就不适用了。 例例如如，时时间间序序列列过过去去是是否否有有明明显显的的增增长长趋趋势势，如如果果增增长长趋趋势势在在过过去去的的行行为为中中占占主主导导地地位位，能能否否认为认为它也会在未来的行它也会在未来的行为为里占主里占主导导地位呢？地位呢？ 或或者者时时间间序序列列显显示示出出循循环环周周期期性性行行为为，我我们们能否利用能否利用过过去的去的这这种行种行为为来外推它的未来走向？来外推它的未来走向？ 另一条另一条预测预测途径途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行

46、为进行推断。随随机机时时间间序序列列分分析析模模型型，就就是是要要通通过过序序列列过过去去的的变变化特征来化特征来预测预测未来的未来的变变化化趋势趋势。 使使用用时时间间序序列列分分析析模模型型的的另另一一个个原原因因在在于于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。 例如，例如，对对于如下最于如下最简单简单的宏的宏观经济观经济模型：模型： 这这里里，Ct、It、Yt分分别别表表示示消消费费、投投资资与与国国民民收收入。入。 Ct与与Yt作作为为内内生生变变量量，它它们们的的运运动动是是由由作作为为外外生生变变量量的的投投资资

47、It的的运运动动及及随随机机扰扰动动项项 t的的变变化决定的。化决定的。上述模型可作上述模型可作变变形如下形如下： 两两个个方方程程等等式式右右边边除除去去第第一一项项外外的的剩剩余余部部分分可可看看成成一一个个综综合合性性的的随随机机扰扰动动项项，其其特特征征依依赖赖于投于投资项资项It的行的行为为。 如如果果It是是一一个个白白噪噪声声，则消费序列Ct就成为一个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶阶的的自回自回归归移移动动平均平均过过程程ARMA(1,1)。二、随机二、随机时间时间序列模型的平序列模型的平稳稳性条件性条件 自自回回归归移移动动平平均均模

48、模型型（ARMA）是是随随机机时时间间序序列列分分析析模模型型的的普普遍遍形形式式，自自回回归归模模型型（AR）和和移移动动平平均均模模型型（MA）是是它它的的特特殊殊情情况。况。 关关于于这这几几类类模模型型的的研研究究，是是时时间间序序列列分分析析的的重重点点内内容容：主主要要包包括括模模型型的的平平稳稳性性分分析析、模模型的型的识别识别和模型的估和模型的估计计。 1 1、AR(p)AR(p)模型的平模型的平稳稳性条件性条件 随机随机时间时间序列模型的平序列模型的平稳稳性性，可通可通过过它所它所生成的随机生成的随机时间时间序列的平序列的平稳稳性来判断性来判断。如果如果一个p阶阶自回自回归归

49、模型模型AR(p)生成的生成的时间时间序列是平序列是平稳稳的，就的，就说该说该AR(p)模型是平模型是平稳稳的。的。 否否则则，就，就说该说该AR(p)模型是非平模型是非平稳稳的。的。 考考虑虑p阶阶自回自回归归模型模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*)引入滞后算子（引入滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p(*)(*)式式变换为变换为： (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2- - pL p ),则则称多称多项项式方式方程：程： (z)= (1-1

50、z- 2z2-pzp)=0为为AR(p)的特征方程的特征方程(characteristic equation)。 可以可以证证明，如果明，如果该该特征方程的所有根在特征方程的所有根在单单位位圆圆外（根的模大于外（根的模大于1），），则则AR(p)模型是模型是平平稳稳的。的。 例例9.2.1 AR(1)模型的平模型的平稳稳性条件。性条件。对对1阶阶自回自回归归模型模型AR(1)方程两方程两边边平方再求数学期望，得到平方再求数学期望，得到Xt的方差：的方差： 由由于于Xt仅仅与与 t相相关关，因因此此，E(Xt-1 t)=0。如如果果该该模模型型稳稳定定，则则有有E(Xt2)=E(Xt-12)，从

51、从而而上上式式可可变换为变换为：在在稳稳定条件下，定条件下，该该方差是一非方差是一非负负的常数，从而有的常数，从而有 |1。 而而AR(1)的特征方程：的特征方程：的根的根为为： z=1/ AR(1)稳稳定，即定，即 | | 1，意味着特征根大于，意味着特征根大于1。例例9.2.2 AR(2)模型的平模型的平稳稳性。性。 对对AR(2)模型：模型： 方程两方程两边边同乘以同乘以XtXt，再取期望得：，再取期望得： 又由于：又由于：于是于是： 同同样样地，由原式地，由原式还还可得到可得到：于是方差于是方差为为 ： 由由平平稳稳性性的的定定义义，该该方方差差必必须须是是一一不不变变的的正正数，于是

52、有数，于是有 1+ 21, 2- 11, | 2|1 这这就是就是AR(2)的平的平稳稳性条件性条件，或称为平平稳稳域域。它是一它是一顶顶点分点分别为别为（-2,-1），（），（2,-1），（），（0,1）的三角形的三角形。 对应对应的特征方程的特征方程1-1- 1 1z-z- 2 2z z2 2=0 =0 的两个根的两个根z z1 1、z z2 2满满足：足： z z1 1z z2 2=-1/=-1/ 2 2 , , z z1 1+z+z2 2 =-=- 1 1/ / 2 2 AR(2)模型模型：解出解出 1 1， 2 2：由由AR(2)的的平平稳稳性性，| 2 2|=1/|z z1 1|z

53、|z2 2|1，有：，有：于是于是| z z2 2 |1。由。由 2 2 - - 1 1 1可推出同可推出同样样的的结结果。果。 对对高高阶阶自回模型自回模型AR(p)来来说说，多数情况下没多数情况下没有必要直接有必要直接计计算其特征方程的特征根，但有一些算其特征方程的特征根，但有一些有用的有用的规则规则可用来可用来检验检验高高阶阶自回自回归归模型的模型的稳稳定性定性： (1)AR(p)模型模型稳稳定的必要条件是定的必要条件是： 1+2+p1 (2)(2)由于由于 i i(i=1,2,(i=1,2,p)p)可正可可正可负负，AR(p)模型模型稳稳定的充分条件是：定的充分条件是： |1|+|2|

54、+|p|1 对对于移于移动动平均模型平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中其中 t是一个白噪声，于是：是一个白噪声，于是： 2、MA(q)模型的平模型的平稳稳性性 当滞后期大于当滞后期大于q时时，XtXt的自的自协协方差系数方差系数为为0。因此因此: :有限有限阶阶移移动动平均模型平均模型总总是平是平稳稳的。的。 由于由于ARMA (p,q)模型是模型是AR(p)模型与模型与MA(q)模型的模型的组组合：合：Xt= 1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平模型的

55、平稳稳性性 而而MA(q)模型模型总总是平是平稳稳的，因此的，因此ARMA (p,q)模型的平模型的平稳稳性取决于性取决于AR(p)部分的平部分的平稳稳性。性。 当当AR(p)部分平部分平稳时稳时，则该则该ARMA(p,q)模型模型是平是平稳稳的，否的，否则则，不是平，不是平稳稳的。的。 4、总结总结 （1 1）一个平）一个平稳稳的的时间时间序列序列总总可以找到生成可以找到生成它的平它的平稳稳的随机的随机过过程或模型；程或模型； （2 2）一个非平）一个非平稳稳的随机的随机时间时间序列通常可以序列通常可以通通过过差分的方法将它差分的方法将它变换为变换为平平稳稳的，的，对对差分后差分后平平稳稳的

56、的时间时间序列也可找出序列也可找出对应对应的平的平稳稳随机随机过过程程或模型。或模型。 因此，如果我因此，如果我们们将一个非平将一个非平稳时间稳时间序列通序列通过过d d次差分，将它次差分，将它变为变为平平稳稳的，然后用一个平的，然后用一个平稳稳的的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作模型作为为它的生成模型，它的生成模型，则则我我们们就就说该说该原始原始时间时间序列是一个自回序列是一个自回归单归单整移整移动动平均（平均（autoregressive integrated moving autoregressive integrated moving averageaverage）时间时间

57、序列，序列，记为记为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。 例如，一个例如，一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(2,1,2)时间时间序列在它成序列在它成为为平平稳稳序列之前先得差分一次，然后用一个序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作模型作为为它的生成模型的。它的生成模型的。 当然，一个当然，一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过过程表示了一个程表示了一个纯纯AR(p)AR(p)平平稳过稳过程；一个程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个表示一个纯纯MA(q)MA(q)平平稳过稳过程。程。三、随机三、随

58、机时间时间序列模型的序列模型的识别识别 所所谓谓随随机机时时间间序序列列模模型型的的识识别别，就就是是对对于于一一个个平平稳稳的的随随机机时时间间序序列列，找找出出生生成成它它的的合合适适的的随随机机过过程程或或模模型型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。 所所使使用用的的工工具具主要是时时间间序序列列的的自自相相关关函函数数（autocorrelation function，ACF）及及偏偏自自相相关关 函函 数数 （ partial autocorrelation function， PACF ）。）。 1 1、AR(p)AR(p)过过程程 (1)(1

59、)自相关函数自相关函数ACFACF 1阶阶自回自回归归模型模型AR(1)： Xt=Xt-1+ t 的k阶滞后自自协协方差方差为：k=1,2,因此，因此，AR(1)模型的自相关函数模型的自相关函数为： =1,2, 由由AR(1)的的稳稳定性知定性知| | |1，因此，因此，k k时时，呈指数形衰减，直到零呈指数形衰减，直到零。这这种种现现象称象称为为拖尾或称拖尾或称AR(1)有无有无穷记忆穷记忆（infinite memory）。 注意注意， 0时时，呈振，呈振荡荡衰减状衰减状。 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t 该该模型的方差模型的方差 0 0以及滞后以及滞后1期与期与2期的自期的自协协

60、方方差差 1 1, , 2 2分分别为别为： 阶阶自回自回归归模型模型AR(2) 类类似地似地, ,可写出一般的可写出一般的k期滞后自期滞后自协协方差方差： (K=2,3,)于是于是, ,AR(2)的的k 阶阶自相关函数自相关函数为为： (K=2,3,)其中其中 : 1= 1/(1- 2), 0=1如果如果AR(2)AR(2)稳稳定，定，则则由由 1 1+ + 2 211知知| | k k| |衰减衰减趋趋于零，呈拖尾状。于零，呈拖尾状。 至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的特征根的实实虚性，若虚性，若为实为实根，根，则则呈呈单调单调或振或振荡荡型衰减，若型衰减

61、，若为为虚根，虚根，则则呈正弦波型衰减。呈正弦波型衰减。 一般地一般地，p阶阶自回自回归归模型模型AR(p)： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + tk期滞后期滞后协协方差方差为为: 从而有自相关函数从而有自相关函数 : 可见，无无论论k k有多大，有多大， k k的的计计算均与其到算均与其到p p阶阶滞后的自相关函数有关滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾状。 如果如果AR(p)AR(p)是是稳稳定的，定的，则则| | k k| |递递减且减且趋趋于零于零。 事事实实上，自相关函数上，自相关函数：是一是一p阶阶差分方程，其通解差分方程，其通解为为： 其其中中：1/zi是是

62、AR(p)特特征征方方程程 (z)=0的的特特征征根，由根，由AR(p)平平稳稳的条件知，的条件知，|zi|p，Xt与Xt-k间间的偏自相关系数的偏自相关系数为为零零。 AR(p)的一个主要特征是的一个主要特征是:kp时时， k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即即 k*在在p以后是截尾的。以后是截尾的。一随机一随机时间时间序列的序列的识别识别原原则则：若若XtXt的的偏偏自自相相关关函函数数在在p p以以后后截截尾尾，即即kp时时， k*=0=0，而而它它的的自自相相关关函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序序列列是自回是自回归归AR(p)AR(p)序列。序列。 在在实际识别时实际识别时

63、，由于，由于样样本偏自相关函数本偏自相关函数r rk k* *是是总总体偏自相关函数体偏自相关函数 k k* *的一个估的一个估计计，由于，由于样样本的随机性，当本的随机性，当kp时时，r rk k* *不会全不会全为为0，而，而是在是在0的上下波的上下波动动。但可以。但可以证证明，当明，当kp时时，r rk k* *服从如下服从如下渐渐近正近正态态分布分布: : rk*N(0,1/n)式中式中n表示表示样样本容量。本容量。需指出的是需指出的是，我我们们就有就有95.5%的把握判断原的把握判断原时间时间序列在序列在p p之后之后截尾。截尾。因此，如果因此，如果计计算的算的rk*满满足：足： 对

64、对MA(1)过过程程：2、MA(q)MA(q)过过程程 可容易地写出它的自可容易地写出它的自协协方差系数方差系数： 于是，于是，MA(1)过过程的自相关函数程的自相关函数为为：可见，当当k1时时， k0，即，即Xt与与Xt-k不相关，不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。自相关函数是截尾的。 MA(1)过过程可以等价地写成程可以等价地写成 t关于无关于无穷穷序列序列Xt，Xt-1，的的线线性性组组合的形式：合的形式：或或：（*） (*)是一个是一个AR(AR( ) )过过程，它的偏自相关函数程，它的偏自相关函数非截尾但却非截尾但却趋趋于零，因此于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数的偏自

65、相关函数是非截尾但却是非截尾但却趋趋于零的。于零的。 注意注意: : (*)式只有当式只有当| |1时时才有意才有意义义，否，否则则意味着意味着距距XtXt越越远远的的X值值，对对XtXt的影响越大，的影响越大，显显然不符合然不符合常理。常理。 因此，我因此，我们们把把| | |1|q时时， Xt与与Xt-k不不相相关关，即即存存在在截截尾尾现现象象，因因此此，当当kq时时， k k=0是是MA(q)的的一个特征一个特征。 于于是是：可可以以根根据据自自相相关关系系数数是是否否从从某某一一点点开开始一直始一直为为0 0来判断来判断MA(q)MA(q)模型的模型的阶阶。 与与MA(1)相仿，可以

66、相仿，可以验证验证MA(q)过过程的偏自相程的偏自相关函数是非截尾但关函数是非截尾但趋趋于零的。于零的。 MA(q)模型的模型的识别规则识别规则：若随机序列的自相若随机序列的自相关函数截尾，即自关函数截尾，即自q q以后，以后， k k=0=0（ kq kq）；而它的）；而它的偏自相关函数是拖尾的，偏自相关函数是拖尾的，则则此序列是滑此序列是滑动动平均平均MA(q)MA(q)序列。序列。 同同样样需要注意的是需要注意的是：在在实际识别时实际识别时，由于，由于样样本自相关函数本自相关函数r rk k是是总总体自相关函数体自相关函数 k k的一个估的一个估计计，由于由于样样本的随机性，当本的随机性

67、，当kq时时，r rk k不会全不会全为为0，而，而是在是在0的上下波的上下波动动。但可以。但可以证证明，当明，当kq时时，r rk k服服从如下从如下渐渐近正近正态态分布分布: :rkN(0,1/n)式中式中n表示表示样样本容量。本容量。 因此因此，如果如果计计算的算的rk满满足：足：我们就有就有95.5%95.5%的把握判断原的把握判断原时间时间序列在序列在q q之后之后截尾截尾。 ARMA(p,q)的自相关函数的自相关函数，可以看作可以看作MA(q)的自相关函数和的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混的自相关函数的混合物。合物。 当当p=0时时，它具有截尾性，它具有截尾性质质； 当当q

68、=0时时，它具有拖尾性，它具有拖尾性质质； 当当p、q都不都不为为0时时，它具有拖尾性，它具有拖尾性质质3 3、ARMA(p, q)ARMA(p, q)过过程程 从从识别识别上看，通常：上看，通常： ARMA(p，q)过过程的偏自相关函数程的偏自相关函数（PACF）可能在）可能在p阶阶滞后前有几滞后前有几项项明明显显的尖的尖柱（柱（spikes），但从），但从p阶阶滞后滞后项项开始逐开始逐渐趋渐趋向于零；向于零； 而它的自相关函数（而它的自相关函数（ACF）则则是在是在q阶阶滞后前有几滞后前有几项项明明显显的尖柱，从的尖柱，从q阶阶滞后滞后项项开始开始逐逐渐趋渐趋向于零。向于零。 四、随机四、

69、随机时间时间序列模型的估序列模型的估计计 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模模型型的的估估计计方方法法较较多，大体上分多，大体上分为为3类类： （1）最小二乘估）最小二乘估计计； （2）矩估）矩估计计； （3）利用自相关函数的直接估）利用自相关函数的直接估计计。 下面有下面有选择选择地加以介地加以介绍绍。结构阶数模型识别确定估计参数 AR(p) AR(p)模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估方程估计计 在在AR(p)模型的模型的识别识别中，曾得到：中，曾得到： 利用利用 k k= = -k-k，得到如下方程，得到如下方程组组： 此方程此方程组组被称被称为为Y

70、ule Walker方程方程组组。该该方方程程组组建立了建立了AR(p)AR(p)模型的模型参数模型的模型参数 1 1, , 2 2, , , p p与自相关函数与自相关函数 1 1, , 2 2, , , p p的关系，的关系， 利利用用实实际际时时间间序序列列提提供供的的信信息息，首首先先求求得得自自相关函数的估相关函数的估计值计值： 然后利用然后利用Yule Walker方程方程组组，求解模型参数，求解模型参数的估的估计值计值： 由于：由于： 于是于是, , 从而可得从而可得 2 2的估的估计值计值 在具体在具体计计算算时时，可用可用样样本自相关函数本自相关函数r rk k替代。替代。

71、MA(q) MA(q)模型的矩估模型的矩估计计 将将MA(q)模型的自模型的自协协方差函数中的各个量用方差函数中的各个量用估估计计量代替，得到：量代替，得到： (*) 首先求得自首先求得自协协方差函数的估方差函数的估计值计值，(*)是一是一个包含个包含(q+1)个待估参数个待估参数 的非的非线线性方程性方程组组，可以用直接法或迭代法求解。，可以用直接法或迭代法求解。 常常用用的的迭迭代代方方法法有有线线性性迭迭代代法法和和Newton-Raphsan迭代法。迭代法。 （1 1）MA(1)MA(1)模型的直接算法模型的直接算法 对对于于MA(1)模型，（模型，（*）式相）式相应应地写成：地写成：

72、于是：于是： 或：或：有：有：于是有解：于是有解： 由于参数估由于参数估计计有两有两组组解，可根据可逆性条解，可根据可逆性条件件| 1|1q1的的MA(q)MA(q)模型，一般用迭代算法估模型，一般用迭代算法估计计参参数：数： 由（由（* *）式得）式得 （*）第一步，第一步，给给出出的一的一组组初初值值，比如，比如, ,代入（代入（*）式，）式，计计算出第一次迭代算出第一次迭代值值 ， 第二步，将第一次迭代第二步，将第一次迭代值值代入（代入（*）式，）式，计计算算出第二次迭代出第二次迭代值值 按此反复迭代下去，直到第按此反复迭代下去，直到第m步的迭代步的迭代值值与第与第m-1步的迭代步的迭代

73、值值相差不大相差不大时时（满满足一定的精足一定的精度），便停止迭代，并用第度），便停止迭代，并用第m步的迭代步的迭代结结果作果作为为（*）的近似解。）的近似解。 ARMA(p,q) ARMA(p,q)模型的矩估模型的矩估计计 在在ARMA(p,q)中中共共有有(p+q+1)个个待待估估参参数数1,2,p与1,2,q以及2，其其估估计计量量计计算步算步骤骤及公式如下：及公式如下： 第一步第一步，估计1,2,p 是是总总体自相关函数的估体自相关函数的估计值计值，可用，可用样样本自相关本自相关函数函数rk代替。代替。 第二步，改写模型，求第二步，改写模型，求 1, 2, q以及以及 2的估的估计值计

74、值 将模型：将模型： 改写改写为为： 令令， 于是于是(*)可以写成可以写成： (*) 构成一个构成一个MA模型。按照估模型。按照估计计MA模型参数模型参数的方法，可以得到的方法，可以得到 1, 2, q以及以及 2的估的估计值计值。 AR(p) AR(p)的最小二乘估的最小二乘估计计 假假设设模型模型AR(p)的参数估的参数估计值计值已已经经得到，即有，得到，即有， 残差的平方和残差的平方和为为： (*) 根据最小二乘原理，所要求的参数估根据最小二乘原理，所要求的参数估计计值值是下列方程是下列方程组组的解：的解： 即 ，j=1,2,p (*) 解解该该方程方程组组，就可得到待估参数的估，就可

75、得到待估参数的估计值计值。 为为了与了与AR(p)模型的模型的Yule Walker方程估方程估计进计进行行比比较较，将，将(*)改写成：改写成： j=1,2,p由自由自协协方差函数的定方差函数的定义义，并用自，并用自协协方差函数的方差函数的估估计值计值 。代入，上式表示的方程代入，上式表示的方程组组即即为为： 或或 ，j=1,2,pj=1,2,p解解该该方程方程组组，得到：，得到： 即即为为参数的最小二乘估参数的最小二乘估计计。 Yule Walker Yule Walker方程方程组组的解：的解： 比比较发现较发现，当，当n足足够够大大时时，二者是相似的。，二者是相似的。 2的估的估计值为

76、计值为： 需要需要说说明的是，在上述模型的平明的是，在上述模型的平稳稳性、性、识别识别与估与估计计的的讨论讨论中，中，ARMA(p,q)模型中均未包含常模型中均未包含常数数项项。 如果包含常数如果包含常数项项，该该常数常数项项并不影响模型并不影响模型的原有性的原有性质质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。 下面以一般的下面以一般的ARMA(p,q)模型模型为为例例说说明。明。 对对含有常数含有常数项项的模型的模型 ：方程两方程两边边同减同减 /(1-/(1- 1 1- - - p p) )，则则可得到：可得到： 其中，其中，五、模型的五、模型的检验检验 由于由于A

77、RMA(p,q)模型的模型的识别识别与估与估计计是在假是在假设设随机随机扰动项扰动项是一白噪声的基是一白噪声的基础础上上进进行的，因此行的，因此，如果估如果估计计的模型确的模型确认认正确的正确的话话，残差，残差应应代表一白代表一白噪声序列噪声序列。 如果通如果通过过所估所估计计的模型的模型计计算的算的样样本残差不代本残差不代表一白噪声，表一白噪声，则说则说明模型的明模型的识别识别与估与估计计有有误误，需，需重新重新识别识别与估与估计计。 在在实际检验时实际检验时，主要，主要检验检验残差序列是否存在残差序列是否存在自相关自相关。1 1、残差、残差项项的白噪声的白噪声检验检验 可用可用QLB的的统

78、计统计量量进进行行 2检验检验：在在给给定定显显著性水平下，可著性水平下，可计计算不同滞后期的算不同滞后期的QLB值值，通，通过过与与 2分布表中的相分布表中的相应临应临界界值值比比较较，来，来检验检验是是否拒否拒绝绝残差序列残差序列为为白噪声的假白噪声的假设设。 若大于相若大于相应临应临界界值值，则应则应拒拒绝绝所估所估计计的模的模型，需重新型，需重新识别识别与估与估计计。 2 2、AICAIC与与SBCSBC模型模型选择标选择标准准 另外一个遇到的另外一个遇到的问题问题是，在是，在实际识别实际识别ARMA(p,q)模型模型时时，需多次反复，需多次反复偿试偿试，有可能存，有可能存在不止一在不

79、止一组组（p,q）值值都能通都能通过识别检验过识别检验。 显显然，增加然，增加p与与q的的阶阶数，可增加数，可增加拟拟合合优优度度，但却同但却同时时降低了自由度降低了自由度。 因此因此，对对可能的适当的模型，存在着模型可能的适当的模型，存在着模型的的“简洁简洁性性”与模型的与模型的拟拟合合优优度的度的权权衡衡选择问题选择问题。 其其中中，n为为待待估估参参数数个个数数（p+q+可可能能存存在在的的常常数数项项），T为为可可使使用用的的观观测测值值，RSS为为残残差差平平方和（方和（Residual sum of squares）。）。 常用的模型常用的模型选择选择的判的判别标别标准有：赤池信息

80、法准有：赤池信息法（Akaike information criterion，简记为简记为AIC）与施施瓦瓦兹贝兹贝叶斯法叶斯法（Schwartz Bayesian criterion，简记简记为为SBC）：在在选择选择可能的模型可能的模型时时，AIC与与SBC越小越好越小越好 显显然，如果添加的滞后然，如果添加的滞后项项没有解没有解释释能力，能力，则对则对RSS值值的减小没有多大帮助，却增加待估的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得参数的个数，因此使得AIC或或SBC的的值值增加。增加。 需注意的是：需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。 由由第第一一节节知知

81、：中中国国支支出出法法GDP是是非非平平稳稳的的，但但它它的的一一阶阶差差分分是是平平稳稳的的，即即支支出出法法GDP是是I(1)时间时间序列。序列。 可可以以对对经经过过一一阶阶差差分分后后的的GDP建建立立适适当当的的ARMA(p,q)模型。模型。 记记GDP经经一一阶阶差差分分后后的的新新序序列列为为GDPD1，该该新新序序列列的的样样本本自自相相关关函函数数图图与与偏偏自自相相关关函函数数图图如下：如下： 例例9.2.3 中国支出法中国支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估模型估计计 图图形：形：样样本自相关函数本自相关函数图图形呈正弦形呈正弦线线型衰减型衰减波，而偏自相关函数波，而

82、偏自相关函数图图形形则则在滞后两期后迅速在滞后两期后迅速趋趋于于0。因此可初步判断。因此可初步判断该该序列序列满满足足2阶阶自回自回归过归过程程AR(2)。 自相关函数与偏自相关函数的函数自相关函数与偏自相关函数的函数值值： 相关函数具有明相关函数具有明显显的拖尾性；的拖尾性； 偏自相关函数偏自相关函数值值在在k2以后，以后，可可认为认为：偏自相关函数是截尾的。再次偏自相关函数是截尾的。再次验证验证了一了一阶阶差分后的差分后的GDPGDP满满足足AR(2)AR(2)随机随机过过程。程。设设序列序列GDPD1的模型形式的模型形式为为： 有如下有如下Yule Walker Yule Walker

83、方程：方程： 解解为为： 用用OLSOLS法回法回归归的的结结果果为为： （7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有有时时，在用回，在用回归归法法时时，也可加入常数，也可加入常数项项。 本例中加入常数本例中加入常数项项的回的回归为归为： （1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22 模型模型检验检验 下表列出三模型的残差下表列出三模型的残差项项的自相关系数及的自相关系数及QLB检验值检验值。 模型模型1与模型与模型3的残差的残差项项接近于一白噪声，但接近于一白噪声，但模型模型2存在存在4阶

84、阶滞后相关滞后相关问题问题，Q统计统计量的量的检验检验也得也得出模型出模型2拒拒绝绝所有自相关系数所有自相关系数为为零的假零的假设设。因此。因此: : 模型模型1 1与与3 3可作可作为为描述中国支出法描述中国支出法GDPGDP一一阶阶差分差分序列的随机生成序列的随机生成过过程。程。用建立的用建立的AR(2)模型模型对对中国支出法中国支出法GDP进进行外推行外推预测预测。 模型模型1可作如下展开可作如下展开： 于是，当已知于是，当已知t-1、t-2、t-3期的期的GDP时时，就，就可可对对第第t期的期的GDP作出外推作出外推预测预测。 对对2001年中国支出法年中国支出法GDP的的预测结预测结

85、果（果（亿亿元）元） 预测值预测值 实际值实际值 误误差差 模型模型1 95469 95933 -0.48% 模型模型3 97160 95933 1.28% 模型模型3的的预测预测式与此相式与此相类类似，只不似，只不过过多出一多出一项项常常数数项项。 由由于于中中国国人人均均居居民民消消费费（CPCCPC）与与人人均均国国内内生生产产总总值值（GDPPCGDPPC）这这两两时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，因因此此不不宜宜直直接接建建立立它它们们的的因因果果关关系系回回归归方方程。程。 但但它它们们都都是是I(2)I(2)时时间间序序列列，因因此此可可以以建建立立它它们们的的ARIMA(p

86、,d,q)ARIMA(p,d,q)模型。模型。 例例9.2.4 中国人均居民消中国人均居民消费费的的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型模型 下面只建立中国人均居民消下面只建立中国人均居民消费费（CPC）的）的随机随机时间时间序列模型。序列模型。 中国人均居民消中国人均居民消费费（CPC）经过经过二次差二次差分后的新序列分后的新序列记为记为CPCD2，其自相关函数、，其自相关函数、偏自相关函数及偏自相关函数及Q统计统计量的量的值值列于下表：列于下表： 在在5%5%的的显显著性水平下，通著性水平下，通过过Q Q统计统计量容易量容易验证验证该该序列本身就接近于一白噪声，因此可考序列本身就接近于

87、一白噪声，因此可考虑虑采用采用零零阶阶MA(0)MA(0)模型模型: : 由于由于k=2k=2时时，|r|r2 2|=|-0.29| |=|-0.29| 因此因此, ,也可考也可考虑虑采用下面的采用下面的MAMA模型模型： 当然，当然，还还可可观观察到自相关函数在滞后察到自相关函数在滞后4 4、5 5、8 8时时有大于有大于0.20.2的函数的函数值值，因此，可考，因此，可考虑虑在模型在模型中增加中增加MA(4)MA(4)、MA(5)MA(5)、MA(8)MA(8)。不同模型的回。不同模型的回归归结结果列于表果列于表9.2.59.2.5。 可以看出可以看出: :在在纯纯MAMA模型中，模型模型

88、中，模型4 4具有具有较较好的好的性性质质，但由于，但由于MA(5)MA(5)的的t t检验检验偏小，因此可偏小，因此可选选取模取模型型3 3。 最后，最后，给给出通出通过过模型模型3 3的外推的外推预测预测。 模型模型3 3的展开式的展开式为为： 即即 ， 由于由于 t t表示表示预测预测期的随机期的随机扰动项扰动项，它未知，它未知，可假可假设为设为0 0，于是，于是t t期的期的预测预测式式为为: : 为为模型模型3 3中滞后中滞后2 2期与滞后期与滞后4 4期的相期的相应应残残差差项项的估的估计值计值。 表表9.2.69.2.6列出了采用模型列出了采用模型3 3对对中国居民人均居中国居民

89、人均居民消民消费费水平的水平的2 2期外推期外推预测预测。 为为了了对对照，表中也同照，表中也同时时列出了采用列出了采用2.102.10的模的模型的型的预测结预测结果果。 9.3 9.3 协协整与整与误误差修正模型差修正模型一、一、长长期均衡关系与期均衡关系与协协整整二、二、协协整整检验检验三、三、误误差修正模型差修正模型一、一、长长期均衡关系与期均衡关系与协协整整1. 问题问题的提出的提出经经典典回回归归模模型型（classical regression model）是是建建立立在在稳稳定定数数据据变变量量基基础础上上的的，对对于于非非稳稳定定变变量量，不不能能使使用用经经典典回回归归模模型

90、型，否否则则会会出出现现虚虚假回假回归归等等诸诸多多问题问题。由由于于许许多多经经济济变变量量是是非非稳稳定定的的，这这就就给给经经典典的的回回归归分析方法分析方法带带来了很大限制。来了很大限制。但但是是，如如果果变变量量之之间间有有着着长长期期的的稳稳定定关关系系，即即它它们们之之间间是是协协整整的的（cointegration)，则则是是可可以使用以使用经经典回典回归归模型方法建立回模型方法建立回归归模型的。模型的。例例如如，中中国国居居民民人人均均消消费费水水平平与与人人均均GDPGDP变变量量的的例例子子中中, , 因因果果关关系系回回归归模模型型要要比比ARMAARMA模模型型有有更

91、更好好的的预预测测功功能能，其其原原因因在在于于，从从经经济济理理论论上上说说，人人均均GDP决决定定着着居居民民人人均均消消费费水水平平，而而且且它它们们之之间间有有着着长长期期的的稳稳定定关关系系，即即它它们们之之间间是是协协整的。整的。 经经济济理理论论指指出出，某某些些经经济济变变量量间间确确实实存存在在着着长长期期均均衡衡关关系系，这这种种均均衡衡关关系系意意味味着着经经济济系系统统不不存存在在破破坏坏均均衡衡的的内内在在机机制制，如如果果变变量量在在某某时时期期受受到到干干扰扰后后偏偏离离其其长长期期均均衡衡点点，则则均均衡衡机机制制将将会会在在下下一一期期进进行行调调整整以以使使

92、其其重重新新回回到到均均衡衡状状态态。 假假设设X与与Y间间的的长长期期“均衡关系均衡关系”由式描述由式描述: 2. 2. 长长期均衡期均衡式中式中: : t t是随机是随机扰动项扰动项。 该该均衡关系意味着均衡关系意味着: :给给定定X的一个的一个值值，Y相相应应的均衡的均衡值值也随之确定也随之确定为为0 0+ + 1 1X。 在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一： （1）Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt ； （2）Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt ； 在时期t，假设X有一个变化量Xt，如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系，则

93、Y的相应变化量由式给出:式中，式中，v vt t= = t t- - t-1t-1。 实际实际情况往往并非如此情况往往并非如此 如如果果t-1期期末末，发发生生了了上上述述第第二二种种情情况况，即即Y的的值值小小于于其其均均衡衡值值，则则Y的的变变化化往往往往会会比比第一种情形下第一种情形下Y的的变变化化 Yt大一些；大一些； 反反之之，如如果果Y的的值值大大于于其其均均衡衡值值，则则Y的的变变化往往会小于第一种情形下的化往往会小于第一种情形下的 Yt 。 可可见见，如果，如果Yt= 0+ 1Xt+ t正确地提示正确地提示了了X与与Y间间的的长长期期稳稳定的定的“均衡关系均衡关系”，则则意味着

94、意味着Y对对其均衡点的偏离从本其均衡点的偏离从本质质上上说说是是“临时临时性性”的。的。 因此，一个重要的假因此，一个重要的假设设就是就是:随机随机扰动项扰动项 t必必须须是平是平稳稳序列。序列。 显显然，如果然，如果 t有随机性有随机性趋势趋势（上升或下降），（上升或下降），则则会会导导致致Y对对其均衡点的任何偏离都会被其均衡点的任何偏离都会被长长期累期累积积下来而不能被消除。下来而不能被消除。 式式Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t中的随机中的随机扰动项扰动项也被称也被称为为非均衡非均衡误误差（差（disequilibrium error），它是），它是变变量量X与与Y的一

95、个的一个线线性性组组合：合： (*) 因此，如果因此，如果Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t式所示的式所示的X与与Y间间的的长长期均衡关系正确的期均衡关系正确的话话，（，（*）式表述的）式表述的非均衡非均衡误误差差应应是一平是一平稳时间稳时间序列，并且具有零序列，并且具有零期望期望值值，即是具有，即是具有0均均值值的的I(0)序列。序列。从从这这里已看到里已看到，非非稳稳定的定的时间时间序列，它序列，它们们的的线线性性组组合也可能成合也可能成为为平平稳稳的。的。 假假设设Yt= 0+ 1Xt+ t式中的式中的X与与Y是是I(1)序列，如果序列，如果该该式所表述的它式所表述的它们

96、间们间的的长长期均期均衡关系成立的衡关系成立的话话，则则意味着由非均衡意味着由非均衡误误差差（*）式）式给给出的出的线线性性组组合是合是I(0)序列。序列。这时这时我我们们称称变变量量X与与Y是是协协整的（整的（cointegrated）。）。 如果序列如果序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 都是都是d阶单阶单整，存在整，存在向量向量: : =(=( 1 1, , 2 2, k k) )，使得，使得: : Zt= XT I(d-b) 其中，其中，b0，X=(X=(X1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt) )T T，则认为则认为序列序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktk

97、t 是是(d,b)阶协阶协整，整，记为记为XtCI(d,b)， 为协为协整向量（整向量（cointegrated vector）。）。3.3.协协整整 在中国居民人均消在中国居民人均消费费与人均与人均GDP的例中，的例中，该该两序列都是两序列都是2阶单阶单整序列，而且可以整序列，而且可以证证明它明它们们有一个有一个线线性性组组合构成的新序列合构成的新序列为为0阶单阶单整序列，整序列，于是于是认为该认为该两序列是两序列是(2,2)阶协阶协整。整。 由此可由此可见见: :如果两个如果两个变变量都是量都是单单整整变变量，只量，只有当它有当它们们的的单单整整阶阶数相同数相同时时，才可能，才可能协协整；

98、如果整；如果它它们们的的单单整整阶阶数不相同，就不可能数不相同，就不可能协协整。整。 三个以上的三个以上的变变量，如果具有不同的量，如果具有不同的单单整整阶阶数，有可能数，有可能经过线经过线性性组组合构成低合构成低阶单阶单整整变变量。量。 例如，如果存在：例如，如果存在：并且，并且，那么那么认为认为： （d,d）阶阶协协整整是是一一类类非非常常重重要要的的协协整整关关系系，它它的的经经济济意意义义在在于于：两两个个变变量量，虽虽然然它它们们具具有有各各自自的的长长期期波波动动规规律律，但但是是如如果果它它们们是是（d,dd,d）阶阶协协整整的的，则则它它们们之之间间存在着一个存在着一个长长期期

99、稳稳定的比例关系。定的比例关系。 例例如如：前前面面提提到到的的中中国国CPC和和GDPPC，它它们们各各自自都都是是2阶阶单单整整，并并且且将将会会看看到到，它它们们是是(2,2)(2,2)阶阶协协整整，说说明明它它们们之之间间存存在在着着一一个个长长期期稳稳定定的的比比例例关关系系，从从计计量量经经济济学学模模型型的的意意义义上上讲讲，建建立立如如下下居居民民人人均均消消费费函数模型：函数模型： 从从协协整的定整的定义义可以看出可以看出: 变变量量选择选择是合理的，随机是合理的，随机误误差差项项一定是一定是“白噪声白噪声”（即均（即均值为值为0，方差不，方差不变变的的稳稳定随机序定随机序列

100、），模型参数有合理的列），模型参数有合理的经济经济解解释释。 这这也解也解释释了尽管了尽管这这两两时间时间序列是非序列是非稳稳定的，定的，但却可以用但却可以用经经典的回典的回归归分析方法建立回分析方法建立回归归模型模型的原因。的原因。 从从这这里里，我我们们已已经经初初步步认认识识到到：检检验验变变量量之之间间的的协协整整关关系系，在在建建立立计计量量经经济济学学模模型型中中是是非常重要的。非常重要的。 而而且且，从从变变量量之之间间是是否否具具有有协协整整关关系系出出发发选选择择模模型型的的变变量量，其其数数据据基基础础是是牢牢固固的的，其其统统计计性性质质是是优优良的良的。二、二、协协整整

101、检验检验 1.1.两两变变量的量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 为为了了检检验验两两变变量量Yt,Xt是是否否为为协协整整，Engle和和Granger于于1987年年提提出出两两步步检检验验法法，也也称称为为EG检验检验。 第一步，用第一步，用OLS方法估方法估计计方程：方程： Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t并并计计算非均衡算非均衡误误差，得到：差，得到： 称称为协为协整回整回归归( (cointegrating)或静或静态态回回归归( (static regression) )。 的的单单整性的整性的检验检验方法仍然是方法仍然是DF检验检

102、验或者或者ADF检验检验。 由于由于协协整回整回归归中已含有截距中已含有截距项项，则检验则检验模型模型中无需再用截距中无需再用截距项项。如使用模型。如使用模型1 进进行行检检验验时时，拒拒绝绝零零假假设设H0： =0，意意味味着着误误差差项项et是是平平稳稳序序列列，从从而而说说明明X与与Y间间是是协协整的。整的。 需要注意是，需要注意是，这这里的里的DF或或ADF检验检验是是针对协针对协整回整回归计归计算出的算出的误误差差项项，而非真正的非均衡而非真正的非均衡误误差差 t进进行的。行的。 而而OLS法采用了残差最小平方和原理，因法采用了残差最小平方和原理，因此估此估计计量量 是向下偏倚的，是

103、向下偏倚的，这样这样将将导导致拒致拒绝绝零假零假设设的机会比的机会比实际实际情形大。情形大。 于是于是对对e et t平平稳稳性性检验检验的的DFDF与与ADFADF临临界界值应该值应该比正常的比正常的DFDF与与ADFADF临临界界值还值还要小。要小。 MacKinnon(1991)通通过过模模拟试验给拟试验给出了出了协协整整检检验验的的临临界界值值，表是双，表是双变变量情形下不同量情形下不同样样本容量本容量的的临临界界值值。 例例 检验检验中国居民人均消中国居民人均消费费水平水平CPCCPC与人均国内与人均国内生生产总值产总值GDPPCGDPPC的的协协整关系。整关系。 在前文已知在前文已

104、知CPC与与GDPPC都是都是I(2)序列，序列，而而2.10中已中已给给出了它出了它们们的回的回归归式：式： R2=0.9981 通通过对该过对该式式计计算的残差序列作算的残差序列作ADF检验检验，得适当得适当检验检验模型模型 （-4.47） (3.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00 t=-4.47-3.75=ADF0.05，拒，拒绝绝存在存在单单位根的位根的假假设设，残差，残差项项是是稳稳定的，因此定的，因此中国居民人均消中国居民人均消费费水平与人均水平与人均GDPGDP是是(2,2)(2,2)阶协阶协整的，整的，说说明了明了该该两两变变量量间间存在存在长长期

105、期稳稳定的定的“均衡均衡”关系。关系。 2.2.多多变变量量协协整关系的整关系的检验检验扩扩展的展的E-GE-G检验检验 多多变变量量协协整关系的整关系的检验检验要比双要比双变变量复量复杂杂一一些，主要在于些，主要在于协协整整变变量量间间可能存在多种可能存在多种稳稳定的定的线线性性组组合。合。 假假设设有有4个个I(1)变变量量Z、X、Y、W，它，它们们有有如下的如下的长长期均衡关系：期均衡关系：(*)其中，非均衡其中，非均衡误误差差项项 t t应应是是I(0)序列：序列： (*) 然而，如果然而，如果Z与与W，X与与Y间间分分别别存在存在长长期均衡期均衡关系：关系： 则则非非均均衡衡误误差差

106、项项v1t、v2t一一定定是是稳稳定定序序列列I(0)。于于是是它它们们的的任任意意线线性性组组合合也也是是稳稳定定的的。例如：例如：(*)一定是一定是I(0)序列。序列。 由于由于v vt t象（象（*）式中的）式中的 t t一一样样，也是，也是Z、X、Y、W四个四个变变量的量的线线性性组组合，由此（合，由此（*）式也）式也成成为该为该四四变变量的另一量的另一稳稳定定线线性性组组合。合。 （1, -1, - 0 0,-,- 1 1,-,- 2 2,-,- 3 3）是）是对应对应于（于（*）式）式的的协协整向量，（整向量，（1,-1,- 0 0- - 0 0,-,- 1 1,1,-,1,- 1

107、 1）是）是对应对应于于（*）式的）式的协协整向量。整向量。 对对于于多多变变量量的的协协整整检检验验过过程程，基基本本与与双双变变量量情情形形相相同同，即即需需检检验验变变量量是是否否具具有有同同阶阶单单整整性性，以及是否存在以及是否存在稳稳定的定的线线性性组组合。合。 在在检检验验是是否否存存在在稳稳定定的的线线性性组组合合时时，需需通通过过设设置置一一个个变变量量为为被被解解释释变变量量，其其他他变变量量为为解解释释变变量，量，进进行行OLS估估计计并并检验检验残差序列是否平残差序列是否平稳稳。 检验检验程序：程序：如果不平如果不平稳稳，则则需更需更换换被解被解释变释变量，量，进进行同行

108、同样样的的OLS估估计计及相及相应应的残差的残差项检验项检验。 当所有的当所有的变变量都被作量都被作为为被解被解释变释变量量检验检验之之后，仍不能得到平后，仍不能得到平稳稳的残差的残差项项序列，序列，则认为这则认为这些些变变量量间间不存在（不存在（d,d）阶协阶协整。整。 同同样样地地，检检验验残残差差项项是是否否平平稳稳的的DF与与ADF检检验验临临界界值值要要比比通通常常的的DF与与ADF检检验验临临界界值值小小，而且而且该临该临界界值还值还受到所受到所检验检验的的变变量个数的影响。量个数的影响。 表表9.3.2给给出了出了MacKinnon(1991)通通过过模模拟试拟试验验得到的不同得

109、到的不同变变量量协协整整检验检验的的临临界界值值。3 3、多、多变变量量协协整关系的整关系的检验检验JJJJ检验检验Johansen于于1988年，以及与年，以及与Juselius于于1990年提年提出了一种用极大或然法出了一种用极大或然法进进行行检验检验的方法，通常的方法，通常称称为为JJ检验检验。 高等高等计计量量经济经济学（清学（清华华大学出版社，大学出版社，2000年年9月）月）P279-282.E-views中有中有JJ检验检验的功能。的功能。三、三、误误差修正模型差修正模型 前文已前文已经经提到，提到，对对于非于非稳稳定定时间时间序列，可通序列，可通过过差分的方法将其化差分的方法将

110、其化为稳为稳定序列，然后才可建立定序列，然后才可建立经经典的回典的回归归分析模型。分析模型。 例例如如：建建立立人人均均消消费费水水平平（Y）与与人人均均可可支支配收入（配收入（X）之）之间间的回的回归归模型：模型： 1 1、误误差修正模型差修正模型式中，式中， vt= t t- - t-1t-1差分差分X,Y成为平稳序列建立差分回建立差分回归归模型模型 如果如果Y与与X具有共同的具有共同的向上或向下向上或向下的的变变化化趋势趋势然而，然而，这这种做法会引起两个种做法会引起两个问题问题：(1)如果如果X与与Y间间存在着存在着长长期期稳稳定的均衡关系：定的均衡关系： Yt= 0+ 1Xt+ t且

111、且误误差差项项 t不存在序列相关，不存在序列相关，则则差分式：差分式： Yt= 1 Xt+ t 中的中的 t是一个一是一个一阶阶移移动动平均平均时间时间序列，因而是序序列，因而是序列相关的；列相关的； (2)如如果果采采用用差差分分形形式式进进行行估估计计，则则关关于于变变量量水水平平值值的的重重要要信信息息将将被被忽忽略略，这这时时模模型型只只表表达达了了X与与Y间间的的短短期期关关系系，而而没没有有揭揭示示它它们们间间的的长长期关系。期关系。 因因为为，从从长长期期均均衡衡的的观观点点看看，Y在在第第t期期的的变变化化不不仅仅取取决决于于X本本身身的的变变化化，还还取取决决于于X与与Y在在

112、t-1期末的状期末的状态态，尤其是，尤其是X与与Y在在t-1期的不平衡程度。期的不平衡程度。 例如，使用例如，使用 Yt= 1 Xt+ t回回归时归时，很少出，很少出现现截距截距项显项显著著为为零的情况，即我零的情况，即我们们常常会得到如常常会得到如下形式的方程：下形式的方程： 在在X保持不保持不变时变时，如果模型存在静，如果模型存在静态态均衡均衡（static equilibrium），），Y也会保持它的也会保持它的长长期均期均衡衡值值不不变变。(*)但如果使用（但如果使用（*）式，即使）式，即使X保持不保持不变变，Y也会也会处处于于长长期上升或下降的期上升或下降的过过程中程中(Why?)，

113、这这意味着意味着X与与Y间间不存在静不存在静态态均衡。均衡。 这这与大多数具有静与大多数具有静态态均衡的均衡的经济经济理理论论假假说说不相符。不相符。 可可见见，简单简单差分不一定能解决非平差分不一定能解决非平稳时间稳时间序列所遇到的全部序列所遇到的全部问题问题，因此，因此，误误差修正模型差修正模型便便应应运而生。运而生。 误误差修正模型（差修正模型（Error Correction Model，简简记为记为ECM）是一种具有特定形式的）是一种具有特定形式的计计量量经济经济学模学模型，它的主要形式是由型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和和Yeo于于1978年提出的，

114、称年提出的，称为为DHSY模型。模型。 通通过过一个具体的模型来介一个具体的模型来介绍绍它的它的结结构。构。 假假设设两两变变量量X X与与Y Y的的长长期均衡关系期均衡关系为为: Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t 该该模型模型显显示出第示出第t期的期的Y值值，不，不仅仅与与X的的变变化化有关，而且与有关，而且与t-1期期X与与Y的状的状态值态值有关。有关。 由于由于现实经济现实经济中中X与与Y很少很少处处在均衡点上，在均衡点上，因此因此实际观测实际观测到的只是到的只是X与与Y间间的短期的或非均的短期的或非均衡的关系，假衡的关系，假设设具有如下具有如下(1,1)阶阶分布滞后形

115、式：分布滞后形式： 由于由于变变量可能是非平量可能是非平稳稳的，因此不能直接运的，因此不能直接运用用OLS法。法。对对上述分布滞后模型适当上述分布滞后模型适当变变形得：形得： 或，或， 式中，式中， （*） 如果将（如果将（*）中的参数，与）中的参数，与Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t中的相中的相应应参数参数视为视为相等，相等，则则（*）式中括号内的）式中括号内的项项就是就是t-1期的非均衡期的非均衡误误差差项项。 （*）式表明：）式表明：Y Y的的变变化决定于化决定于X X的的变变化以及前化以及前一一时时期的非均衡程度期的非均衡程度。同。同时时，（，（*）式也弥）式也弥补补

116、了了简单简单差分模型差分模型 Yt= 1 Xt+ t的不足，因的不足，因为该为该式式含有用含有用X、Y水平水平值值表示的前期非均衡程度。因表示的前期非均衡程度。因此，此，Y Y的的值值已已对对前期的非均衡程度作出了修正。前期的非均衡程度作出了修正。 称称为为一一阶误阶误差修正模型差修正模型( (first-order error correction model) )。 （*）式可以写成：）式可以写成： （*）（*）其中其中:ecm:ecm表示表示误误差修正差修正项项。由分布滞后模型：。由分布滞后模型：知，一般情况下知，一般情况下| | | |1 ，由关系式，由关系式 =1-=1- 得：得：0

117、0 11。可以据此分析。可以据此分析ecmecm的修正作用：的修正作用： (1)(1)若若(t-1)(t-1)时时刻刻Y Y大于其大于其长长期均衡解期均衡解 0 0+ + 1 1X X，ecmecm为为正，正，则则(-(- ecm)ecm)为负为负，使得，使得 Y Yt t减少；减少； (2) (2)若若(t-1)(t-1)时时刻刻Y Y小于其小于其长长期均衡解期均衡解 0 0+ + 1 1X X ，ecmecm为负为负，则则(-(- ecm)ecm)为为正，使得正，使得 Y Yt t增大。增大。 （*）体）体现现了了长长期非均衡期非均衡误误差差对对的控制。的控制。 其主要原因在于其主要原因在

118、于变变量量对对数的差分近似地等数的差分近似地等于于该变该变量的量的变变化率，而化率，而经济变经济变量的量的变变化率常常化率常常是是稳稳定序列，因此适合于包含在定序列，因此适合于包含在经经典回典回归归方程方程中。中。 需要注意的是需要注意的是：在在实际实际分析中，分析中，变变量常以量常以对对数的形式出数的形式出现现。于是于是: (1): (1)长长期均衡模型期均衡模型 Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t中的中的 1 1可可视为视为Y关于关于X的的长长期期弹弹性（性（long-run elasticity） (2)(2)短期非均衡模型短期非均衡模型 Y Yt t= = 0 0+ +

119、 1 1X Xt t+ + 2 2X Xt-1t-1+ + Y Yt-1t-1+ + t t中的中的 1 1可可视为视为Y关于关于X的短期的短期弹弹性（性（short-run elasticity）。）。 如具有季度数据的如具有季度数据的变变量，可在短期非均衡量，可在短期非均衡模型：模型： Y Yt t= = 0 0+ + 1 1X Xt t+ + 2 2X Xt-1t-1+ + Y Yt-1t-1+ + t t中引入更多的滞后中引入更多的滞后项项。 更复更复杂杂的的误误差修正模型差修正模型可依照一可依照一阶误阶误差修正差修正模型模型类类似地建立。似地建立。 引入二引入二阶阶滞后的模型滞后的模

120、型为为： 经过经过适当的衡等适当的衡等变变形，可得如下二形，可得如下二阶误阶误差差修正模型：修正模型： (*) 引入三引入三阶阶滞后滞后项项的的误误差修正模型与（差修正模型与（*）式）式相仿，只不相仿，只不过过模型中多出差分滞后模型中多出差分滞后项项 Yt-2， Xt-2，。，。 多多变变量的量的误误差修正模型也可差修正模型也可类类似地建立。似地建立。 如三个如三个变变量如果存在如下量如果存在如下长长期均衡关系：期均衡关系：则则其一其一阶阶非均衡关系可写成：非均衡关系可写成： 于是它的一个于是它的一个误误差修正模型差修正模型为为： （1）Granger 表述定理表述定理 误误差修正模型有差修正

121、模型有许许多明多明显显的的优优点：如：点：如： a）一一阶阶差差分分项项的的使使用用消消除除了了变变量量可可能能存存在在的的趋势趋势因素，从而避免了虚假回因素，从而避免了虚假回归问题归问题； b）一一阶阶差差分分项项的的使使用用也也消消除除模模型型可可能能存存在在的多重共的多重共线线性性问题问题；2 2、误误差修正模型的建立差修正模型的建立 c）误误差修正差修正项项的引入保的引入保证证了了变变量水平量水平值值的的信息没有被忽信息没有被忽视视； d）由于）由于误误差修正差修正项项本身的平本身的平稳稳性，使得性，使得该该模型可以用模型可以用经经典的回典的回归归方法方法进进行估行估计计，尤其是，尤其

122、是模型中差分模型中差分项项可以使用通常的可以使用通常的t检验检验与与F检验检验来来进进行行选选取；等等。取；等等。 因此，一个重要的因此，一个重要的问题问题就是：是否就是：是否变变量量间间的的关系都可以通关系都可以通过误过误差修正模型来表述？差修正模型来表述？ 如果如果变变量量X X与与Y Y是是协协整的，整的，则则它它们间们间的短期的短期非均衡关系非均衡关系总总能由一个能由一个误误差修正模型表述：差修正模型表述：01 （*）式中，t-1是非均衡是非均衡误误差差项项或者说成是长长期均期均衡偏差衡偏差项项， 是短期短期调调整参数整参数。 Engle 与与 Granger 1987年提出了著名的年

123、提出了著名的Grange表述定理（表述定理（Granger representaion theorem）：）： 对对于于(1,1)阶阶自回自回归归分布滞后模型：分布滞后模型： Yt= 0+ 1Xt+ 2Xt-1+ Yt-1+ t 如果如果 YtI(1), XtI(1) ; 那么，那么，的左的左边边 Yt I(0) ，右右边边的的 Xt I(0) ，因此，因此，只有只有Y与与X协协整，才能保整，才能保证证右右边边也是也是I(0)。 首首先先对对变变量量进进行行协协整整分分析析，以以发发现现变变量量之之间间的的协协整整关关系系，即即长长期期均均衡衡关关系系，并并以以这这种种关关系构成系构成误误差修

124、正差修正项项。 然然后后建建立立短短期期模模型型，将将误误差差修修正正项项看看作作一一个个解解释释变变量量，连连同同其其他他反反映映短短期期波波动动的的解解释释变变量一起，建立短期模型，即量一起，建立短期模型，即误误差修正模型。差修正模型。 因此，建立因此，建立误误差修正模型，需要：差修正模型，需要： 注意，由于，注意，由于， Y=lagged( Y, X)+ t-1 t-1 + t 0 11中中没没有有明明确确指指出出Y与与X的的滞滞后后项项数数，因因此此，可可以以是是多多个个；同同时时，由由于于一一阶阶差差分分项项是是I(0)变变量量，因因此模型中也允此模型中也允许许使用使用X的非滞后差分

125、的非滞后差分项项 Xt 。 GrangerGranger表表述述定定理理可可类类似似地地推推广广到到多多个个变变量量的情形中去。的情形中去。 由由协协整整与与误误差差修修正正模模型型的的的的关关系系，可可以以得得到到误误差修正模型建立的差修正模型建立的E-G两步法：两步法： 第第一一步步，进进行行协协整整回回归归（OLS法法），检检验验变变量量间间的的协协整整关关系系，估估计计协协整整向向量量（长长期期均均衡衡关关系系参数）；参数）； 第第二二步步，若若协协整整性性存存在在，则则以以第第一一步步求求到到的的残残差差作作为为非非均均衡衡误误差差项项加加入入到到误误差差修修正正模模型型中中，并用并

126、用OLS法估法估计计相相应应参数。参数。 （2）Engle-Granger两步法两步法 需要注意的是：在需要注意的是：在进进行行变变量量间间的的协协整整检验检验时时，如有必要可在，如有必要可在协协整回整回归归式中加入式中加入趋势项趋势项，这时这时，对对残差残差项项的的稳稳定性定性检验检验就无就无须须再再设趋势设趋势项项。 另外，第二步中另外，第二步中变变量差分滞后量差分滞后项项的多少，的多少，可以残差可以残差项项序列是否存在自相关性来判断，如序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，果存在自相关，则应则应加入加入变变量差分的滞后量差分的滞后项项。（3）直接估）直接估计计法法 也可以采用打开也

127、可以采用打开误误差修整模型中非均衡差修整模型中非均衡误误差差项项括号的方法直接用括号的方法直接用OLS法估法估计计模型模型。 但仍需事先但仍需事先对变对变量量间间的的协协整关系整关系进进行行检验检验。如如对对双双变变量量误误差修正模型差修正模型: :可打开非均衡可打开非均衡误误差差项项的括号直接估的括号直接估计计下式：下式：这时这时短期短期弹弹性与性与长长期期弹弹性可一并性可一并获获得。得。 需注意的是，用不同方法建立的需注意的是，用不同方法建立的误误差修正差修正模型模型结结果也往往不一果也往往不一样样。 经经济济理理论论指指出出，居居民民消消费费支支出出是是其其实实际际收收入的函数。入的函数

128、。 以以中中国国国国民民核核算算中中的的居居民民消消费费支支出出经经过过居居民民消消费费价价格格指指数数缩缩减减得得到到中中国国居居民民实实际际消消费费支支出出时间时间序列（序列（C）；）； 以以支支出出法法GDP对对居居民民消消费费价价格格指指数数缩缩减减近近似地代表国民收入似地代表国民收入时间时间序列序列(GDP)。 时间时间段段为为19782000（表（表9.3.3） 例例9.3.2 中国居民消中国居民消费费的的误误差修正模型差修正模型 （1 1）对对数据数据lnC与与lnGDP进进行行单单整整检验检验 容易容易验证验证lnC与与lnGDP是一是一阶单阶单整的，它整的，它们们适合的适合的

129、检验检验模型如下：模型如下： (3.81)（-4.01） （2.66） （2.26） （2.54） LM(1)=0.38 LM(2)=0.67 LM(3)=2.34 LM(4)=2.46 首先，建立首先，建立lnC与与lnGDP的回的回归归模型模型: :（2）检验检验lnC与与lnGDP的的协协整性，并建立整性，并建立长长期均衡关系期均衡关系 （0.30） (57.48) R2=0.994 DW=0.744 发现发现有残关有残关项项有有较较强强的一的一阶阶自相关性。考自相关性。考虑虑加入适当的滞后加入适当的滞后项项，得，得lnC与与lnGDP的分布的分布滞后模型滞后模型: : (1.63) (

130、6.62） （4.92） （-2.17） R2=0.994 DW=1.92 LM(1)=0.00 LM(2)=2.31 自相关性消除，因此可初步自相关性消除，因此可初步认为认为是是lnC与与lnGDP的的长长期期稳稳定关系。定关系。 (*) 残差残差项项的的稳稳定性定性检验检验： （-4.32） R2=0.994 DW=2.01 LM(1)=0.04 LM(2)=1.34 t=-4.32-3.64=ADF0.05 说说明明lnC与与lnGDP是（是（1，1）阶协阶协整的，（整的，（*）式即式即为为它它们长们长期期稳稳定的均衡关系定的均衡关系: : (*)以以稳稳定的定的时间时间序列序列 如下如

131、下:（3）建立）建立误误差修正模型差修正模型 做做为误为误差修正差修正项项，可建立，可建立误误差修正模型差修正模型: : （6.96） (2.96) (-1.91) (-3.15) R2=0.994 DW=2.06 LM(1)=0.70 LM(2)=2.04(*) 可得可得lnC关于关于lnGDP的的长长期期弹弹性：性： (0.698-0.361)/(1-0.622)=0.892； 由（由（*）式可得）式可得lnC关于关于lnGDP的短期的短期弹弹性：性：0.686由由(*)式式: 用打开用打开误误差修正差修正项项括号的方法直接估括号的方法直接估计误计误差差修正模型，适当估修正模型，适当估计计

132、式式为为: （1.63） (6.62） (-2.99) (2.88) R2=0.791 =0.0064 DW=1.93 LM(2)=2.31 LM(3)=2.78 写成写成误误差修正模型的形式如下差修正模型的形式如下: : (*) 由（由（*）式知，）式知，lnC关于关于lnGDP的短期的短期弹弹性性为为0.698，长长期期弹弹性性为为0.892。 可可见见两种方法的两种方法的结结果非常接近果非常接近。 （4）预测预测由由(*)式式: :给给出出1998年关于年关于长长期均衡点的偏差：期均衡点的偏差：=ln(18230)-0.152-0.698ln(39008)-0.662ln(17072)

133、+0.361ln(36684)= 0.0125 由（由（*）式）式: :预测预测1999年的短期波年的短期波动动： lnC99=0.686(ln(41400)-ln(39008)+0.784(ln(18230)-ln(17072)-0.484(ln(39008)-ln(36684)-1.1630.0125= 0.048于是于是: : 按照（按照（* ）式）式: :预测预测的的结结果果为为: : lnC99=0.698（ln(41400)-ln(39008)-0.378(ln(18230)-0.405-0.892ln(39008)=0.051 以当年价以当年价计计的的1999年年实际实际居民消居民消费费支出支出为为39334亿亿元，用居民消元，用居民消费费价格指数（价格指数（1990=100）紧缩紧缩后后约为约为19697亿亿元，两个元，两个预测结预测结果的相果的相对误对误差分差分别为别为2.9%与与2.6%。 于是于是: