三章走向混沌的道路

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1、第三章 走向混沌的道路 一个动力学系统运动的充分发展是进入混一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。线性动力学研究中的一个重要问题。尺剔瞥匠脾鸽疤牢谆晃妖诉彬凛擦博比框已化雅扰梗搭耸谴葵斧驻肉吴刀三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路第五节第五节 保守系统中的不规则运动保守系统中的不规则运动1 1可积与不可积系统可积与不可积系统2 2扰动与扰动与KAM定律定律3. 3. 有理环面破裂与同（异）宿结构有理环面破裂与同（异）宿结构4. 4. 阿诺德扩散阿诺德扩散5. 5. 标准映射标准映射宅呜

2、秤忍碍伤考愧乌众务栓泛宇宰刊鼓镰貉萎鞋泛介外蓉债陀篓玲快熟派三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路保守系统1可积与不可积系统可积与不可积系统 分析力学里人们常用广义坐标 q 和广义动量 p 来表示系统的变量，它们是系统哈密顿量正则共轭变量。第一项为动能，第二项为势能。如果系统仅受势能力作用，则系统机械能守恒，称为保守系统保守系统。实际系统还受耗散力作用，系统能量就不守恒，因此称为耗散系统耗散系统（如：阻尼单摆、范德玻耳方程、洛伦兹方程、平方映射等。) 取相空间某区域的全部状态为初始状态，区域形状将会因各代表点的运动速度可能不同而发生变化。 耗散系统因能量散失而有吸引子存在，相空间内所有轨线都要收

3、缩到吸引子上，初始一定大小的相空间在运动中逐渐减小，在t 时趋向于零。 保守系统的里不存在吸引域，也就不会有吸引子，相空间是守恒的相空间是守恒的。介掺郁异津明治知蔗莎塔懒抓惜事歪嚷屈斡触刺靛万呢琵契您估句燥措饵三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路保守系统耗散系统耗散系统的相空间在运动中逐渐减小，在的相空间在运动中逐渐减小，在tt时趋向于零时趋向于零保守系统保守系统的相空间是守恒的的相空间是守恒的1可积与不可积系统可积与不可积系统臀羹鸭投翼陷嗜腿疟缚筛楞月素殆芒崎篷棋牙唁圾皖馈拯何嵌衔残澄钳戴三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路可积系统可积系统定义一类力学系统哈密顿系统的正则方程正则方程 例：无

4、阻尼的自由单摆单摆它的广义坐标为摆角，q =，广义动量为单摆的其哈密顿量为：1可积与不可积系统可积与不可积系统奠稼誉角曝贝砚泉挪倪叙掇垂趣然湛急腮启淘僧谨预棉挫圾何痘赊蜜拷霞三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路可积系统可积系统由正则方程得无阻尼单摆方程： 两边同乘得全微分方程 积分 积分常数 C 称为运动积分 说说明明自自由由单单摆摆是是一一个个完完全全可可积积系系统，运动状态由能量决定统，运动状态由能量决定1可积与不可积系统可积与不可积系统受腊疹峡参枕了硕质妄丫倦钧渤廊实穗市湖咱厂荫分恶遁渭窖穆痕旋乌攒三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路可积系统可积系统 不是所有的哈密顿系统都可以化成全微分

5、形式，因此它们是不可积的（或者说没有运动积分）。 一般将哈密顿系统分两类：完完全全可可积积的的与与不不可可积积的的。实际上完全可积系统是极少数，绝大多数系统是不可积。 对一个N自由度的保守系统，其哈密顿为N对广义动量 p1, p2, , pN与广义坐标 q1, q2, qN 的函数，运动方程为:如果完全可积，要求有如果完全可积，要求有N个独立全微分方程，即要有个独立全微分方程，即要有N个独立的运动常数个独立的运动常数 C1可积与不可积系统可积与不可积系统秀摧媳贮奴予滦顷械遍赡颖痪管扶椅抖蔽滦昌熟味社隅保吩骗浊样就绽宪三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 由正则共轭变量(p,q)可变换出另一对正

6、正则则共共轭轭变变量量 ，称作作用用- -角角度度变量变量。对单自由度系统 母函数母函数 用了变量 以后，运动方程为 积分得 上式说明I 与系统能量E 一样，也是运动积分， I=I(H)可以写为I(E)。第二式定义了系统运动频率： ，它不是常数，与I 有关，是非线性的。的一个重要特性是周期性，在一个周期内 S 的变化为： 作用作用- -角度变量角度变量1可积与不可积系统可积与不可积系统呵嵌芦浇郸答绒朴老劝途预冠恃地怖艾状哆击梭垦杯斜款鄙蛙峪谜嘴另墩三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路简谐振子简谐振子以单位质量的简谐振子为例，它的哈密顿函数为：由 得由哈密顿函数可得采用作用变量与角变量定义，得1

7、可积与不可积系统可积与不可积系统伴严世跨羔埋郧矮形悼跑饶攻唾耸皿田墓痪磨良弗钉皑朋丙孙懊短很汝酬三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路环面运动 采用作用变量与角变量之后，一个保守系统可以用相相空空间间内内的的环环面面上上的的运动运动来表示。 对N自由度系统，一切周期的或准周期的有界运动，是在 2N 维环面上的具有 N 个频率的运动。 对2自由度系统，有两组作用-角度变量： 与 ，相空间是四维的。 给出一组 的同心圆， 是环绕这组圆的转角， 给出另一组同心圆。 如能量E 恒定，相空间中的运动由四维降低到三维，运动限制在三维能面上。在 为常数的二维环面上，有：1可积与不可积系统可积与不可积系统肛胆隅

8、形拽痈涝赋鞭察垦敷循筹斌吝甘颜喻缝舱棕骤众恭曲毯库篮鸿数莲三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路环面运动 当系统两个特征频率比 w=1/2 为有理数，运动是周期的，轨线经有限次的绕环后闭合，环面由无数条周期轨道组成，称为有理环面有理环面。 如w为无理数，称为无无理理环环面面，环面由无数条准周期轨线组成，每一条轨线都随时间一圈一圈地覆盖整个环面。如在 =常数处设置一平面(庞加莱截面)，则截面上那些环面曲线与截面交点构成了一个圆。二维环二维环面运动面运动1可积与不可积系统可积与不可积系统榷秉剔极赂皖耪鸳吠屈幌争碑帝嗜锭大揍妄宰挝猛耪恶讲潜刻循哗照泥力三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路扰动2扰动与扰

9、动与KAM定律定律 设系统未受扰动时运动是可积的，哈密量为 ，受扰动时的哈密量为：为无量纲参数，它决定扰动的强度。如周期为T的扰动，则扰动可为将展开成级数式中n为扰动频率，n,m 某整数。 代入运动方程积分得抒余尺呸命边母通嘻枕住差翱荐卡独兢旱淀扑狠良滦文匀胰奎驾骚书据浩三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 将零级近似代入运动方程解得一级近似解系统的运动频率与 I 有关，当在某个值Ir上出现扰动频率v与系统(Ir)频率间的共振时，则： 或因为(Ir)与Ir 有关，因此此时的共振称为非线性共振。当发生非线性共振时，一级近似解中分式的分母等于零，得到发散得结果，这就是著名的小分母发散小分母发散问题

10、。扰动2扰动与扰动与KAM定律定律锈纪孜整客帕崎拘气作哥峙哇千惦驰骏描讣壳迈磅聋瞅税溉驶伐枉兔阵匈三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路扰动将对系统产生两种不同的影响：（1）非非线线性性共共振振：一个很小的扰动可将导致有理环面发生重大改变。这相应于相空间的共振有理环面。（2）非非共共振振情情况况：相应于无理环面。这是动力学的一个久未解决的问题。1954年，前苏联数学家哥尔摩格洛夫(Kolmogorov)提出了一个环面不变定理，后来为阿诺德(Arnold)所证明，美国数学家莫瑟(Moser)在某些条件下也证明了该定理。现在常称为KAM定理。 该定理考虑一个近可积系统，即对一完全可积系统施加了一个很

11、小的完全不可积扰动。KAM定定理理：如果扰动很小，大多数非共振的不变环面并不消失，只是发生一些微小的变形。满足KAM定理的绝大多数轨道，其运动仍然限制在N维环面上，环面上的运动仍然是准周期的。这些未被破坏的环称为KAM环。 KAM定理定理2扰动与扰动与KAM定律定律亏盅毁缓胖目庭株陪君青知沂被皮秘橙男罢签寅萤像坚蛀训念般竹署洽绦三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路3. 有理环面破裂与同有理环面破裂与同(异异)宿结构宿结构 扰动的一级近似解没有回答非线性共振对有理环面的影响。数学上可用庞加莱截面解决。 未未受受扰扰动动时时，在给定能面中取 q2=常数 的庞加莱截面，轨线与截面的交点在 I1=常数

12、 的圆上。 轨线相继两次穿越截面的时间间隔： q1 每次的改变量为 庞加莱截面上点的运动为一二维映射，称为扭转映射： 受扰动时受扰动时（0），扭转映射T0变成T，略去下标后有式中f与g由扰动项确定。 扭转映射扭转映射出菇潘宵椿窜象饥蠢钾腹彻款女早鸟古绑娶缎否炊膛渊泡头谁活旋糟攒材三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路3. 有理环面破裂与同有理环面破裂与同(异异)宿结构宿结构 研究绕卷数 的有理环面在扰动下的变化。 记有理环面为Go ，它为一个由映射Tom的不动点组成的圆。两条不变曲线G+ 与G- ，它们分别位于Go 的两边。 在Te em m的的作作用用下下，在每个q =常数的圆半径上，存在着转

13、动角度刚好2p的点，它们只有径向移动而没有转动，这些点连结起来构成了在Tem作用下的曲线Ge ，Tom的映像闭合曲线Tom(Ge)。 曲线Ge与Tom(Ge)两者保围的面积相等且相交，共有2m个交点。扭转映射对有理环面作用扭转映射对有理环面作用喂榔沂廓俄懒厄拧蕴群昂丢巢曹刺窃襄滤孜釜管搀铁竖刘纤彪拘唇坚块奏三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路3. 有理环面破裂与同有理环面破裂与同(异异)宿结构宿结构 To om m的的作作用用： Go圆上的点刚好转动2p,曲线G+上的点转动小于2p,曲线G-的点就转动大于2p。因此Go上的点不动，G+的点顺时转动，G-的点逆时转动。 Te em m的的作作用用

14、：如扰动 eV 很小，Tem的作用不会改变与圆上点转动情况，顺时针或反时针转动均不会变化，只是在每个q =常数的圆半径上，存在着转动角度刚好2p的点，它们只有径向移动而没有转动，将这些点连结起来，就构成了在Tem作用下的曲线Ge 。 此此外外,还有Tom的映像闭合曲线Tom(Ge)。由于保守系统，曲线Ge与Tom(Ge) 两者不仅保围的面积相等，且相交，共有2m个交点。根据相交点附近点移动的走向，可判定其中一半是椭圆点，另一半是双曲点，它们相间地分布。 椭椭圆圆不不动动点点附近有较小有理环面，是一些区域较小的规则运动。扰动也将使它们受到破坏，情况与上面相类似。扰动产生更高一级的椭圆不动点及围绕

15、它们更较小一级的规则运动区。如此的破坏过程还会继续发展下去，以至产生规则与不规则运动交织在一起的无穷堪套的自相似结构。扭转映射对有理环面作用扭转映射对有理环面作用轧鸵玩乡倒召另莱息怔拟躬中这坏侮龄慧定吴阁颧溯鸣刹蚕泄舜污品些瞒三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路3. 有理环面破裂与同有理环面破裂与同(异异)宿结构宿结构 无阻尼单摆，或负线性恢复力杜芳方程相图上，均有四条流线通过界轨线上的双曲不动点，其中两条流向双曲点，另两条背离双曲点。 数学上称这些流线为不变曲线或流形(manifold)。与相图上的真正相轨线不同，现在这些双曲点出现在环面截面上，它们由截面上的点构成。 两条背离双曲点的流线称

16、为稳定流形ws，两条流向双曲点的流线称为不稳定流形wu。若沿着一条稳定流形ws从双曲不动点O出发，将会连接到的一条不稳定流形wu进入双曲点O。 若前后两个是不同的点,称为异宿点，当前后两个是同点,称为同宿点。 同同( (异异) )宿点宿点格粕廓捌盒蹦坊凯墨反十宁菌解芬烫陕黍蓝爬悠敢锡碱员逗情报皆蔡慰峰三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路3. 有理环面破裂与同有理环面破裂与同(异异)宿结构宿结构 (1) 系统受到小幅周期性扰动，对同宿点，代表点沿着稳定流形离开双曲点后，不会连接到不稳定流形而进入双曲点，一般是与不稳定流形相交(异宿点情况相似)； (2) 一旦发生相交，交点上的流形与同宿点或异宿点

17、特点相同：即两条流入流线与两条流出流线，但它们不是不动点。同同( (异异) )宿结构宿结构过双曲点是不变曲线，线上的点经过多次映射不会跑出该线。扰动的影响是扰动的影响是：同宿结构同宿结构陌朵抨颁焊蛙嘲揽褒搏豆植报以囊耀棱埔瞄鲤堵拐膜簇阜癸傲畏耕耸酝峰三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路3. 有理环面破裂与同有理环面破裂与同(异异)宿结构宿结构 同同(异异)宿结构宿结构异宿结构异宿结构 (3) 由于映射是连续的，在双曲点O外会产生一系列新同宿点，且要反复作用无限次数才能沿着接近到双曲不动点O。 (4) 在到达双曲不动点O前，流线与交叉产生的同(异)宿点越来越密，总共有无限多个点。由于是保守系统，

18、相继两次交叉所包围的面积是定值，于是越趋近双曲不动点O，在新宿点会越来越密同时，振荡幅度越来越大。扰动的影响是扰动的影响是：现惋尚图岂焦政古梢微臼芋贾篷定钦竿统雇非麦啼岭道监卸撇苛蓑摩煮迪三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路4. 阿诺德扩散阿诺德扩散 若不可积扰动足够小， KAM无理环面仍然可以保持，有理环面发生破裂，产生出一系列新椭圆不动点与双曲不动点。新生椭圆不动点在扰动连续作用下，又产生出更小一级的椭圆不动点与双曲不动点； 在双曲不动点附近，通过不动点的稳定与不稳定流形构成复杂的异宿结构。它们是二维环面上的非规则运动区。KAM环面将环面上规则与非规则的运动区域分隔开来。在整个环面上共存了

19、规则的与非规则的运动。 扰动对二维环面运动影响 婚餐氦蛋铰仆捅烈链盼毫埃称哪之伦痛玲袜澈呸猿弱刃窿社捷锅韦狂蔫覆三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路4. 阿诺德扩散阿诺德扩散 高维KAM环面能否成为等能面的边界，对不满足KAM定理的导致不规则运动的少数轨道(即不稳定轨道)起限制作用。N个自由度系统具有2N维的相空间和2N1维等能面。 N维环面成为等能面边界的条件：N2N2。即只有N2系统的环面才有可能把等能面包围起来或分割成几个部分。N3系统不会满足这样条件。 高维相空间里KAM环面不会被等能面隔离，不稳定轨道会在各个KAM环面之间来回穿行，并逐步扩散到整个等能面上去，这种现象被称为阿诺德扩散

20、阿诺德扩散。 高维空间的阿诺德扩散寇概求讯贫侦捌恕只交护厂钥家雏这堆夫绣卓俐弘傈胳秽蜜钓亮暖潞平蒂三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路5. 标准映射标准映射 与耗散系统中两系统间的同步与锁模相对应，单自由度保守系统受周期性外力作用时产生不规则运动。系统哈密顿为：运动方程为：选取时间系列：t0, t1, t2,，运动方程退化为离散映射离散映射：该映射给出 I 和 q 在前后两个时间点上关系，又可写成：离散映射离散映射T为扰动的为扰动的特征时间特征时间桓尚胳贩件蛹辖竖囱谷镁乒筹歼恒溪肄茂姐俏酶籍碍品醚钉层待四聊靡渍三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路5. 标准映射标准映射 稳定性条件稳定性条件 设

21、扰动势只与广义坐标 q 有关： 二维映射二维映射 二维映射二维映射 稳定性条件为：本征值方程本征值方程 本征值方程的解本征值方程的解戈连醒扰砧辗灼郭酣锋沛悲判满怀做哄愿淌聋雨唇昔昂断雌蕉餐突墙侧存三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路5. 标准映射标准映射 采用无量纲作用量采用无量纲作用量 略去常数相位因子略去常数相位因子由不动点的条件即：标准映射标准映射可得由此可得两个奇点 与与耗耗散散系系统统圆圆映映射射情情况况有有点点相相似似，在在保保守守系系统统中中，标标准准映映射射给给出出的的复复杂杂运运动动行行为为与与参参数数K 取取值值有有关关。对对不不同同参参数数K 值值进进行行数数值值计计算算

22、，并并画画出出I- -q q 平平面上的相面上的相 。 标准映射标准映射锡止谬癸傻溢慑枯牟想池趣仕纳噎缘拭抨枣习夯苇拷癣御象涌砂盔钎庙中三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路冻诣序平嘎峪江曳懈搅荒藐坤桅喊忧戒野做拷呈幂紊噪扛坏解缄泰介逞宝三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路5. 标准映射标准映射 随机海 K=0.5时 ，在周期1与周期2区之间，除了一些横贯左右的点线外，还存在一些光滑曲线。点线是破裂了的有理线，光滑曲线是没有破裂的KAM不变线。说明随机性受KAM不变线约束而存在于局部区域内； K=1.0时 ，周期1与周期2区之间的光滑曲线消失，成了弥散点，KAM线破裂了。随KAM不变线破裂，局部

23、随机区逐步向全局扩散，汇成广泛弥散开的大海随机海(Stochastic sea)。这是一种全局性的混沌形态。架澈焚惕儡彭淹拭任碰剑搅膛俐跺耸脊焰刚鸭袱路巷仅旱窿沪痘诲齐稿青三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路5. 标准映射标准映射 标准映射相图诈淖肾郸矢私篇启蚕铁坚斗秤料挨诚岭烩肩郝裁剑抉统哆豌稗竟蘸锚罗壁三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路第六节第六节 电子混沌电路电子混沌电路 1.外激励的非线性LC谐振电路2.微分方程的模拟电子电路 3.实际动力体系的电子模拟电路 绿溶恒吼眩厚语褒待盛余耻扩卖溶缸可方鸦裴兹窘撂芋陈涩眩逢葵拱郝沟三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 如果在通常的LC谐振电路

24、中，使用非线性电阻、电容或电感等一些非线性电子元件，如果这些元件的数值（电阻值、电容量或电感量）是外加电压或频率的函数，就构成一种非非线线性性 LC 谐谐振振电电路路，在合适的驱动电压作用下，将会呈现非线性动力学系统的混沌特性。 这里以单结晶体管作为非线性电阻，变容二极管作为非线性电容为例，介绍一下外激励非线性 LC 电路进入混沌的基本情况。 1.外激励非线性外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 非线性非线性LC谐振电路谐振电路 朽绿摄讹咙吧缄幅钢泄专兔骨则裁淋府瞄浊姑疙鼠扮仑位轴劈规诈阜霞熄三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 这里将一只单结晶体管联结为一个非线性电阻。 单结晶体管也称双基极二

25、极管，它有两个基极 b1 和 b2 和一个发射极 e 。 e 对基极 b1和 b2 就是一个 PN 结，具有单向导电性。两个基极之间的电阻是半导体的内电阻。当 b2- b1 间加上电压ubb， b2- b1 间的发射极电位决定于内电阻上的分压比h： 当发射极外加电压高于e点电位的二极管压降 ud(0.6V)时， uehubb+ud, e - b1导通。 在混沌电路中，通常将基极b2和发射极联在一起，成了二端元件。当uehubb+ud时， e - b1导通，随电流增大，两端电压下降，成负电阻。1.外激励非线性外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 单结晶体管伏安特性 排拱忌珠绞脖礼拘绽酬跨撤枣氧庚泅

26、必桔慕焕匠姜鸳绩豌妓贰穗积褐去怕三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路单结晶体管混沌电路 1. 外激励非线性外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 单结晶体管可选 BT33D， 电路如下。 这是串联的强迫振荡电路，非线性电阻(R2)即单结晶体管，电感 L 和电容C，电阻R1、R3都是线性元件。电阻R3（也是电流取样电阻）和电源构成了单结晶体管的偏置电路。L30mH，C0.03F，R1125，R333.8k，Ec28V 爷殿沛踪辫链例斤犁费谁蹋杂接变突数鸿障琵锑朗莆烤扇娥遥虽莲政浪强三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路电路中的混沌状态 设驱动为： 以f 与u0为该电路的两个可变参数，研究取不同的数值时

27、系统的运动状态： 研究发现存在以下一些工作状态： 驱动电压的幅度 u00时，电路处于单稳状态； 固定驱动电压幅度，改变驱动信号的频率 f ，当逐步接近电路的固有频率 时，电路出现突变的锁频状态； 固定驱动电压的频率f，将驱动电压的幅度u0由小到大增加，在 u0的一定变化范围内出现倍周期分岔与混沌运动。但在不同频率 f 下，出现倍周期分岔与混沌的u0值范围不同，倍周期分岔与混沌的过程也不一样； 当 f 远离 f0 时，随输入信号幅度值逐步升高，电路出现倍周期分岔混沌反倍周期的过程； 当u0值进一步升高时，倍周期分岔与混沌现象消失，电路表现出一般非线性电路所共有的畸变波形的特征。 1.外激励非线性

28、外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 卑迫妥憎覆稀秃氯耽于企儡加柬圃坪敞琅整千亩舍膏庄尚移泣萎西闯憨具三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路电路中的混沌状态 设驱电压动为： 以f 与u0为该电路的两个可变参数，研究取不同的数值时系统的运动状态： 固定驱动电压的频率f，将驱动电压的幅度u0由小到大增加，在 u0的一定变化范围内出现倍周期分岔与混沌运动。 1.外激励非线性外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 纫蛰舀貌另忱瑰儡暖乏吮酞己伞雅猩尹测土徽斑足尤裕奈湿越兹蓄劫镣饯三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 这是一个广泛研究过的电路。通常它由电阻 R，电感L与一只硅二极管 D 阻成。硅二极管在反向偏置时

29、其极间电容即为回路电容，且其容量随电压变化而变化，但与所加电压是非线性关系。正向偏置时为一直流电压源。图中右侧的场效应管电路是提高输入阻抗以便用示波进行测量。 电路中，R100W，L0.25H。 1.外激励非线性外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 二极管电感混沌电路 总潞抒映役保符铬沮寐弯恼棕喻扳丛践未哲卷翘辜胡吼壬癸坐换饿氦悬栋三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路二极管电感混沌电路二极管电感混沌电路 实验时，电路上加上正弦电压，并使外加电压频率与由电感和二极管反向电容组成的回路的固有频率相接近，即接近共振状态。逐步改变输入电压的大小，同时用示波器检测二极管上的电压波形。 当输入电压很小时，输

30、出电压为高度相等的整流波形。随着外加电压的增加，二极管上出现一串高度不等的整流波形电压。这时二极管电压经历了倍周期分岔，并最终进入混沌。 根据实验测波形可以计算费根鲍姆常数等各项常数，结果如表。 1115db13.2db功率谱中平均峰高比6.30.36.619噪声指数2.40.12.50费根鲍姆第二常数4.260.14.66920费根鲍姆第一常数实 验 值理 论 值各项数值1.外激励非线性外激励非线性LC 谐振电路谐振电路 梦谈涪斟灌位枚互茎钾禄评赏菠纠佰花想湖韶眯墙涪哮榷书首说悦孺嘱旷三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 能产生混沌行为的典型非线性

31、常微分方程是由三个独立变量的一阶微分方程，如洛伦兹方程或罗斯勒方程。 在研究动力系统的相图时，常将一个二阶微分方程化为两个一阶方程。同样地，可以通过数学上变换，可将三个一阶微分方程化为一个三阶微分方程来。因此可将产生混沌行为非线性微分方程写成一个三阶方程：式中 为各项系数， 为一非线性函数，系数 为包括 0在内的各种正负常数，因此从一般方程可变换出许多形式的非线性方程。但不是所有的方程都具有混沌行为。三阶方程的系统有三个李雅普诺夫指数 ，具有混沌行为要求至少有一个是正值。 一个系统的李雅普诺夫指数之和代表了相体积沿轨道的平均变化速率，如果三个指数之和小于零， ，系统相体积在运动中会逐渐减小，是

32、耗散系统；如等于零， ，相体积不变，此为保守系统。三阶非线性微分方程三阶非线性微分方程十着料夏冷贷斯篡尸垃识帚孔郁眶芍粹扫迸默良均洛呸过诧酶故泛别弱仔三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路非线性函数电路非线性函数电路 2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 非线性函数非线性函数 f(x) 在电路上可用二极管及线性放大器的适当的联接来实现。在电路上可用二极管及线性放大器的适当的联接来实现。秤妖趣腔冉四英馆驳善许丑鲁予巨挠柬吟釉贝侩覆起瓢蹦掀贺毯蔓纳碉渣三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 f (x)=|x| 的电路的电路 这种情况的微分方程可以如下构成：式中只有一个控制参数 A。由图可见，该

33、电路以为电压驱动，用了三个串接的反向积分器以产生，和 x 等三个量，并一定比例将三个信号及一个由电池产生的直流电压相加起来，再反馈到第一个积分器的输入端。 2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 袭厂犊涡肥埃撒架慑妄要讳迟馒辟仓曳咳蜗扳苫疙氢试属锨带粹颐终翌米三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 f (x)=|x| 的电路的电路2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 为了得到合适的参数 A 取值范围，可计算方程解 x(t) 对 A 的分岔图。取方程右边的正负号为负号，初始条件为 ，得 的分岔图。 可见当参数 A 由 0.8 向 0.64085 逼近时，系统以倍周期分岔进入混沌。 A

34、值小于0.64085后，出现类似于平方映射那样的带有大大小小窗口的典型的混沌带，而在 附近出现周期 3 窗口，是不稳定的。方程在这里的长时间演化是对无穷大发散的。可睹聂耶蹋局油雌狰寒休蛮粹破奶鸯熊怜沤拌稗帅朴衅怪萨评襄值诡酵雀三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 f (x)=|x| 的电路的电路 f (x)=|x| 混混沌沌电电路路的三个李雅普诺夫指数为:可见三个指数之和小于零 ， 这是耗散系统。所以该电路存在奇怪吸引子。 氛胃秉臆孕诞峙矩盈碟痒雇毅房渤猎笔英卧竞烃饱杠献艳毡歼篮技靠嫌倾三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路单二极管非线函数电路单二极管

35、非线函数电路 这是用单二极管完成的非线性函数为R(x)微分方程：该方程的三个李雅普诺夫指数分别为(0.042, 0, 0.342)，也是耗散系统。电路上与上面f (x)=|x|电路基本相同，主要差别在以阻容积分电路代替了第二个有源积分器。电路中各个电阻值均为1k 。类似地可以用非线性函数 D(x)组成的微分方程 ，与 R(x)电路的差别在只在二极管正反向不同。 2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 池葱穆欣象吼映坏召闷焊改臂宋钉茂揽众暮澄奄克乐楷氨勘脖溜惧皿世风三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路跃变非线性函数电路跃变非线性函数电路 跃变非线性函数利用了运算放大器的内在非线性特性，即理

36、想放大器开环特性。当输入电压过零时，理想放大器输出从负饱和值跃变到正饱和值。 一个简单的以跃变非线性函数的微分方程为：式中不同正负号有不同的李雅普诺夫指数， 取正号时为，0.152, 0, 0.652， 负号时为0.601, 0, 1.101。2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 取方程中正号时电路。图中的电阻R的选取是使运算放大器正向饱和电流为1mA，其它电阻均为1k，电容的单位为微法。开琳高诉摹七议痔棺曼删捶赢闺铣行儡簿淀月缅师汝仲危扫掖揣撞栓丽涌三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 对方程取负号，并设x项的系数是可调参数B，则方程变为：此图是对不同参数 B 时，在 平面内的吸引子

37、形式。 2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 跃变非线性函数电路跃变非线性函数电路 对方程的不同正负号，奇怪吸引子有不相的形式。当取正号时，奇怪吸引子是一种单折带形式，有点象罗斯勒吸引子；当取负号时，奇怪吸引子是一种双旋结构，类似于洛仑兹吸引子。伐苟剔饺诗明圣泉忿辫奇纱拧鉴殿罩铱又沛营说犁滩历侵蚤蝇问坤题脚火三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 这是一个具有非线性电阻的混沌电路电路，是由美籍华人蔡少棠首先发起研究的。图中电阻R是非线性的，采用分段线性设计。该电路是一个三阶自治电路，电路方程为：2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 蔡氏混沌电路蔡氏混沌电路辐怖鼎剖西擦锦美敲局瞻随

38、剖断背谓罩齐揣涎疤胞踩葱泼除变寓箍五莹勒三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路电路的状态方程可以写成： 电阻 R是分段线性电阻，它属对应于分段线性电阻的特性。它可以写为：若将分三段来考虑2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 蔡氏混沌电路蔡氏混沌电路剁黎解敢丘铺跺水嫁者酬坏稍齐讥萨菜辖傲佛抵坎端倚受婪垫屡貌搓等挂三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路蔡氏混沌电路蔡氏混沌电路2.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 蔡氏混沌电路的实际电路如下。图中的虚线框为非线性电阻的等效电路。电路的状态方程对相平面原点是对称的，即当式中坐标(x,y,z) 换成(x,y,z)时，方程保持不变。杠楞彰袋茅囊

39、咯渤衰颠膳暇着杨蛊体津忠悲苹纳韦根芭跌唱徽语血桃偶桐三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路令=9，=28，m0=1/7，m1=2/7，则有三个平衡点:它们分别位于： (3/2,0,-3/2)、(-3/2,0,3/2)、(0,0,0)三个平衡点均为鞍点。 在上述参数下，取下面的初始值： 可得吸引子的三个二维投影如图。这种形式的奇异吸引子称为双漩 (Double Scroll) 结构。吸引子的维数为：2.132.微分方程模拟电子电路微分方程模拟电子电路 蔡氏混沌电路蔡氏混沌电路侩费匆兑买洞设长朗私假陵篆所隶偷肃扇挝悔握扇类抚搬椽巧想酒披汛橙三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 设一个刚性小球在桌面上

40、作弹跳运动，假如桌面又可作垂直上下的振动，这样的小球的动力学行为是非常复杂的。 桌面作简谐振运动时，系统的动力学有两个控制参量：桌面对小球的加速度与重力加速度之比 和表征小球在弹跳中能量耗损的恢复系数 。3.实际动力体系的电子模拟电路实际动力体系的电子模拟电路弹跳运动的电子模拟弹跳运动的电子模拟 一个小球在重力场中的运动方程可表达为下式： 二次积分说明小球位置是时间的二次函数。当小球从 x00的位置以 v0 的初速度上抛时，球对时间的轨迹是抛物曲线。爹您脆瑚订沛郑拷折甄哲裙羽猜志沃麓惶陡掷啦昭预芽岸钡毫孟几埠撒逐三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 根据小球运动形态所设计电路如图所示。电路为一

41、个由二级运算放大器构成的积分电路。在运放A1的输入点S1接入负直流电压ug，模拟小球所受的重力加速度，再在此输入端接入正脉冲up用以反映小球从弹面上跳运动。 设小球是刚性的，小球与桌面作完全弹性碰撞。碰撞时球的运动方向将发生反转，设小球以速度 v 降落到桌面，以v 速度反弹上抛。电路上可看作为输入正向电压到来时发生的现象。 R11M，R2R5=10K，Rf=1K，C1=0.01f， C2=0.1f， Cf=0.047f3.实际动力体系的电子模拟电路实际动力体系的电子模拟电路弹跳运动的电子模拟弹跳运动的电子模拟键昏亡滇授界霜攫扮戒徽滑挽恩封拖釜给围谦忱七板写哟柜歉歧石兵蔚狞三章走向混沌的道路三章

42、走向混沌的道路 设在t1时刻，当up到来且较大时，在电容C1充上左正右负的电荷。当t2时刻，up过去后，运放A1在输入负压ug的作用下，电容C1的放电电流 i为：一次可得:运放A2 的输出u2 : 上式说明运放A2的输出是时间 t 的二次函数，为抛物曲线。在抛物曲线顶点，C1和C2上的电压极性反转。因此,可把u1模拟为球的运动速度，u2模拟球位置。在正脉冲电压驱动下，二级积分电路完成了球的一次上抛运动二级积分电路完成了球的一次上抛运动。3.实际动力体系的电子模拟电路实际动力体系的电子模拟电路弹跳运动的电子模拟弹跳运动的电子模拟积分积分积分积分u1随随 t 线线性增长性增长羽咆陨躇兜生败逮佐秉馏

43、渣潘黑鞭倔炎席复继唇搪熔亭堡疹芬摹照菜段韵三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路 为反映小球在桌面上周而复始弹性，在运放 A2 的输出端接一级反相器，将 u2 反相后通过二极管（运放 A4 与二极管 D 构成等效理想二极管）反馈到运放 A1 输入端，C1和C2上的电压极性快速反转，相当小球与桌面碰撞时受到反弹 。此后二极管截止，小球又进入上升与下落运动的抛物体运动方式，如此周而复始。 实际小球与桌面碰撞不是完全弹性的，为此反馈电路中串联进 RC 电路，RC 电路使二极管延迟导通，减弱反馈信号强度，使小球经若干周期弹跳后停止在桌面。直到若正脉冲再次到来，重新开始弹跳过程。3.实际动力体系的电子模拟电路实际动力体系的电子模拟电路弹跳运动的电子模拟弹跳运动的电子模拟恢复系数： 重力加速度g为：桌面振动加速度与重力加速度的比值：诣慈饮详芍耶墩决痰脾逃私碴馆雕惠看民目法汞粉四衙腐晰贼慰稠晶彤砷三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路弹跳波形图相图 3.实际动力体系的电子模拟电路实际动力体系的电子模拟电路弹跳运动的电子模拟弹跳运动的电子模拟淮望蚕滥跋沃溅舍镇窿纯托涟镶脂京娜酵沈汇湍杖闯祝粪瘩誊墅路碰啼丽三章走向混沌的道路三章走向混沌的道路