密码设计解码与破译

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1、4.2 密码的设计，解码与破译密码的设计，解码与破译 密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴巴比伦、罗马和希腊，历史极为久远比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代古代隐藏信息的方法隐藏信息的方法 主要有两大类：主要有两大类： 其一其一为为隐藏信息载体，采用隐写术隐藏信息载体，采用隐写术 等；等； 其二其二为为变换信息载体，使之无法为一般人所理解变换信息载体，使之无法为一般人所理解 。 在密码学中，信息代码被称为在密码学中，信息代码被称为 密码密码，加密，加密前的信息被称为前的信息被称为 明文明文，经加密后不为常人，经加密后不为常人所理

2、解的用密码表示的信息被称为所理解的用密码表示的信息被称为 密文密文(ciphertext)，将明文转变成密文的过程被，将明文转变成密文的过程被称为称为加密加密(enciphering)，其逆过程则被称，其逆过程则被称为为解密解密(deciphering)，而用以加密、解密，而用以加密、解密的方法或算法则被称为的方法或算法则被称为 密码体制密码体制(crytosystem)。兢仔泥赫跑坠写钨柴锥窍甩美蝴君铂符骏吻躇温警欺镶卧筑麻狂诀卑兰氛密码设计解码与破译密码设计解码与破译记全体明文组成的集合记全体明文组成的集合 为为U，全体密文组成的集合，全体密文组成的集合 为为V，称，称U为明文空间，为明文

3、空间，V为密文空间。加密常利用某一被称为密钥的东为密文空间。加密常利用某一被称为密钥的东西来实现，它通常取自于一个被称为密钥空间的含有若干参数西来实现，它通常取自于一个被称为密钥空间的含有若干参数的集合的集合K。按数学的观点来看，加密与解密均可被看成是一种。按数学的观点来看，加密与解密均可被看成是一种变换：取一变换：取一kK， uU，令，令 ，v为明文为明文u在密钥在密钥K下的密文，而解码则要用下的密文，而解码则要用 到到K的逆变换的逆变换K-1，。由此，。由此可见，密码体系虽然可以千姿百态，但其关键还在可见，密码体系虽然可以千姿百态，但其关键还在 于于密钥的密钥的选取选取。 随着计算机与网络

4、技术的迅猛发展，大量各具特色的密码体系随着计算机与网络技术的迅猛发展，大量各具特色的密码体系不断涌现。离散数学、数论、计算复杂性、混沌、不断涌现。离散数学、数论、计算复杂性、混沌、，许多，许多相当高深的数学知识都被用上，逐步形成了（并仍在迅速发展相当高深的数学知识都被用上，逐步形成了（并仍在迅速发展的）具有广泛应用面的的）具有广泛应用面的 现代密码学现代密码学 。 企瘩锈艳膝露狄捏普奉皑汕朴孙决奈鹅青镊应叹溉话惋腊锐趁盼光缓剥或密码设计解码与破译密码设计解码与破译 早期密码早期密码 替代密码替代密码 移位密码移位密码 代数密码代数密码 毗簿诊拒虱粹业辞像恋晦快韩令哨蹭甭咏慈宰旋氟吼散囚茂僻企歉

5、差坑爪密码设计解码与破译密码设计解码与破译代替法密码代替法密码采用另一个字母表中的字母来代替明文中的字母，采用另一个字母表中的字母来代替明文中的字母，明文字母与密文字母保持一一对应关系，但采用的符号改变明文字母与密文字母保持一一对应关系，但采用的符号改变了。加密时，把明文换成密文，即将明文中的字母用密文字了。加密时，把明文换成密文，即将明文中的字母用密文字母表中对应位置上的字母取代。解密时，则把密文换成明文，母表中对应位置上的字母取代。解密时，则把密文换成明文，即把密文中的字母用明文字母表中对应位置上的字母代回，即把密文中的字母用明文字母表中对应位置上的字母代回，解密过程是加密过程的逆过程。在

6、代替法加密过程中，密文解密过程是加密过程的逆过程。在代替法加密过程中，密文字母表即代替法密钥，密钥可以是标准字母表，也可以是任字母表即代替法密钥，密钥可以是标准字母表，也可以是任意建立的。意建立的。 1.代替法密码代替法密码明文字母表明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表密文字母表 KLMNOPQRSTUVWXYZABCDEFGHIJ密钥常用一密钥单词或密钥短语生成混淆字母表。密钥单词密钥常用一密钥单词或密钥短语生成混淆字母表。密钥单词 或密钥短语可以存放在识别码、通行字或密钥的秘密表格中。或密钥短语可以存放在识别码、通行字或密钥的秘密表格中。 撑市届荒震谰

7、率湃氯圭吊蝶息恬京泛赚殷董穗签镐使喇誊烬几圆广叹呈梆密码设计解码与破译密码设计解码与破译混合一个字母表，常见的有两种方法，这两种方法都采用了混合一个字母表，常见的有两种方法，这两种方法都采用了一个一个密钥单词密钥单词或一个或一个密钥短语密钥短语。 方法方法1：a)选择一个密钥单词或密钥短语，例如：选择一个密钥单词或密钥短语，例如：constructb)去掉其中重复的字母，得：去掉其中重复的字母，得：construc)在修改后的密钥后面接上从标准字母表中去掉密钥中已有的在修改后的密钥后面接上从标准字母表中去掉密钥中已有的字母后剩下的字母，得：字母后剩下的字母，得：明文字母表明文字母表 ABCDE

8、FGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表密文字母表 CONSTRUABDEFGHIJKLMPQVWXYZ在设计密钥时，也可在明文字母表中选择一个特定字母，然后在设计密钥时，也可在明文字母表中选择一个特定字母，然后从该特定字母开始写密钥单词将密钥单词隐藏于其中。例如，从该特定字母开始写密钥单词将密钥单词隐藏于其中。例如，对于上例，选取特定字对于上例，选取特定字 母母 k k，则可得：，则可得： 明文字母表明文字母表 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表密文字母表 KLMPQVWXYZCONSTRUABDEFGHIJ 十嚼青沽褪钉松谎戎靛统宙膏商滥坍趁毖炸皮俊

9、候丑撵来萄患赐坟吊标章密码设计解码与破译密码设计解码与破译方法方法2 2：a)a)选择一个密钥单词或密钥短语，例如：选择一个密钥单词或密钥短语，例如： constructconstructb)b)去掉其中重复的字母，得：去掉其中重复的字母，得：construconstruc)c)这些字母构成矩阵的第一行，矩阵的后续各行由标准字母这些字母构成矩阵的第一行，矩阵的后续各行由标准字母表中去掉密钥单词的字母后剩下的字母构成表中去掉密钥单词的字母后剩下的字母构成d)d)将所得矩阵中的字母按列的顺序排出将所得矩阵中的字母按列的顺序排出 得：得： cugmyoahpznbiqsdjvrtekwrflx按照此

10、方法产生的字母表称为按照此方法产生的字母表称为 混淆字母表混淆字母表。还可以使用还可以使用混淆数混淆数。混淆数由以下方法产生：。混淆数由以下方法产生：a)选一密钥单词或密钥短语，例如：选一密钥单词或密钥短语，例如：constructb)按照这些字母在标准字母表中出现的相对顺序给它们编号，按照这些字母在标准字母表中出现的相对顺序给它们编号，对序列中重复的字母则自左向右编号，得对序列中重复的字母则自左向右编号，得 ：construct 143675928c)自左向右选出这些数自左向右选出这些数 字字,得到一个混淆数字得到一个混淆数字 组组:143675928，混淆字母表由从小到大的顺序取矩阵中相应

11、列得出。混淆字母表由从小到大的顺序取矩阵中相应列得出。为增加保密性，在使用为增加保密性，在使用代替法时还可利用一些代替法时还可利用一些其他技巧，如单字母表其他技巧，如单字母表对多字母表、单字母对对多字母表、单字母对多字母、多重代替等。多字母、多重代替等。 廷纸筷且转界摘煽额渤什谊褐搅诌百馋胆源儡刹牟致浓侦痛湾嗽恫表炼强密码设计解码与破译密码设计解码与破译2.移位密码体制移位密码体制移位密码移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本身不变，只是位置改变了。身不变，只是位置改变了。早在早在4000多年前，古希腊人就用一种名多年前，古希腊人就用一

12、种名 叫叫“天书天书”的器械的器械来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个直来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个直径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带时，径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消息时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消息时，要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能看到正确要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能看到正确的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。 另一种移位另一种移位 法法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来

13、构造采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的，密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的，故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向右平移右平移3位的方法来构造密文字母表，可位的方法来构造密文字母表，可 得：得： 明文字母表明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ密文字母表密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC因此因此 “THANK YOU” “WKDQN BRX” 以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的

14、顺序还可以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的顺序还可采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密文表。文表。 存耍种利廊仆枢仰昂蜡针永肛枣囤菲瘸驳搜茨筷芯兜游浆习腥烤依心舌响密码设计解码与破译密码设计解码与破译例如，对明文：例如，对明文：THE HISTORY OF ZJU IS MORE THAN ONE HUNDRED YEARS.以以7列矩阵表示如下：列矩阵表示如下：THEHISTORYOFZJUISMORE

15、THANONEHUNDREDYEARS再按事先约定的方式选出密文。例如，如按列选出，得到密再按事先约定的方式选出密文。例如，如按列选出，得到密文：文：touthyhrihueeysanahomndrifoorsszrnetjeed使用不同的顺序进行编写和选择，可以得到各种不同的路线使用不同的顺序进行编写和选择，可以得到各种不同的路线加密体制。对于同一明文消息矩阵，采用不同的抄写方式，加密体制。对于同一明文消息矩阵，采用不同的抄写方式，得到的密文也是不同的。得到的密文也是不同的。 当明文超过规定矩阵的大小时，可以另加一矩阵。当需要加当明文超过规定矩阵的大小时，可以另加一矩阵。当需要加密的字母数小

16、于矩阵大小时，可以在矩阵中留空位或以无用密的字母数小于矩阵大小时，可以在矩阵中留空位或以无用的字母来填满矩阵。的字母来填满矩阵。 赴姨融剐钉委子贰淌骏校遣戌玖体啼住楚救渝踊半识郊鹅舜绘撞青署呼仙密码设计解码与破译密码设计解码与破译移位法也可和代替法结合使用，并使用约定的单词或短语作移位法也可和代替法结合使用，并使用约定的单词或短语作密钥，以进一步加强保密性，这就密钥，以进一步加强保密性，这就 是是钥控列序加密钥控列序加密 法法。 例如例如，用密钥单词，用密钥单词 construct对明文对明文MATHEMATICAL MODELING IS USEFUL加密：加密：CONSTRUCT 1 4

17、3 675 9 28MATHEMATICALMODELINGISUSEFU L 按混淆数的顺序选出各列，得到密文：按混淆数的顺序选出各列，得到密文： MCNLTLFTLIAAGMDSHMSEOSIIUAEE移位法的使用可重复多次，只进行一次移位加密的称为一移位法的使用可重复多次，只进行一次移位加密的称为一 次移位法次移位法，经多次移位的则称，经多次移位的则称 为为多次移位法多次移位法 讥洱貌苫妻队半抛璃孵毖练棒类危漫米泌怖悬杜邵撬冯胆啦条侩萨重宵挠密码设计解码与破译密码设计解码与破译代替法与移位法密码代替法与移位法密码 的的破译破译 对窃听到的密文进行分析时对窃听到的密文进行分析时 ，穷举法穷

18、举法和和统计法统计法是最基本的是最基本的破译方法破译方法 。穷举分析法穷举分析法 就是对所有可能的密钥或明文进行逐一试探，就是对所有可能的密钥或明文进行逐一试探，直至试探到直至试探到“正确正确”的为止。此的为止。此 方法方法需要事先知道密码体需要事先知道密码体制或加密算法制或加密算法（但不知道密钥或加密具体办法）。破译时需（但不知道密钥或加密具体办法）。破译时需将猜测到的明文和选定的密钥输入给算法，产生密文，再将将猜测到的明文和选定的密钥输入给算法，产生密文，再将该密文与窃听来的密文比较。如果相同，则认为该密钥就是该密文与窃听来的密文比较。如果相同，则认为该密钥就是所要求的，否则继续试探，直至

19、破译。以英文字母为例，当所要求的，否则继续试探，直至破译。以英文字母为例，当已知对方在采用代替法加密时，如果使用穷举字母表来破译，已知对方在采用代替法加密时，如果使用穷举字母表来破译，那么对于最简单的一种使用单字母表单字母单元代替法那么对于最简单的一种使用单字母表单字母单元代替法加密的密码，字母表的可能情况加密的密码，字母表的可能情况 有有26！种，可见，单纯地种，可见，单纯地使用穷举法，在实际应用中几乎是行不通的，只能与其它方使用穷举法，在实际应用中几乎是行不通的，只能与其它方法结合使用。法结合使用。 钒笔荐末捍娃屿手藤赔然回丰碍镜凡要寥挎枚评障跺造号硬令挣姨很阅踏密码设计解码与破译密码设计

20、解码与破译统计法统计法是根据统计资料进行猜测的。在一段足够长且非特别是根据统计资料进行猜测的。在一段足够长且非特别专门化的文章中，字母的使用频率是比较稳定的。在某些技专门化的文章中，字母的使用频率是比较稳定的。在某些技术性或专门化文章中的字母使用频率可能有微小变化。术性或专门化文章中的字母使用频率可能有微小变化。 在上述两种加密方法中字母表中的字母是一一对应的，因此，在上述两种加密方法中字母表中的字母是一一对应的，因此，在截获的密文中各字母出现的概率提供了重要的密钥信息。根在截获的密文中各字母出现的概率提供了重要的密钥信息。根据权威资料报道，可以据权威资料报道，可以 将将26个英文字母按其出现

21、的频率大小个英文字母按其出现的频率大小较合理地分为五组：较合理地分为五组：I. t,a,o,i,n,s,h,r; II. e; III. d,l; IV. c,u,m,w,f,g,y,p,b; V. v,k,j,x,q,z; 不仅单个字母以相当稳定的频率出现，不仅单个字母以相当稳定的频率出现，相邻字母对相邻字母对和和三字母三字母对对同样如此。同样如此。痹详径伏唇岛倦撂纬尹健韦对气民急若沦窄沥铬箔诉浓彪毅溺耍乡软朔煤密码设计解码与破译密码设计解码与破译按按频率大小频率大小 将双字母排列如下：将双字母排列如下：th,he,in,er,an,re,ed,on,es,st,en,at,to,nt,ha

22、,nd,ou,ea,ng,as,or,ti,is,er,it,ar,te,se,hi,of使用最多的三字母按频率大小排列如下：使用最多的三字母按频率大小排列如下： The,ing,and,her,ere,ent,tha,nth,was,eth,for,dth统计的章节越长，统计结统计的章节越长，统计结果就越可靠。对于只有几果就越可靠。对于只有几个单词的密文，统计是无个单词的密文，统计是无意义的。意义的。下面介绍一下统计观察的三个结果：下面介绍一下统计观察的三个结果：a)单词单词the在这些统计中有重要的作用；在这些统计中有重要的作用；b)以以e，s，d，t为结尾的英语单词超过了一半；为结尾的英

23、语单词超过了一半；c)以以t，a，s，w为起始字母的英语单词约为一半。为起始字母的英语单词约为一半。对于对于a) ，如果，如果 将将the从明文中删除，那从明文中删除，那 么么t的频率将要降的频率将要降到第二组中其他字母之后，到第二组中其他字母之后， 而而h将降到第三组中，并将降到第三组中，并 且且th和和he就不再是最众多的字母了。就不再是最众多的字母了。以上对英语统计的讨论是在仅涉以上对英语统计的讨论是在仅涉 及及26个字母的假设条件个字母的假设条件下进行的。实际上消息的构成还包括间隔、标点、数字下进行的。实际上消息的构成还包括间隔、标点、数字等字符。总之，破译密码并不是件很容易的事。等字

24、符。总之，破译密码并不是件很容易的事。 柞侍碱能物问折较巴逾鬃黍甘谐能军离剁皑未旱轴追潮垃洗诫好混后翱船密码设计解码与破译密码设计解码与破译2.希尔密码希尔密码代替密码与移位密码的一个致命弱点代替密码与移位密码的一个致命弱点 是是明文字符明文字符和和密文字密文字符符有相同的有相同的使用频率使用频率,破译者可从统计出来的字符频率中找破译者可从统计出来的字符频率中找到规律，进而找出破译的突破口。要克服这一缺陷，提高保到规律，进而找出破译的突破口。要克服这一缺陷，提高保密程度就必须改变字符间的一一对应。密程度就必须改变字符间的一一对应。 1929年，希尔利用线性代数中的矩阵运算，打破了字符间的年，希

25、尔利用线性代数中的矩阵运算，打破了字符间的对应关系，设计了一种被称为希尔密码的代数密码。为了便对应关系，设计了一种被称为希尔密码的代数密码。为了便于计算，希尔首先将字符变换成数，例如，对英文字母，我于计算，希尔首先将字符变换成数，例如，对英文字母，我们可以作如下变换：们可以作如下变换： ABC DE FG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0将密文分成将密文分成 n个一组，用对应的数字代替，就变成了一个个一组，用对应的数字

26、代替，就变成了一个 个个n维向量。如果取定一维向量。如果取定一 个个n阶的非奇异矩阶的非奇异矩 阵阵A（此矩阵为主要（此矩阵为主要密钥），密钥）， 用用A去乘每一向量，即可起到加密的效果，解密也去乘每一向量，即可起到加密的效果，解密也不麻烦，将密文也分不麻烦，将密文也分 成成n个一组，同样变换个一组，同样变换 成成n维向量，只维向量，只需用去乘这些向量，即可将他们变回原先的明文。需用去乘这些向量，即可将他们变回原先的明文。 藐悲沦螟提陵数愈拒掀旬邵碾麓畜氟愁复各天沈霓疚碳越呐匿焕登舌祷达密码设计解码与破译密码设计解码与破译定理定理1 ,若若 使得使得 (mod26)，则必有，则必有 =1，其，

27、其中中 为为 与与26的最大公因子。的最大公因子。证 任取任取，令，令，于是，于是，故，故，由，由的任意性可知必有的任意性可知必有 (mod26) 即即 上式上式说明必有明必有，不然它将整，不然它将整 除除1，而，而这是不可能的。是不可能的。在具体实施时在具体实施时 ，我们很快会发现一些困，我们很快会发现一些困难：难： (1) 为了使数字与字符间可以互换，必为了使数字与字符间可以互换，必须使用取自须使用取自025之间的整数之间的整数 (2)由线性代数知识，由线性代数知识， ，其中，其中 为为A的伴随矩阵。由于使用了除法，的伴随矩阵。由于使用了除法，在在 求求A的逆矩阵时可能会出现分数。不的逆矩

28、阵时可能会出现分数。不解决这些困难，上述想法仍然无法实现。解决这些困难，上述想法仍然无法实现。解决的办法是引进同余运算，并用乘法解决的办法是引进同余运算，并用乘法来代替除法，（如同线性代数中用逆矩来代替除法，（如同线性代数中用逆矩阵代替矩阵除法一样）。阵代替矩阵除法一样）。猛孙相褪轧嘻升海嘲恍卷聊朋察护柿芜遏序母屁乱挚税囤屈字箩本荐腮遏密码设计解码与破译密码设计解码与破译 此外，我此外，我们还不不难证明明这样的的还是由是由唯一确定的。事唯一确定的。事实上上设有有 和和 则 故必有故必有（也因（也因为），即），即 由定理由定理1，026中除中除13以外的奇数均可取作以外的奇数均可取作这里的里的，

29、下表，下表为经计算求得的逆元素算求得的逆元素 1 3 5 7 9 11 15 17 19 21 23 25 1 9 21 15 3 19 7 23 11 5 17 25角更衙沟嗓栈锦来肤枢玲井吠盐期绍兆吩淬疥棵禁食蒋萤体煌凛钵下沛胜密码设计解码与破译密码设计解码与破译例例1 取取a = 3用希尔密码体系加密语句用希尔密码体系加密语句THANK YOU步步1 将将THANK YOU转换成转换成 （20，8，1，14，11，25，15，21）步步2 每一分量乘以每一分量乘以 3并关于并关于26取余得取余得 （8，24，3，16，7，23，19，11） 密文为密文为HXCPG WSK现在我们已不难将

30、方法推现在我们已不难将方法推 广到广到n为一般整数为一般整数的情况了的情况了,只需在乘法运算中结合应用取余，只需在乘法运算中结合应用取余，求逆矩阵时用逆元素相乘来代替除法即可。求逆矩阵时用逆元素相乘来代替除法即可。澜介舔惩企户酒摸瘁峭吁剿翟氓正馆碳怕易粒锥非纺贿顷桂恫敌拄莎喀胖密码设计解码与破译密码设计解码与破译 例例2 取取A = 则则 (具体求法见具体求法见后后),用用A加加密密THANK YOU,再再用用 对对密密文文解解密密 用矩用矩阵A左乘各向量加密（关左乘各向量加密（关 于于26取余）得取余）得 得到密文得到密文 JXCPI WEK 解解:(希希尔尔密密码加加 密密)用相用相应数字

31、代替字符，划分数字代替字符，划分为两个元素一两个元素一 组并表示并表示为向量：向量：赊睛熏翟拐罗跳鸿喉庐推醚钉葵栈声腾弦岸刑舍秦涛希润灾绕卸娥造筒塞密码设计解码与破译密码设计解码与破译（希尔密码解密希尔密码解密）用用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。 (自行验证自行验证)希尔密码是以希尔密码是以矩阵矩阵 法法为基础的，明文与密文的对为基础的，明文与密文的对 应由应由n阶矩阶矩阵阵A确定。矩阵确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数母的字母数量相同，如果明文所含字数

32、与与n不匹配，则最后不匹配，则最后几个分量可任意补足。几个分量可任意补足。 A-1的求法的求法方法方法1 利用公式利用公式 ，例如，若取，例如，若取 ，则则 , , (mod26) ，即，即 方法方法2 利用高斯消去法。将矩利用高斯消去法。将矩 阵阵(A, E)中的矩阵中的矩阵A消为消为E，则原先的则原先的E即被消成了即被消成了A-1，杂脂剁停座摩絮朽耗溅咖浇险景舰退草时胚因凋期予梁倍怕颜岂篙截孔听密码设计解码与破译密码设计解码与破译 如如 ， (用用9乘第二行并取同乘第二行并取同 余余) ， 第一行减去第二行第一行减去第二行 的的2倍并取同余，得倍并取同余，得 ， 左端矩阵已化为单位阵，故右

33、端矩阵即为左端矩阵已化为单位阵，故右端矩阵即为 A-1希尔密码系统的解密依赖于以下几把钥匙希尔密码系统的解密依赖于以下几把钥匙 （key）：）：Key1 矩阵矩阵A的阶数的阶数n，即，即 明文是按几个字母来明文是按几个字母来 划分的。划分的。Key2 变换矩阵变换矩阵A，只有知，只有知 道了道了A才可能推算出才可能推算出Key3 明文和密文由字母表明文和密文由字母表 转换成转换成 n维向量所对维向量所对 应的非负整数表（上应的非负整数表（上 面，为方便起见，我面，为方便起见，我 们采用了字母的自然们采用了字母的自然 顺序）。顺序）。骇庄观地耐匝缅溃旦椽屡妊岔罪交迷敦卷喂比锄夷搔就妇录沦尿峦成筛

34、旱密码设计解码与破译密码设计解码与破译希尔密码体系为破译者设置了多道关口，加大了破译难度。破希尔密码体系为破译者设置了多道关口，加大了破译难度。破译和解密是两个不同的概念，虽然两者同样是希望对密文加以译和解密是两个不同的概念，虽然两者同样是希望对密文加以处理而得到明文的内容，但是他们有一个最大的不处理而得到明文的内容，但是他们有一个最大的不 同同破破译密码时，解密必需用到的钥匙未能取得，破译密码的一方需译密码时，解密必需用到的钥匙未能取得，破译密码的一方需要依要依 据据密文的长度密文的长度，文字的本身特征文字的本身特征，以及，以及行文习惯行文习惯 等等各等等各方面的信息进行破译。破译密码虽然需

35、要技术，但更加重要的方面的信息进行破译。破译密码虽然需要技术，但更加重要的是是“猜测猜测”的艺术。的艺术。“猜测猜测”的成功与否直接决定着破译的结的成功与否直接决定着破译的结果。果。破译希尔密码的关键是猜测文字被转换成成几维向量所、对应破译希尔密码的关键是猜测文字被转换成成几维向量所、对应的字母表是怎样的，更为重要的是要设法获取加密矩的字母表是怎样的，更为重要的是要设法获取加密矩 阵阵A。（希尔密码的破译希尔密码的破译）由线性代数的知识可以知道，矩阵完全由线性代数的知识可以知道，矩阵完全由一组基的变换决定，对由一组基的变换决定，对 于于n阶矩阵阶矩阵A，只要猜出密文，只要猜出密文 中中n个线性

36、无关的向量个线性无关的向量 (i=1, 2, , n) 对应的明文对应的明文 (i=1, 2, , n)是什么是什么 ，即，即可确定可确定A，并将密码破译。，并将密码破译。茁锦沮候测把哦印列盛胁持澄炯顿项塑抗烫蹿藏硅恰蕉签篆欠漓婚畜狐怂密码设计解码与破译密码设计解码与破译 在实际计算中，可以利用以下方法：在实际计算中，可以利用以下方法：令令则则，取矩阵取矩阵Q | P,经过一系列初等行变换，将由密文决定经过一系列初等行变换，将由密文决定 的的n维矩阵维矩阵Q化为化为n阶单位阵阶单位阵 I的时候，由明文决定的矩的时候，由明文决定的矩 阵阵P自自动化为动化为 (A-1)T，即，即 ：詹絮衍箕骏侄绽

37、拽冬栓绍顾棺柱啥鲸雨雅飞葵旋陀罕寅乡同痕鸭帜屎世颈密码设计解码与破译密码设计解码与破译例例5 有密文如下有密文如下:goqbxcbuglosnfal;根据英文的行根据英文的行文习惯以及获取密码的途径和背景，猜测是两个字文习惯以及获取密码的途径和背景，猜测是两个字母为一组的希尔密码，前四个明文字母母为一组的希尔密码，前四个明文字母 是是dear，试破译这段秘文。试破译这段秘文。解解： 前两组明文字前两组明文字 母母de和和ar 对应的二维向量是：对应的二维向量是： 按同一对应整数表，密文中对应这两组的二维向量是：按同一对应整数表，密文中对应这两组的二维向量是：， ， 由此可得由此可得，对应上例则

38、有，对应上例则有唆桨秘愉湾很鱼伐挞遏枚泻衷另潍纪芍雅意鲁摇坑境扛奋戚吠颂偿跟定周密码设计解码与破译密码设计解码与破译 , 利用这一逆矩阵，可对截获密文进行解密，破译出的电文是利用这一逆矩阵，可对截获密文进行解密，破译出的电文是Dear Mac God forbid. 这只是对最简单情况进行的举例，如果加密矩阵的阶数大于这只是对最简单情况进行的举例，如果加密矩阵的阶数大于2，需要的密文应该有较长长度，所需的计算量也是很大的。破，需要的密文应该有较长长度，所需的计算量也是很大的。破译的关键是猜译的关键是猜 中中n及及n个独立的个独立的n维向量，其后求解加密矩阵维向量，其后求解加密矩阵的计算量仅为的

39、计算量仅为 O(n2 )。希尔密码体制中有两个要素非常重要：希尔密码体制中有两个要素非常重要： 第一第一是字母是字母 与与n维向量进行转换所依维向量进行转换所依据的非负整数表，本节中所举的是最据的非负整数表，本节中所举的是最自然的情况；当然如果依据其它的整自然的情况；当然如果依据其它的整数表也是完全可以进行的，其情况将数表也是完全可以进行的，其情况将会更复杂一些，破译的难度就会增大。会更复杂一些，破译的难度就会增大。 第二第二个要素是加密矩阵，如何定义、个要素是加密矩阵，如何定义、求解这个矩阵对于密码的加密和破译求解这个矩阵对于密码的加密和破译更加关键。唯一的要求是加密时应选更加关键。唯一的要

40、求是加密时应选择行列式值与择行列式值与 26无公因子的矩阵。无公因子的矩阵。 岭翱译罚汽跋液砧党拳七化优检眯遍辩凑阀壳烈炒敛软邓宣嘛宠酿镣门钮密码设计解码与破译密码设计解码与破译RSA公开密钥体制公开密钥体制 传统的密码通讯只能在事先约定的双方间进行，双方必须掌传统的密码通讯只能在事先约定的双方间进行，双方必须掌握相同的密钥，而密钥的传送必须使用另外握相同的密钥，而密钥的传送必须使用另外 的的“安全信道安全信道”。这样如果要使。这样如果要使 n个用户都能够秘密的交换信息，则每个个用户都能够秘密的交换信息，则每个用户将需要用个密钥，这种巨大的密钥量给密钥的分配与管用户将需要用个密钥，这种巨大的密

41、钥量给密钥的分配与管理带来了极大的困难；此外在有些情况下，事先约定密钥还理带来了极大的困难；此外在有些情况下，事先约定密钥还是不可能的。是不可能的。 公开密钥体制的提出就是为了从根本上解决上述问题公开密钥体制的提出就是为了从根本上解决上述问题 。其其基本思想基本思想是：是：把密钥划分为公开密钥和秘密密钥两部分把密钥划分为公开密钥和秘密密钥两部分 ,两两者互为逆变换，但几乎不可能从公开密钥推出秘密密钥者互为逆变换，但几乎不可能从公开密钥推出秘密密钥 .每每个使用者均有自己的公开及秘密密钥。个使用者均有自己的公开及秘密密钥。 虽然只要能解密的密文，从理论上讲虽然只要能解密的密文，从理论上讲都是可破

42、译的，但如果破译所需要都是可破译的，但如果破译所需要 的工作量过大，要求花费的时间过的工作量过大，要求花费的时间过 长，以致超过了保密期限，则该密长，以致超过了保密期限，则该密 码系统应当被认为是安全可靠的。码系统应当被认为是安全可靠的。 崭莲睹屁写耍屁蹄舷耍台嫉事崩慎豫驻怀拖淑渝豆单啡靛她萄金斩领级留密码设计解码与破译密码设计解码与破译定义定义1 设设n为一正整数，将小为一正整数，将小 于于n且与且与n互素的正整数个数互素的正整数个数记为记为 (n)，称之为欧拉（称之为欧拉（Euler L.）函数。函数。 不难证明：若不难证明：若 p，q为两个相异素数，为两个相异素数，n=pq，则，则 (n

43、) =(p-1)(q-1)令令p,q为随机选取的两个大素数（大约为十进为随机选取的两个大素数（大约为十进 制制100位或更位或更大）大）, n=pq, n是公开的，是公开的， 而而p,q则是保密的。仅知道欧拉函则是保密的。仅知道欧拉函数数(n) =(p-1)(q-1)，但如果不知道因式分解就不能用这个公但如果不知道因式分解就不能用这个公式计算。随机选取一个式计算。随机选取一个 数数e，e为小于为小于(n)且与它互素的正整且与它互素的正整数。利用辗转相除法，可以找到整数。利用辗转相除法，可以找到整 数数d和和r，使，使 ed+r(n) =1即即 ed 1 (mod (n) 数数n,e和和d分别称

44、为分别称为模模、加密密钥加密密钥和和解密密钥解密密钥。 数数n和和e组成公组成公开密钥的开密钥的加密密钥加密密钥，而其余的，而其余的 项项p,q, (n)和和 d 组成了秘密陷组成了秘密陷门。很显然，陷门信息包含了四个相关的项。门。很显然，陷门信息包含了四个相关的项。 晦币闲只痒饵栅驰钝个根酵淌盒柴凛缓滋斑邵吻惦久增额赦币柿贾崖禾过密码设计解码与破译密码设计解码与破译若知道若知道(n),则由则由 pq=n p+q=n-(n)+1 可知可知p,q是二次方是二次方 程程x+(n)-n-1)x+n=0的根，可以算的根，可以算 出出p和和q，从而将，从而将n因式分解。所因式分解。所 以以RSA体制的安

45、全性与因式分解体制的安全性与因式分解密切相关，若能知密切相关，若能知 道道n的因子分解，该密码就能被破的因子分解，该密码就能被破译。因此，要选用足够大译。因此，要选用足够大 的的n，使得在当今的条件下要分解，使得在当今的条件下要分解它足够困难。它足够困难。为加密消息为加密消息 m，首先将它分为小，首先将它分为小 于于n（对二进制数据，选取（对二进制数据，选取小于小于n的的2的最大次方幂）的数据块，也就是说，如的最大次方幂）的数据块，也就是说，如 果果p和和q都为十进制都为十进制100位的素数，则位的素数，则 n 刚好在刚好在200位以内，因此每位以内，因此每个消息块的长度也应在两百位以内。加密

46、消息个消息块的长度也应在两百位以内。加密消息c由类似划分由类似划分的同样长度的消息块组成。加密公式为的同样长度的消息块组成。加密公式为 (mod n) 眯诉藏认白俄嫌蠢帕痉告乳容渡押窘钒火烁抑腐怂攫脐孪婿逮舞遇踩啦叔密码设计解码与破译密码设计解码与破译要解密消息，取每一个加密要解密消息，取每一个加密 块块c(I)并计算并计算 (mod n)由公式由公式ed 1 (mod (n) 我们有我们有ed = 1 - r(n),因此因此 (mod n)其中其中r为某一整数。这里利用为某一整数。这里利用 了了欧拉定理欧拉定理: (n) 1(mod n)根据以上公式从密文恢复出了明文。根据以上公式从密文恢复

47、出了明文。那么那么RSA公开密钥体公开密钥体制是怎样使用的制是怎样使用的 呢？请呢？请看下例！看下例！格绍购苫秒宝悲犁撑卓绿烦坑珠飞耽名盒各挪延谰帚替慕剑附烘适广俭厂密码设计解码与破译密码设计解码与破译设使用者取设使用者取 定定 p=47，q=59, 则则 N=pq=2773,(n)=(p-1)(q-1)=2668.取素数取素数e=17，显然它与，显然它与(n)互素，加密者知互素，加密者知 道道p、q的值，易的值，易得出得出d=157。将。将(e,n)=(17,2773)作为公开密钥发布；严守机作为公开密钥发布；严守机密的秘密密钥是密的秘密密钥是(157,2773).现在有人要向此使用者传送一

48、段现在有人要向此使用者传送一段（英文）明文信息，例如：（英文）明文信息，例如： I love zhejiang university将这段文字转换为数字，不计大小写，每两个词之间为一个空将这段文字转换为数字，不计大小写，每两个词之间为一个空格符号，空格符对应数格符号，空格符对应数 字字00，每个英文字母对应表征其在字，每个英文字母对应表征其在字母表中位置的两位数字，例如：母表中位置的两位数字，例如：A对应对应01，B对应对应02，Z对应对应26，等等。再从头向后，将每四位数字划归一组，不足，等等。再从头向后，将每四位数字划归一组，不足时补充空格。如此得到以下十三组数字：时补充空格。如此得到以下

49、十三组数字： 0900 1215 2205 0026 0805 1009 0114 0700 2114 0922 0518 1909 2025 每一组数字视为一个数，用公开密每一组数字视为一个数，用公开密 钥钥(17,2773)对其加以变对其加以变换。换。散屁贼虐译镊搀贯械后传谐搜殃暑尹亮戍递眼伟肚新赎刚营鹊忠该颗辩盲密码设计解码与破译密码设计解码与破译以第一个数为例，由于以第一个数为例，由于n=2773,比这里任何可能出现的四比这里任何可能出现的四位数字均大，故只需计算每一数字在位数字均大，故只需计算每一数字在 模模2773下的下的17次幂。次幂。我们有我们有 900 1510 (mod 2

50、773).在以上整个过程中，为减少计算量应随时注意取模。这样在以上整个过程中，为减少计算量应随时注意取模。这样900对应的密码是对应的密码是1510。以这一方法得到的密文电码是：。以这一方法得到的密文电码是： 1510 0417 1524 1445 0542 2692 1684 0761 1644 2488 1787 1877 1672解密过程与此类似，只不过使用密解密过程与此类似，只不过使用密 钥钥(157,2773)，直接计，直接计算很烦琐，但用计算机处理这一问题却非常简单。算很烦琐，但用计算机处理这一问题却非常简单。本例中将四位数字划分为一组，是为了使每组的数字不超本例中将四位数字划分为一组，是为了使每组的数字不超过过n=2773. 当使用一个很大当使用一个很大 的的n时，每次完全可以处理一时，每次完全可以处理一个位数更多的数码组。只要相应的整数小于个位数更多的数码组。只要相应的整数小于n即可。即可。找娩讣挪枯殆涨坷学谦臻镜凯烷核洽虱煤寅砌扳厅储请抓琵赌朝逗涧畦狰密码设计解码与破译密码设计解码与破译