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1、4.1.2 4.1.2 4.1.2 4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程圆的一般方程4.1 4.1 4.1 4.1 圆的方程圆的方程圆的方程圆的方程1复习圆的标准方程复习圆的标准方程3.3.圆圆的的标标准方程的两个基本要素准方程的两个基本要素: : 是是 和和 . .1.1.圆的标准方程圆的标准方程:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2. . 其中圆心坐标为其中圆心坐标为C(a,b),C(a,b),半径为半径为r.r.2.2.当圆心在坐标原点上当圆心在坐标原点上, ,这时这时a=b=0,a=b=0, 那么圆的方程为那么圆的方程为x x2 2+y+
2、y2 2=r=r2 2. .圆圆心坐心坐标标半径半径圆的一般方程2研究圆的标准方程研究圆的标准方程将圆的标准方程展开将圆的标准方程展开, ,化简化简, ,整理整理, ,可得可得 x x2 2+y+y2 2-2ax-2by+(a-2ax-2by+(a2 2+b+b2 2-r-r2 2)=0,)=0,取取D=-2a,E=-2b,F=aD=-2a,E=-2b,F=a2 2+b+b2 2-r-r2 2, ,可写成可写成:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0.+Dx+Ey+F=0.也就是说也就是说: : 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方
3、程的形式：x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 请大家思考一下请大家思考一下,反过来讲反过来讲,形如形如的方的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题们来深入研究这一方面的问题. 圆的一般方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 23研究二元二次方程表示的图形研究二元二次方程表示的图形 再将上述方程再将上述方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0 +Dx+Ey+F=0 左边运用配方法左边运用配方法, ,得得(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2= =
4、 显然显然是不是圆方程与是不是圆方程与 是什么样的数是什么样的数 密切相关密切相关 (1)(1)当当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=( )=( )2 2 方程表示以方程表示以(- ,- )(- ,- )为圆心、以为圆心、以 为半径的圆为半径的圆. .(2)(2)当当D D2 2+E+E2 2-4F=0-4F=0时时,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 2=0=0 方程只有实数解方程只有实数解x=- ,y=- ,x=- ,y=- ,表示一个点表示一个点(- ,- ).(-
5、 ,- ). (3)(3)当当D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时,式可化为式可化为(x+ )(x+ )2 2+(y+ )+(y+ )2 20 0 方程没有实数解方程没有实数解, ,因而它不表示任何图形曲线因而它不表示任何图形曲线. . 圆的一般方程4得结论、给定义得结论、给定义方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹的轨迹可能是圆、点或无轨迹. . 我们把我们把D D2 2+E+E2 2-4F-4F0 0时时x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程所表示的圆的方程
6、称为圆的一般方程. . 学过两种形式的圆的方程学过两种形式的圆的方程( (标准标准方程和一般方程方程和一般方程) )之后之后, ,谁能指出谁能指出它们各自的优点呢？它们各自的优点呢？圆的标准方程圆的标准方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2圆的一般方程圆的一般方程 x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点突出了形式上的特点: :(1)x(1)x2 2和和y y2 2的系数相同的系数相同, ,且不等于且不等于0 0(2)(2)没有没有xyxy这样的二次项这样的二次项. . 以上两点是二元二次方程以上两点是二元二次方程
7、AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的表示圆的 条件条件. . 必要不充分条件必要不充分条件充要条件是什充要条件是什么呢么呢? ?明确指出了圆心和半径明确指出了圆心和半径圆的一般方程5例题分析例题分析例例1.1.求过三点求过三点O(0,0),MO(0,0),M1 1(1,1),M(1,1),M2 2(4,2)(4,2)的圆的方程的圆的方程, ,并求并求 出这个圆的圆心坐标和半径出这个圆的圆心坐标和半径. . 分析分析:圆的一般方程需确定三个系数圆的一般方程需确定三个系数, ,用待定系数法用待定系数法. . 解解:设所求的圆的方程为设所求
8、的圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,因为因为O O、M M1 1、M M2 2 三点在圆上三点在圆上, ,所以它们的坐标是方程的解所以它们的坐标是方程的解, , 解此方程组解此方程组, ,可得可得:D=-8,E=6,F=0. :D=-8,E=6,F=0. 所求圆的方程为所求圆的方程为:x:x2 2+y+y2 2-8x+6y=0.-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)(x-4)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=5=52 2, ,于是圆心坐标于是圆心坐标(4,-3),(4,-3),半径为半径为r=
9、5.r=5. 方法方法: :待定系数法待定系数法和配方法和配方法圆的一般方程6例题分析例题分析圆的一般方程圆的一般方程例例2.2.经过点经过点M(-6,0)M(-6,0)作圆作圆C:xC:x2 2+y+y2 2-6x-4y+9=0-6x-4y+9=0的割线的割线, ,交圆交圆 C C于于A A、B B两点两点, ,求线段求线段ABAB的中点的中点P P的轨迹的轨迹. . 解解: :圆圆C C的方程可化为的方程可化为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=4,=4,其圆心为其圆心为C(3,2),C(3,2), 半径为半径为2.2.设设P(x,y)P(x,y)是轨迹上任意一点是轨
10、迹上任意一点.CPMP.CPMP k kCPCPkkMPMP=-1,=-1,即即 =-1.=-1. 化简得化简得x x2 2+y+y2 2+3x-2y-18=0,+3x-2y-18=0, 点点C C在曲线上在曲线上, ,并且曲线为圆并且曲线为圆C C内部的一段圆弧内部的一段圆弧. . 7 1. 1.补充练习补充练习: :课堂练习课堂练习注意注意: :圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2的半径是的半径是|m|.|m|.圆的一般方程(1)(1)方程方程x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以表示的曲线是以(-2,3)(-
11、2,3) 为圆心为圆心,4,4为半径的圆为半径的圆. .求求D D、E E、F F的值的值答案答案:D=4,E=-6,F=-3:D=4,E=-6,F=-3(2)(2)求经过三点求经过三点A(1,-1)A(1,-1)、B(1,4)B(1,4)、C(4,-2)C(4,-2)的圆的圆 的方程的方程. .待定系数法待定系数法,答案答案:x:x2 2+y+y2 2-7x-3y+2=0.-7x-3y+2=0. 8课时小结课时小结 通过本节学习通过本节学习, ,首先要掌握圆的一般方程首先要掌握圆的一般方程, ,能进行圆的一般方程与圆的标准方程的能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化互化. . 其次其次, ,还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程, ,再利用待定系数法和配方法求解再利用待定系数法和配方法求解. . 若条件与圆心、半径有关若条件与圆心、半径有关, ,则宜用标准方程则宜用标准方程; ; 若条件主要是圆所经过的点的坐标若条件主要是圆所经过的点的坐标, ,则宜用一般方程则宜用一般方程. .圆的一般方程910
