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1、河海大学理学院高等数学高高 等等 数数 学学 ( (下下) )河海大学理学院高等数学 高等数学（上）高等数学（上）第八章 空间解析几何与向量代数河海大学理学院高等数学一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理第三节 向量的坐标河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学证证于是于是河海大学理学院高等数学空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.河海大
2、学理学院高等数学空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影河海大学理学院高等数学空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影河海大学理学院高等数学关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证河海大学理学院高等数学定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；河海大学理学院高等数学关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）河海大学理学院高等数学二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标河海大学理学院高等数
3、学由例由例1知知河海大学理学院高等数学 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影河海大学理学院高等数学按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：河海大学理学院高等数学向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式河海大学理学院高等数学解解设设为直线上的点，为直线上的点，河海大学理学院高等数学由题意知：由题意知：河海大学理学院高等数学若向量若向量 = , = 例
4、例3求向量求向量 =3 +2 在在 X 轴上的投影以及轴上的投影以及在在 Y 轴上的分向量轴上的分向量. 解解 20,-2,3-3,0,+=向量向量 在在 X 轴上的投影为轴上的投影为-2, 在在 Y 轴上的分轴上的分向量为向量为 3j.河海大学理学院高等数学利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算例例4设设1, 0, 11, 1, 0解解3- 2= =3 3 1, 0, 1- 21, 1, 0 - 3, 0, 32, 2, 0= =1, -2, 3. .求求3- 2. .河海大学理学院高等数学非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条
5、坐标轴的正向的夹角称为方向角. .三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式河海大学理学院高等数学由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式河海大学理学院高等数学当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式河海大学理学院高等数学方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为河海大学理学院高等数学解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或河海大学理学院高等数学解解河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学解解
