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1、有限维线空间的基Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望1基基2维数数3坐坐标一、数域一、数域 上有限上有限维线性空性空间 的三要素：的三要素：维数是数是 的唯一的本的唯一的本质特征，在同构意特征，在同构意义下下的研究可的研究可归结为 的的讨论。 基一般是不唯一的，在基一般是不唯一的，在线性运算下，性运算下，对具体的具体的线性空性空间 来来说，可由一，可由一组基来把握。基来把握。 正如正如1，P171所说：所说：“给定有限维的向量空间，给定有限维的向量空间，要求其维数，首先要
2、抓要求其维数，首先要抓基基”。 关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下基本结论（见基本结论（见2，P330）:设 是数域是数域 上上线性空性空间，是是 的一组基；的一组基；（1）但但 线性相关，线性相关，（2）线性无关，线性无关，则下列下列陈述彼此等价：述彼此等价：（4） ，且，且经经 线性表示的表法唯一；线性表示的表法唯一；（6） 且且都可经都可经 唯一地线性表示；唯一地线性表示；（3）（5） ，且，且线性无关；线性无关；（7）二、常二、常见线性（子）空性（子）空间的基与的基与维数数1这是基本的是基本的习题内容内容 3，习题6的的3（有（有8个小个小
3、题）、）、8（有（有4个小个小题）、）、13（有（有3个小个小题）、）、14、16、17、18题。2常常见的的线性（子）空性（子）空间的的标准基准基（1）（2）（3）（4）（5）三、三、n维线性空性空间 的基的确定的基的确定 1. 从一从一组给定的基定的基 出出发，可构造，可构造出所有（无出所有（无穷多）的不同的多）的不同的 的基的基.是可逆的是可逆的线性无关性无关为 的基的基.2. 指定条件下的指定条件下的线性空性空间基的确定基的确定. 例例1.设 是数域是数域 上上n维线性空性空间 的的 任意任意 s 个非平凡子空个非平凡子空间. 试证：存在：存在 的一个基，的一个基，使使这个基的个基的n
4、个基向量均不在个基向量均不在 中中.（见2，p213,4,p213,5,p196） 例例2（见3，补充充题4）设 是是线性空性空间 的的两个非平凡子空两个非平凡子空间. 证明：在明：在 中存在中存在 使使 同时成立同时成立. 例例3（见3，补充充题5）设 是是线性性空空间 的的s个非平凡子空个非平凡子空间，证明：明： 中至少有一中至少有一个向量不属于个向量不属于 中任何一个。中任何一个。 例例4（见6） 设 为数域数域 上上n维线性空性空间(n1). n1). 证明：明：必存在必存在 中一个无中一个无穷的向量序列的向量序列 使得使得 中任何中任何n个向量都是个向量都是 的一的一组基基. .同同
5、样，依次取向量，依次取向量 使得使得取另一向量取另一向量则显然有从以上然有从以上n+1向量中向量中选出出n个均可作个均可作为n维线性空性空间的一的一组基基.证明：采用构造法明：采用构造法. . 取取n维线性空性空间的一的一组基基这样得到一个无得到一个无穷的向量序列的向量序列 ，下下证，从中任，从中任选n个，它个，它们均均线性无关性无关. .从而不妨任从而不妨任选令令得得从构造中易得，从构造中易得，从而从而（*）又又 可以可以证明，明，对角角线上的元素均不上的元素均不为零，从而行零，从而行列式不列式不为零零,从而从而它它们均均线性无关，故性无关，故问题得得证. .也即，方程也即，方程组（*）仅有
6、平凡解，即有平凡解，即这是因是因为 为范德蒙行列式范德蒙行列式.实际上，更上，更简单的方法来构造，令的方法来构造，令则 是无关的是无关的. 例例5 （见（见7，p49）Again let V be the space of matrices over F. Find a basic for V such that for each i.这个个结论对 也是成立的也是成立的.为 的的幂等基等基.例例6 （见8，定理，定理1） 具有无具有无穷多个多个幂等基等基. 例例7 （见2，p319）设V是数域是数域 P上全体二上全体二阶对称矩称矩阵所成的所成的线性空性空间，证明：明：与与都是都是V 的基的基.
7、 问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？参考文献参考文献参考文献参考文献1 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数（上册），高等代数（上册）， 福建教育出版社，福建教育出版社，1991，福州，福州2 庄瓦金庄瓦金 高等代数教程，国际华文出版社高等代数教程，国际华文出版社 2002年年3 北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版）王萼芳、石生明修订，高
8、等代数（第三版）4 白述伟白述伟 高等代数选讲，黑龙江教育出版社，高等代数选讲，黑龙江教育出版社，19965 李师正主编李师正主编 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 北京北京, 20046 南开大学南开大学2005年硕士研究生入学考试试题年硕士研究生入学考试试题7 K.Hoffman and R.Kunze,Lineasr Algebra (Second Edition),Prentice-Hall,Inc.,Englewoord Cliffs,New Jersery(1971),49.8 杨忠鹏杨忠鹏 ，全矩阵代数，全矩阵代数 上的幂等阵，安顺师专上的幂等阵，安顺师专 学报，学报，1989（2），），97-100.祝各位老师祝各位老师新年快乐！新年快乐！
