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1、第第2课时课时 参参 数数 方方 程程 20162016 考纲下载考纲下载 1了解参数方程，了解参数的意义 2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 3了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程 请注意 对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档题型为主，预测 2017年高考中，在难度，知识点方面变化不大 课前自助餐课前自助餐 参数方程的概念 如果曲线 C 上任意一点 P的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t?xf（t），的函数? ?yg（t）.反过来，对于t?xf（t），的每个允许值，由函数式?
2、所确?yg（t），?xf（t），上，那么方程?叫做曲线?yg（t），定的点 P(x，y)都在曲线 CC的参数方程，变量t 是参数 圆锥曲线的参数方程 (1)圆心为(a， b)， 半径为 r( 为参数) ?xacos ，xy(2)椭圆221(ab0) 的参数方程为?( 为参ab?ybsin22?xarcos 的圆的参数方程为?ybrsin，数) a?x，xy(3)双曲线a2b21(a0 ，b0)的参数方程为?cos ?ybtan 22( 为参数) (4)抛物线 2?x2pt ，2y 2px(p0)的参数方程为?(t?y2pt为参数) 直线的参数方程 过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直 线 l
3、 的参数方程 为?xx0tcos ?yy0tsin，(t 为参数)， 其中 t 表示直线上以定点 M0为起点，任意一点 M(x， y)为终点的有向线段M M的数量 当 t0时， M00M的方向向上；当 t0 时，M0M的方向向下；当 t0 时，M 与 M0重合 1判断下面结论是否正确 (打“”或“” ) ?xt1，(1)参数方程?(t1)表示的曲线为直线 ?y2t，?xcos(2)参数方程?ysinm，当 m 为参数时表示直线，当 m，为参数时表示的曲线为圆 ?x2tcos30 ，(3)直线?(t?y1tsin150 ?x2cos (4)参数方程?y5sin为参数)的倾斜角 为 30. ( 为
4、参数且 0， )表示的曲线为2椭圆 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (课本习题改编)若直线 l?x12t，的参数方程是?(tR)，?y2t则 l 的方向向量 d可能是( ) A(1，2) B(2，1) C(2，1) D(1，2) 答案 C b解析 求出直线方程 x2y50，方向向量(a，b)满足a12，检验知：(2，1)满足，故选 C. 3若曲线 C?x1cos2 的参数方程为?2?ysin ?，( 为参数)，则曲线 C 上的点的轨迹是( ) A直线 x2y20 B以(2，0)为端点的射线 C圆(x1) y 1 D以(2，0)和(0，1)为端点的线段 22 答案 D 解析 将曲线的参
5、数方程化为普通方程得x2y20(0x2，0y1) ?xx0at，4已知直线?(t?yy0bt为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t1，t2，则|AB|等于( ) A|t1t2| B|t1t2| |t1t2|C. a b |t1t2| D.22 a b22 答案 C 解析 依题意，A(x0at1，y0bt1)，B(x0at2，y0bt2)， 则|AB|x0at1（x0at2） y0bt1（y0bt2） a b |t1t2|. 2222 5 (2015 广东)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为 (cos sin )2，曲线
6、2?xtC2的参数方程为?y2 2t(t 为参数)，则 C1与 C2交点的直角坐标为_ 答案 (2，4) 解析 曲线 C1的直角坐标方程为 xy2，曲线 C2的普通方程为?xy2?x22y 8x，由?2得?，所以?y 8x?y4C1与 C2交点的直角坐标为(2，4) 授人以渔授人以渔 ? 题型一 参数方程化为普通方程 例 1 把下列参数方程化为普通方程 1?x12t，(1)?(t 为参数)； ?y53t2?xsin ，(2)?(2?ycos为参数， 0，2 ) 【思路】 (1)用代入法消去参数 t； (2)利用 sin cos1 消参 3【解析】 (1)由已知得 t2x2，代入 y5t 中得
7、y2352(2x2) 即它的普通方程为3xy5 30. 22 (2)sin cos1，x y1，即 y1x. 又|sin|1， 其普通方程为 y1x(|x|1) 【答案】 (1) 3xy5 30 (2)y1x(|x|1) 222222 探究 1 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的 x，y(它们都是参数的函数 )的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等 思考题 1 在平面直角坐标系 xOy 中， 若直线(t 为参数)过椭圆?x3cos C：?y2sin
8、?xt，?l：?yta，( 为参数)的右顶点，则常数 a的值为_ 【解析】 由题意知在直角坐标系下，直线 l 的方程为 yxxya，椭圆的方程为941，所以其右顶点为(3，0)由题意知03a，解得 a3. 【答案】 3 22 ? 题型二 直线的参数方程 例 2 (2016沈 阳 模 拟 ) 已 知 直 线 l的 参 数 方 程 为?x12t，2?sin?(t 为参数)， 曲线 C 的极坐标方程是 ，21sin 2?y2t?以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系，点 M(1，0)，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 (1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程 (2)线
9、段 MA，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值 【思路】 (1)消参数得 l 普通方程再化成直坐标方程 (2)利用直线参数 t 的几何意义，求|MA|MB|的值 ?x12t，2?【解析】 (1)由?消去 t，得 yx1. 2?yt?2?sincos1，即 2cos()1. 4sinsin2由 ，得 . 221sin 1sin (1sin )sin，即 x y. 222 (2)将 M 点坐标代入 l 方程，知 M 点在 l 上，点 A、B 对应参?x12t2?数分别为 t1、t2，则|MA|MB|t1|t2|t1t2|联立?与2?yt?2?x y 得关于 t 的一元二次方程
10、为 t 3 2t20. t1t22，|MA|MB|2. 2【答案】 (1) 2 cos (4)1，x y (2)2 22 探究 2 直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 ，点 M(x，y)为 l上任意一点，则直线 l ?xx0tcos，的参数方程?(t?yy0tsin为参数) (1)若 M1，M2是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，| |t t | ， | |t t | t2， 则 |M0MM MM M1021 21221（t2t1） 4t1t2. (2)若线段 M1M2的中点为 M3，点 M1，M2，M3对应的参数t1t2分别为 t
11、1，t2，t3，则 t32. (3)若直线 l 上的线段 M1M2的中点为 M0(x0，y0)，则 t1t20，t1t20，b0)的参数方程为ab?xacos ，?(?ybsin22为参数)，写出曲线 C 的参数方程消去直线 l 的参数方程中的参数 t 可得直线 l 的普通方程 (2)设出点 P的坐标的参数形式求出点 P到直线 l 的距离 d，d则|PA|.转化为求关于 的三角函数的最值问题，利用辅sin30助角公式 asinbcos a2b2sin()求解 【解析】 (1)曲线 C?x2cos ，的参数方程为?(?y3sin为参数) 直线 l 的普通方程为 2xy60. 5(2)曲线 C 上
12、任意一点 P(2cos ，3sin)到 l 的距离为 d5|4cos 3sin6|， d2 5则|PA|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan5sin304 . 3 22 5当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为. 52 5当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为5. 【答案】 ?x2cos (1)C：?y3sin，( 为参数)，l：2xy60 22 52 5(2)|PA|max5，|PA|min5 探究 3 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性运用参数方程显得很简单，运算更简便 本题易错点主要有两点：对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；在
13、使用参数方程运算时不考虑 的实际取值 思考题 3 (1)已知点 P(x，y)是圆 x y 2y 上的动点， 求 2xy 的取值范围； 若 xya0 恒成立，求实数 a的取值范围 22 【解析】 ?xcos，设圆的参数方程为? ?y1sin.2xy2cos sin1 5sin()1， 512xy 51. xyacossin1a0， a(cossin)1 2sin()1. 4a 21. 【答案】 51， 51 21，) (2)在圆 x y 4x2y200 上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x3y190 的距离分别最长和最短 【思路】 利用圆的参数方程求解 22 【解析】 将圆的方程化为参数方程
14、为 ?x25cos ，?(?y15sin为参数)，则圆上点 P坐标为(25cos ，15sin)，它到所给直线的距离 |20cos 15sin30|4d|5cos ()6|， 其中 cos5，224 33sin . 5 故当 cos()1， 即 时， d 最长，这时点 A 坐标为(6，4)； 当 cos()1，即 时，d 最短，这时点 B 坐标为(2，2) 【答案】 A(6，4)，B(2，2) ? 题型四 参数方程与极坐标方程的综合 例 4 (2015 新课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：?xtcos?ytsin，(t 为参数，t0)，其中 0 .在以 O 为极点，x，轴正半轴为
15、极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2 3cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 【解析】 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 x y 2y0，曲线 C3的直角坐标方程为 x2y22 3x0. ?322x，?2?x y 2y0，?x0，联立?22解得?或? ?3?x y 2 3x0，?y0，?y .?233所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0，0)和(2，2) 22(2)曲线 C1的极坐标方程为 (R，0)，其中 0. 因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos ，)
16、 所以|AB|2sin2 3cos |4|sin(3)|. 5当 6时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 33【答案】 (1)C2(0，0)，C3(2，2) (2)4 探究 4 本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路 思考题 4 (2015 福建)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C?x13cost ，的参数方程为?(t?y23sint为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 的极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2 sin()m(mR) 4(1)求圆
17、C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值 【解析】 (1)消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x1) (y2) 9. 由 2sin(4)m，得 sincosm0. 所以直线 l 的直角坐标方程为 xym0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2， |1（2）m|即2， 2解得 m32 2. 22 【答案】 (1)(x1) (y2) 9，xym0 (2)m32 2 22 直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长 l|t1t2|； 定点 M0是弦 M1M2的中点? t1t20； t1t2设弦 M1M2中点为 M，则点 M 对应的参数值 tM2(由此可求|M2M|及中点坐标) (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点， 从而讨论最值或距离等问题
