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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 4.3几何法反证法1.几何法通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法.点拨利用几何法的关键是根据不等式的结构特点构造相应的几何图形.2.反证法反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立.它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.点拨反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,
2、直接证明有困难时,常采用反证法,下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.做一做2用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是()A.假设至少有一个钝角B.假设没有一个钝角C.假设至少有两个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角,故选C.答案:C探究一探究
3、二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究二用反证法证明不等式用反证法证明不等式1.用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限多种,然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的.2.要证不等式MN,先假设MN,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定MN成立.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法.探究一探究二探究三3.用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的.(2)反证法必须从否定
4、结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三变式训练2已知函数f(x)=x2-x,xR,若正数m,n满足mn1,证明:f(m),f(n)至少有一个不小于零.证明:假设f(m)0,f(n)0,即m2-m0,n2-n0,n0,m-10,n-10,0m1,0n1,mn1矛盾,假设不成立,即f(m),f
5、(n)至少有一个不小于零.探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三探究一探究二探究三1 2 3 4 51.用反证法证明:如果整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个偶数.下列假设中正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数答案:B1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 54.设a,bR,给出下列条件:a+b1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是(填序号).解析:对于,a,b均可小于1;对于,a,b均可等于1;对于,a,b均可为负数;对于,若a,b都不大于1,则a+b2,与矛盾.故若成立,则“a,b中至少有一个实数大于1”成立.答案:1 2 3 4 55.已知x,y,z(0,1).求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)SBDF+SDCE+SAEF,得11sin 60x(1-y)sin 60+y(1-z)sin 60+z(1-x)sin 60.整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1.即得证.
